北大隨機(jī)過(guò)程課件：第5章第1講高斯隨機(jī)過(guò)程

1、 髙期沌機(jī)過(guò)程定義高期過(guò)程：如果隨機(jī)過(guò)程(/),/eT的有限維分布都是高斯分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。高斯過(guò)程是二階矩過(guò)程的一個(gè)重要子類(lèi)。復(fù)高斯過(guò)程：如果隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)復(fù)高斯過(guò)程，則在n個(gè)時(shí)刻抽樣得到n個(gè)復(fù)隨機(jī)變帛:，也就是說(shuō)n個(gè)時(shí)刻抽樣組成了2n維實(shí)高斯分布隨機(jī)欠量。寬平穩(wěn)實(shí)高斯隨機(jī)過(guò)程：如果隨機(jī)過(guò)程f(f)是寬平穩(wěn)實(shí)高斯隨機(jī)過(guò)程，它的均值是常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間差*7有關(guān)，不再單獨(dú)依賴和匚。隨機(jī)過(guò)程(/)的一切有限維分布都不隨時(shí)間平移1何改變，即駅/)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。性質(zhì)定理1:若嚴(yán))=(纟化身)，磐)為k維實(shí)高斯變量，均方收斂于訂筑J,即対每個(gè)分量說(shuō)有l(wèi)imE嚴(yán)一=0,li0

2、,a0是該過(guò)程具有馬爾可夫性的充分必要條件。證明：必要性的證明，因?yàn)閒(/)是一個(gè)均方連續(xù)平穩(wěn)實(shí)高斯分布的隨機(jī)過(guò)程，它的協(xié)方差函數(shù)C(r)是連續(xù)函數(shù)，又是馬爾可夫過(guò)程,C(T+S)=C(r)C(5)C(0) C(T+S)_C(T)C(5)C(0)一C(0)C(0)C(r)QO)=/W/(r+5)=/(r)/(5)滿足上述條件的函數(shù)是f(r)=aT=earC(r)=earC(O)|C(r)|C(0)a0充分性的證明，C(r)=earC(O)則有C(T+S)=C(r)C(5)C(0)維納過(guò)程規(guī)范化維納過(guò)程定義：獨(dú)立増屋的隨機(jī)過(guò)程w(/)no,w(o)=o,當(dāng)w(/j為高斯分布的隨機(jī)變帚，其概率密度

3、為/叭“加=抄(:一/嚴(yán)-帀=(-OCX0EK(t2)W0(fJ=EW0(G)-W(G+W(/JW(G)=肌(G)-W。(fJW(fJ+Ew(G)%(fJ詞燦)H設(shè)人/2o因此有Ew0(r2)WQ(“)=min(r2/)普通的維納過(guò)程定義2：普通的維納過(guò)程，如果w(O=Z/-ctVVo(Z1),貝ijew=“/,“為常數(shù)稱為偏移系數(shù)，W(r)=cr2DWQ(t)=ajCOl2=a-2t,o為常數(shù)，稱為過(guò)程的強(qiáng)度。W(t)的一維概率密度是2/cr2(-sx0o現(xiàn)研究0/j的統(tǒng)計(jì)特性。0均值tEu)dn0=jE(ii)lu=00相關(guān)函數(shù)設(shè)G20 # #jjct2(h-v)dudv00h0 因此有sIu)du-jv)dvl=00I(ii)du是一個(gè)維納過(guò)程0維納過(guò)程的微分是一個(gè)白高斯噪聲過(guò)程，白高斯噪盧過(guò)程的積分是一個(gè)維納過(guò)程。推論對(duì)r一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程，是一個(gè)獨(dú)立增帚過(guò)程。如果它的每次游動(dòng)的步長(zhǎng)趨零(無(wú)限小)