東北師范大學(xué)2021-2022學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1已知命題，那么為（ ）ABCD2設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是( )ABCD3某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是ABCD4盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是（ ）ABCD5對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次

3、號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步其中正確的個數(shù)為（）A4B3C2D16定義，已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）ABCD7若向量，則（ ）A30B31C32D338在中，角的對邊分別為，若則角的大小為()ABCD9我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實

4、際高度最接近的是（ ）A400米B480米C520米D600米10等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）ABCD11為了進一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A12種B24種C36種D48種12已知為正項等比數(shù)列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是( )A29B30C31D32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)函數(shù)，則_.14平面區(qū)域的外接圓的方程是_.15已知，若，則a的取值范圍是_16已知過點的直線

5、與函數(shù)的圖象交于、兩點，點在線段上，過作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點，當(dāng)軸，點的橫坐標(biāo)是 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），以坐標(biāo)點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為cos（+）1（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）已知點M （2，0），若直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求的值18（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若滿足，求.19（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2

6、）若，求.20（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實數(shù)的最大值；（2）若，均為正實數(shù)，且滿足.證明：.21（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：對上的任意兩個實數(shù)，總有成立.22（10分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4.（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題，那么是

7、.故選：【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2D【解析】令，可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當(dāng)時，.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時.又當(dāng)直線經(jīng)過點時，有，解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先

8、對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.3B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.4B【解析】由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個球的編號的中

9、位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.5C【解析】利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可【詳解】甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，錯誤；根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)，正確；乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，正確；乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故不正確故選

10、：C【點睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題6A【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義得，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立.此時,，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.7C【解析】先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8A【解析】由正弦定理化簡已知等式可得，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可得，可得，即可得解

11、的值【詳解】解：，由正弦定理可得：，故選A【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題9B【解析】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】試題分析：由于在等比數(shù)列中，由可得：，又因為，所以有：是方程的二實根，又，所以，故解得：，從而公比；那么，故選D考點：等比數(shù)列11C【

12、解析】先將甲、乙兩人看作一個整體，當(dāng)作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.12B【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求【詳解】

13、設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負(fù)值舍去），則有S5=1故選C【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由自變量所在定義域范圍，代入對應(yīng)解析式，再由對數(shù)加減法運算法則與對數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因為函數(shù)，則因為，則故故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡單題.14【解析】作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域為三角形，求出三角形的三個頂點坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓

14、方程為，將三角形三個頂點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域為，聯(lián)立，解得，則點，同理可得點、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，屬于中等題.15【解析】函數(shù)等價為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍【詳解】，等價為，且時，遞增，時，遞增，且，在處函數(shù)連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍

15、是故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題16【解析】通過設(shè)出A點坐標(biāo)，可得C點坐標(biāo)，通過軸，可得B點坐標(biāo)，于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)點，則,由于軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）l： ，C方程為 ；（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進行轉(zhuǎn)換（2）利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)），兩式相加得到，進一步轉(zhuǎn)換為直線l的極坐標(biāo)方程為cos（

16、+）1，則 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為（2）將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入得到（t1和t2為P、Q對應(yīng)的參數(shù)），所以，所以【點睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型18（1）；（2）【解析】（1）化簡得到，取，解得答案.（2），解得，根據(jù)余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.【詳解】（1）.取，解得.（2）,因為， 故，.根據(jù)余弦定理：，.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定

17、理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.20（1）；（2）見解析【解析】（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構(gòu)造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價于，（）當(dāng)時，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，（）當(dāng)時，上述不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，則實數(shù)的最大值為3，即.（2）證明：根據(jù)（1）求解知，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以，.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜

18、合法證明不等式問題，是一道中檔題.21（1）（2）見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1），且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，在上恒成立.設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，實數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，則，.，又，令，在上為減函數(shù)，即，在上是減函數(shù)，即，當(dāng)時，.，.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題22（1）；（2）存在，當(dāng)時，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦半距為，利用離心率為，橢圓的長軸長為1列出方程組求解，推出，即可得到橢圓的方程（2）存在實數(shù)使得以線段為