測(cè)量誤差基本知識(shí)PPT課件

1、測(cè)量誤差的基本知識(shí)第三章第一節(jié) 測(cè)量誤差的概念第二節(jié) 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)第三節(jié) 觀測(cè)值的算術(shù)平均值及改正數(shù)第四節(jié).觀測(cè)值的精度評(píng)定（中誤差）第五節(jié) 誤差傳播定律及應(yīng)用第六節(jié) 權(quán)第一節(jié) 測(cè)量誤差的概念 一. 測(cè)量誤差的發(fā)現(xiàn) 1.對(duì)同一量多次觀測(cè)，其觀測(cè)值不相同。 2.觀測(cè)值之和不等于理論值 三角形 +180 閉合水準(zhǔn) h0 二. 測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因 1. 儀器誤差 2. 觀測(cè)者感官的限制 3. 外界條件的影響 總稱為觀測(cè)條件（必要條件）。等精度和不等精度觀測(cè)。 三. 測(cè)量誤差的分類與處理原則 根據(jù)觀測(cè)誤差的性質(zhì)可分為：系統(tǒng)誤差、偶然誤差。（一）系統(tǒng)誤差 又稱累積誤差。 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量作

2、一系列的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差無(wú)論在個(gè)體和群體上，呈現(xiàn)出以下特性：在符號(hào)和大小上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差就叫系統(tǒng)誤差。 誤差的絕對(duì)值隨著單一觀測(cè)值的倍數(shù)而積累。 例 鋼尺：尺長(zhǎng)、溫度、傾斜改正 水準(zhǔn)儀：i角 經(jīng)緯儀：c角、i角 觀測(cè)值的準(zhǔn)確度 指觀測(cè)值偏離真值的程度。系統(tǒng)誤差對(duì)其有較大的影響。 系統(tǒng)誤差對(duì)觀測(cè)值的影響具有一定的數(shù)學(xué)或物理上的規(guī)律：積累性。（二）偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量作一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)結(jié)果的差異在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上，都沒(méi)有表現(xiàn)出一致的傾向， 即表面上沒(méi)有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。是由人力所不能控制的因素或無(wú)法估計(jì)的因素共同引起的，其數(shù)值的正負(fù)、

3、大小純屬偶然 大量的偶然誤差具有統(tǒng)計(jì)性，或稱之為具有概率論的規(guī)律。（三）誤差處理原則 粗差（錯(cuò)誤）測(cè)錯(cuò)，記錯(cuò)，算錯(cuò)可以避免錯(cuò)誤在測(cè)量成果中不允許存在，舍棄重測(cè)。 防止粗差和提高成果精度（偶然誤差方面） “ 多余觀測(cè)”發(fā)現(xiàn)粗差剔除或重測(cè)，由多余觀測(cè)產(chǎn)生的往返差、不符值、閉合差，可根據(jù)差值大小評(píng)定精度，超限重測(cè)，不超限調(diào)整之。 系統(tǒng)誤差應(yīng)盡可能按其產(chǎn)生的原因和規(guī)律加以改正、抵消或削弱，如： 校正儀器、觀測(cè)值加改正數(shù)、對(duì)稱觀測(cè)：水準(zhǔn)，前后視距離相等；測(cè)角，盤左盤右取平均值。 不同時(shí)間的多次觀測(cè)，有可能削弱部分情況不明的系統(tǒng)誤差四、偶然誤差的特性iXli（i，） 測(cè)量誤差理論主要討論具有偶然誤差的一系

4、列觀測(cè)值中如何求得最可靠的結(jié)果和評(píng)定成果的精度i 第i次觀測(cè)的偶然誤差X某一量的真值li 第i次觀測(cè)值 從單個(gè)偶然誤差看無(wú)規(guī)律，觀察其大量的偶然誤差，就能發(fā)現(xiàn)隱藏在偶然性下的必然性，統(tǒng)計(jì)數(shù)量越大規(guī)律性越明顯。 （2） 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要多；（密集性、區(qū)間性） （3） 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大致相等，可相互抵消；（對(duì)稱性）（1）在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度；（有界性）（4) 同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加而趨近于零，即 。（抵償性）偶然誤差的特性：若用圖表示，偶然誤差服從正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式

