北京理工大附中2021-2022學年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）ABCD2已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準線交于點，且，則（ ）AB2CD33已知集合，則（）ABCD4 下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk (kZ)5已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）參考數(shù)據(jù)：ABCD6某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，599,600

3、.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（ ）A324B522C535D5787在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐PABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（ ）A12BCD108正項等比數(shù)列中，且與的等差中項為4，則的公比是 ( )A1B2CD9已知，則不等式的解集是（ ）ABCD10已知數(shù)列的通項公式為，將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項和為（ ）ABCD11設過定點的直線與橢圓：交于不同的兩點

4、，若原點在以為直徑的圓的外部，則直線的斜率的取值范圍為（ ）ABCD12下列不等式正確的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，其中，為正的常數(shù)，且，則的值為_.14設數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，若對任意都有成立，則的值為_15平面直角坐標系中,O為坐標原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中,R,且+=1,則點C的軌跡方程為 16圓心在曲線上的圓中，存在與直線相切且面積為的圓，則當取最大值時，該圓的標準方程為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況

5、，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷合計男女1055合計 (2)將上述調查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：.P(K2k)0.050.01k3.8416.63518（12分）設數(shù)陣，其中、設，

6、其中，且定義變換為“對于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、）表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、 ，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個數(shù)的和為（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，求的值；（3）對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過19（12分）（1）已知數(shù)列滿足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項和；（2）已知數(shù)列滿足：（）對任意的；（）對任意的，且.若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.20（12分）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子

7、總是成對出現(xiàn)例如，豌豆攜帶這樣一對遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個因子的相互組合可以構成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對遺傳因子都包含一個父系的遺傳因子和一個母系的遺傳因子，而因為生殖細胞是由分裂過程產生的，每一個上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨立的可以把第代的遺傳設想為第次實驗的結果，每一次實驗就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對具有性狀的父系來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對母系也一樣父系母系各自隨機選擇得到的遺傳因子再配對形成子代的遺傳性狀假設三種遺傳性狀

8、，(或)，在父系和母系中以同樣的比例：出現(xiàn)，則在隨機雜交實驗中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是稱，分別為父系和母系中遺傳因子和的頻率，實際上是父系和母系中兩個遺傳因子的個數(shù)之比基于以上常識回答以下問題：（1）如果植物的上一代父系母系的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，(或)，的概率各是多少？（2）對某一植物，經(jīng)過實驗觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父系和母系中僅有遺傳性狀為和(或)的個體，在進行第一代雜交實驗時，假設遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，求雜交所得子代的三種遺傳性狀，(或)，所占的比例（3）繼續(xù)對（2）中的植物進行雜交實驗，每次雜交前都需要剔除性

9、狀為的個體假設得到的第代總體中3種遺傳性狀，(或)，所占比例分別為設第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式證明是等差數(shù)列（4）求的通項公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機雜交實驗長期進行下去，會有什么現(xiàn)象發(fā)生？21（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是_.22（10分）已知函數(shù)（1）若在處取得極值，求的值；（2）求在區(qū)間上的最小值；（3）在（1）的條件下，若，求證：當時，恒有成立參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以

10、,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉化為乘法運算.2B【解析】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質可構造方程求得，進而求得結果.【詳解】過點作準線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準線方程為.，由拋物線定義知：，.由拋物線性質得：，解得：，.故選：.【點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質的應用，關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.3A【解析】根據(jù)對數(shù)性質可知，再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】，集合，由交集運算可得.故選：

11、A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小，集合交集的簡單運算，屬于基礎題.4C【解析】利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 與終邊相同的角=+ 其中.5A【解析】首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數(shù)求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)，所以在上遞減，在上遞增.由于，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數(shù)，.構造函數(shù)，所以在區(qū)間上遞減，而，所以存在，使.所以在上

12、大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)的圖像與性質，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.6D【解析】因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵

13、.7C【解析】取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐PABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4R2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.8D【解析】設等比數(shù)列的公比為q，運用等比數(shù)列的性質和通項公式，以及等差

14、數(shù)列的中項性質，解方程可得公比q【詳解】由題意，正項等比數(shù)列中，可得，即，與的等差中項為4，即，設公比為q，則，則負的舍去，故選D【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項公式，合理利用等比數(shù)列的性質是解答的關鍵，著重考查了方程思想和運算能力，屬于基礎題9A【解析】構造函數(shù)，通過分析的單調性和對稱性，求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù)，是單調遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到，的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，所以圖像關于對稱. 不等式等價于，等價于，注意到，結合圖像關于對稱和單調遞增可知.所以不等式的解集是.故選：A【點睛】本小