5、方差為偶然誤差平方的理論平均值：標(biāo)準(zhǔn)差為第二節(jié) 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 為對(duì)觀測(cè)值的精度作出科學(xué)的評(píng)定，常用中誤差、極限誤差、相對(duì)誤差為評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)。 一.中誤差 定義 在相同條件下，對(duì)某量（真值為X）進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值l1，l2，ln，偶然誤差（真誤差）1， 2，n，則中誤差M的定義式為：式中：M2稱為中誤差平方。實(shí)際工作中，由于n值總是有限的，故使用時(shí)M的估值常由中誤差m表達(dá)，即式中：分析 中誤差小，觀測(cè)精度高。例 已知：用甲乙兩臺(tái)儀器對(duì)同一角各觀測(cè)十次，其真誤差為： 解： 二.相對(duì)誤差 中誤差和真誤差是絕對(duì)誤差。 僅用中誤差衡量觀測(cè)值的精度對(duì)某些測(cè)量工作來(lái)說(shuō)，還不能正確反映觀測(cè)的質(zhì)量。 相對(duì)

6、誤差k 是中誤差的絕對(duì)值 m 與相應(yīng)觀測(cè)值 D 之比，通常以分母為1的分式來(lái)表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即 例 已知：D1=100m, m1=0.01m D2=200m, m2=0.01m 求： K1, K2 解： 一般情況 角度，高差用m表示、鋼尺量距用k表示。 較差率 在距離量測(cè)中，常用往返測(cè)量結(jié)果的較差率來(lái)進(jìn)行檢合。較差率為 較差率是真誤差的相對(duì)誤差。較差率愈小，觀測(cè)結(jié)果愈可靠。 三.極限誤差（容許誤差） 定義 由偶然誤差的特性知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間中的概率以倍中誤差為區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率通常以3倍中誤差為真誤

7、差極限誤差的估值，即 極3m 。 測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差，即容=2m 或 容=3m 。 作用 區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。 k=1 ( m)=0.683=68.3% k=2 ( 2m)=0.954=95.4% k=3 ( 3m)=0.997=99.7%第三節(jié) 觀測(cè)值的算術(shù)平均值及改正數(shù) 一. 算術(shù)平均值（最或然值、似真值） 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為l1、l2ln，中誤差為m1、m2 mn，則其算術(shù)平均值（最或然值、似真值）為 可證明其合理性和可靠性 推導(dǎo)過(guò)程 設(shè)未知量的真值為X，可寫出觀測(cè)值的真誤差公式為 （i=1，2，n）將上式相加得 或故 則有

8、由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，x趨近于零，即 n趨近無(wú)窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值。 二觀測(cè)值的改正值算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差稱為觀測(cè)值的改正值（v）： v1=x-l1 v2=x-l2 vn=x-ln上列等式相加，得 v=nx-l則v=n l -l=0可證明vi符合“最小二乘原則”第四節(jié).觀測(cè)值的精度評(píng)定（中誤差） 第一公式 第二公式 其中 vi似真誤差（觀測(cè)值改正數(shù)） 條件X（觀測(cè)值真值）已知條件X（觀測(cè)值真值）未知，x（算術(shù)平均值）已知觀測(cè)值平均值證明：（i=1，2，3，n） （a）兩式相減，有即（b）（c）將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將 和 代入上式，則式中：（PQ）

9、（d）由于 為偶然誤差，它們的非自乘積 仍具有偶然誤差的性質(zhì)，根據(jù)偶然誤差的特性，即代回原式中，得 （e）將（e）式代入（d）式 移項(xiàng)即證畢第五節(jié) 誤差傳播定律及應(yīng)用 一.概念 在間接觀測(cè)的情況下，未知量的中誤差和觀測(cè)值中誤差之間必有一定的關(guān)系，闡述這種關(guān)系的定律為誤差傳播定律。即根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)值函數(shù)中誤差。 求直接觀測(cè)值的中誤差例 三角形中，已知：A、B角的中誤差為mA 、mB，求：C角中誤差mC。 解： ，C角是直接觀測(cè)值A(chǔ)、B角的函數(shù)。 mC = ?例 高差測(cè)定中的 ，h是直接觀測(cè)值a、b的函數(shù)。二、觀測(cè)值的函數(shù)（一）和差函數(shù)（二）倍函數(shù)（三）線性函數(shù)（四）一般函數(shù)三.線性函

10、數(shù)設(shè)線性函數(shù)的一般式為：式中： 為系數(shù)； 為獨(dú)立觀測(cè)值。當(dāng)觀測(cè)值的中誤差分別為 時(shí)，按誤差傳播定律，函數(shù) 的中誤差 用下式計(jì)算： nn 各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。設(shè)平均值的中誤差為mx，則有 故 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的 倍。 例如 對(duì)某量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)算術(shù)平均值為例 可見，1次丈量的中誤差為1.5mm,其相對(duì)誤差為 0.0015/120=1/80000 6次丈量的算術(shù)平均值的中誤差為0.6mm,其相對(duì)誤差為 0.0006/120=1/200000增加觀測(cè)次數(shù)對(duì)算術(shù)平均值精度的作用 例如，在比例尺為l：500的地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離d1347mm，

11、圖上量距的中誤差md=土02mm，則換算為實(shí)地兩點(diǎn)間的距離D及其中誤差mD為 D=500 134.7mm=67.35m mD=500(0.2mm)=0.1m 寫成 D=67.35 0.1m倍函數(shù)z=kx的中誤差為 mz=kmz四、和差函數(shù)的中誤差 設(shè)有和差函數(shù) z=x1 x2 xn 是中，x1 xn為獨(dú)立變量，其中誤差為m1m2,顧及k1=k2 = =kn= 1 則得和差函數(shù)的中誤差等精度自變量的和差函數(shù)的中誤差 mz= m n五.一般函數(shù)P=ab設(shè)非線性函數(shù)的一般式為：式中： 為獨(dú)立觀測(cè)值； 為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“”替代“d”，得式中： 是函數(shù)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀

12、測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：例已知：測(cè)量矩形的兩邊a=20.000.02m, b=50.000.04m 求：矩形面積A及其中誤差mA 解：1.函數(shù)式 A=ab=100米2 2.全微分 dA=bda+adb 3.中誤差式 （m）例已知：測(cè)量斜邊D=50.000.05m，測(cè)得傾角=15000030 求：水平距離D 解：1.函數(shù)式 2.全微分 3.化為中誤差 （m） 六.求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟和方法 1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式： 2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式： 式中， 是用觀測(cè)值代入求得的值。 3.寫出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)

13、系式： 注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值，其真誤差之間須滿足下式，即 4.計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差誤差傳播定律的應(yīng)用 一、距離測(cè)量的精度 二、角度測(cè)量的精度 （一）水平較觀測(cè)精度 （二）多邊形角度閉合差的規(guī)定 三、水準(zhǔn)測(cè)量的精度 （一）兩次測(cè)定高差時(shí)的誤差規(guī)定 （二）水準(zhǔn)路線的高差測(cè)定誤差第七節(jié) 權(quán) 一. 觀測(cè)值的權(quán) 各非等精度觀測(cè)值的可靠程度，可用一個(gè)數(shù)值來(lái)表示，稱其為各觀測(cè)值的權(quán)。 “權(quán)”是權(quán)衡輕重的意思，觀測(cè)值的精度愈高，其權(quán)愈大。權(quán)通常用“p”表示。 二. 權(quán)與中誤差的關(guān)系 權(quán)與中誤差的平方成反比。三. 加權(quán)算術(shù)平均值及其中誤差 單位權(quán)中誤差為 加權(quán)算術(shù)平均值中誤差為寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣The fo