15、題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調性和對稱性解不等式，屬于中檔題.10D【解析】由題意，設每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項相消即可求解.【詳解】由題意，設每一行的和為 故因此：故故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11D【解析】設直線：，由原點在以為直徑的圓的外部，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件，故可設直線：，由，得，解得或，解得，直線的斜率的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達定理

16、建立起目標的關系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題12D【解析】根據(jù)，利用排除法，即可求解【詳解】由，可排除A、B、C選項，又由，所以故選D【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】把已知等式變形，展開兩角和與差的三角函數(shù)，結合已知求得值【詳解】解：由，得，即，又，解得：為正的常數(shù)，故答案為：【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查數(shù)學轉化思想方法，屬于中檔題14【解析】由已知條件得出關于首項和公差的方程組，解出這兩

17、個量，計算出，利用二次函數(shù)的基本性質求出的最大值及其對應的值，即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當時，取得最大值，對任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算，一般利用二次函數(shù)的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題.15【解析】根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線，再根據(jù)點斜式得結果【詳解】因為,且+=1，所以A,B,C三點共線，因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程，考查基本分析求解能力，屬中檔題.16【解析】由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設圓的圓心坐標，到直線的距離

18、等于半徑，再由均值不等式可得的最大值時圓心的坐標，進而求出圓的標準方程【詳解】設圓的半徑為，由題意可得，所以，由題意設圓心，由題意可得，由直線與圓相切可得，所以，而，所以，即，解得，所以的最大值為2，當且僅當時取等號，可得，所以圓心坐標為：，半徑為，所以圓的標準方程為：.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關系及均值不等式的應用，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意驗正等號成立的條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)無關；(2) ，.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人

19、，從而可得列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得.因為3.0303.841，所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知XB(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)np.D(X)np(1p)18（1）；（2）；（3）見解析.【解析】（1）由，能求出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）由，求出數(shù)陣經(jīng)過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數(shù)陣的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明的所

20、有可能取值的和不超過【詳解】（1），經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）經(jīng)變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；含有且不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；同時含有和的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經(jīng)過變換后第一行均變?yōu)?、；不含有的子集共個，經(jīng)過變換后第一行仍為、所以經(jīng)過變換后所有的第一行的所有數(shù)的和為同理，經(jīng)過變換后所有的第二行的所有數(shù)的和為所以的所有可能取值的和為，又因為、，所以的所有可能取值的和不超過【點睛】本

21、題考查數(shù)陣變換的求法，考查數(shù)陣中四個數(shù)的和不超過的證明，考查類比推理、數(shù)陣變換等基礎知識，考查運算求解能力，綜合性強，難度大19（1）；（2）；證明見解析.【解析】（1）由條件可得，結合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式，即可得到所求；（2）若，可令，運用已知條件和等比數(shù)列的性質，即可得到所求充要條件；當，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質，化簡變形，即可得到所求結論【詳解】解：（1），且為非零常數(shù)，可得，可得數(shù)列的首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，前項和為；（2）若，可令，且，即，對任意的，可得，可得，數(shù)列是等比數(shù)列，則，可得，即，又，即有，即，數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為；證明：對任意的，當，可得

22、，即以為首項、為公比的等比數(shù)列；同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列；對任意的，可得，即有，所以對，可得，即且，則，可令，故數(shù)列，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，其中【點睛】本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查分類討論思想方法和推理、運算能力，屬于難題20（1），(或)，的概率分別是，（2）（3）答案見解析（4）答案見解析【解析】（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（2）利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.（3）由（2）知，求出、，利用等差數(shù)列的定義即可證出. （4）利用等差數(shù)列的通項公式可得，從而可得，再由，利用式子的特征可得越來越小，進而得出結論.【詳解】（1）即與是父親和母親的性狀，每個因子被選擇的概率都是，故出現(xiàn)的概率是，或出現(xiàn)的概率是，出現(xiàn)的概率是所以：，(或)，的概率分別是，（2）（3）由（2）知于是是等差數(shù)列，公差為1（4）其中，(由（2）的結論得)所以于是，很明顯，越大，越小，所以這種實驗長期進行下去，越來越小，而是子代中所占的比例