北京市海淀區(qū)市級名校2021-2022學年高三（最后沖刺）數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，集合，則（）ABCD2下圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（ ）ABC1D3某幾何體的三視圖如圖所示(單位：

2、cm)，則該幾何體的體積等于（ ）cm3ABCD4下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數據統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（ ）A深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B天津的往返機票平均價格變化最大C上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加5已知集合，集合，那么等于（ ）ABCD6如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是（ ）.ABCD7聊齋志異中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術.得訣自詡無所阻，

3、額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術”：，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術”，則（ ）A48B63C99D1208已知數列的首項，且，其中，下列敘述正確的是（ ）A若是等差數列，則一定有B若是等比數列，則一定有C若不是等差數列，則一定有 D若不是等比數列，則一定有9某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD10甲、乙兩名學生的六次數學測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.甲同學成績的中位數大于乙同學成績的中位數；甲同學的平均分比乙同學的平均分高；甲同學的平均分比乙同學的平均分低；甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.以上說法正確的是（ ）ABCD11設復數

4、滿足，則（ ）ABCD12設，是非零向量.若，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13雙曲線的離心率為_14三棱柱中， ，側棱底面，且三棱柱的側面積為.若該三棱柱的頂點都在同一個球的表面上，則球的表面積的最小值為_15已知集合，則_16雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設直線的斜率分別為，若，則_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格”、“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”

5、記分，“不合格”記分.現隨機抽取部分學生的成績，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下所示：等級不合格合格得分頻數624（）若測試的同學中，分數段內女生的人數分別為，完成列聯(lián)表，并判斷：是否有以上的把握認為性別與安全意識有關？ 是否合格 性別 不合格合格總計男生女生總計（）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中，共選取人進行座談，現再從這人中任選人，記所選人的量化總分為，求的分布列及數學期望；（）某評估機構以指標（，其中表示的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若，則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應調整安全教育方案.在（）的條件下，判斷該校是否應調整安全教育方案？

6、附表及公式：，其中.18（12分）如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，其中棧道，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)弧（圓上實線部分）上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；求當為何值時，棧道總長度最短.19（12分）已知數列an的各項均為正，Sn為數列an的前n項和，an2+2an4Sn+1（1）求an的通項公式；（2）設bn，求數列bn的前n項和20（12分）已知橢圓的離心率為，且過點（）求橢圓的方程；（）設是橢圓上且不在軸上的一個動點，為坐標原點，過右焦點作

7、的平行線交橢圓于、兩個不同的點，求的值21（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.22（10分）如圖，在三棱錐中，平面平面，.點，分別為線段，的中點，點是線段的中點.（1）求證：平面.（2）判斷與平面的位置關系，并證明.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】可求出集合，然后進行并集的運算即可【詳解】解：，；故選【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義，對

8、數函數的單調性，以及并集的運算2D【解析】根據以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查二倍角公式，屬于基礎題.3D【解析】解：根據幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=221+121=（6+1.5）cm1故答案為6+1.5點睛：根據幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據計算它的體積即可4D【解析】根據條形圖可折線圖所包含的數據對選項

9、逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據條形圖和折線圖進行數據分析，屬于基礎題.5A【解析】求出集合，然后進行并集的運算即可.【詳解】，.故選：A.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解

10、法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎題.6C【解析】易得，又，平方計算即可得到答案.【詳解】設雙曲線C的左焦點為E，易得為平行四邊形，所以，又，故，所以，即，故離心率為.故選：C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立的方程或不等關系，是一道中檔題.7C【解析】觀察規(guī)律得根號內分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現規(guī)律，根號內分母為分子的平方減1所以故選：C.【點睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現總結各式規(guī)律是關鍵，屬于基礎題.8C【解析】根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.【詳解】A：當時，顯然符合是等差數列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，顯然符合

11、是等比數列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因此有常數，因此是等差數列，因此當不是等差數列時，一定有，故本說法正確； D：當 時，若時，顯然數列是等比數列，故本說法不正確.故選：C【點睛】本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.9D【解析】結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾

12、何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.10A【解析】由莖葉圖中數據可求得中位數和平均數,即可判斷,再根據數據集中程度判斷.【詳解】由莖葉圖可得甲同學成績的中位數為,乙同學成績的中位數為,故錯誤；,則,故錯誤,正確；顯然甲同學的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數據特征,考查由莖葉圖求中位數、平均數.11D【解析】根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.12D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，故也成立，故選D.考點：平面向量數量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的

13、數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解(較易)；將條件通過向量的線性運算進行轉化，再利用求解(較難)；建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132【解析】 14【解析】分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設棱柱的底面邊長為，高為，則三棱柱的側面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即

14、可得球表面積的最小值【詳解】如下圖，三棱柱為正三棱柱設，三棱柱的側面積為又外接球半徑外接球表面積.故答案為： 【點睛】考查學生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題15【解析】解一元二次不等式化簡集合，再進行集合的交運算，即可得到答案.【詳解】，.故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.16【解析】根據雙曲線上的點的坐標關系得，交圓于點，所以，建立等式，兩式作商即可得解.【詳解】設，交圓于點，所以易知:即.故答案為：【點睛】此題考查根據雙曲線上

15、的點的坐標關系求解斜率關系，涉及雙曲線中的部分定值結論，若能熟記常見二級結論，此題可以簡化計算.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）詳見解析；（）詳見解析；（）不需要調整安全教育方案.【解析】（I）根據題目所給數據填寫好列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（II）利用超幾何分布的計算公式，計算出的分布列并求得數學期望.（III）由（II）中數據，計算出，進而求得的值，從而得出該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【詳解】解：（）由頻率分布直方圖可知，得分在的頻率為，故抽取的學生答卷總數為，

16、.性別與合格情況的列聯(lián)表為： 是否合格 性別 不合格合格小計男生女生小計即在犯錯誤概率不超過的前提下，不能認為性別與安全測試是否合格有關.（）“不合格”和“合格”的人數比例為，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值為, .的分布列為：20151050所以. （）由（）知： .故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調整安全教育方案.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查超幾何分布的分布列、數學期望和方差的計算，所以中檔題.18，；當時，棧道總長度最短.【解析】連，由切線長定理知：，即，則，進而確定的取值范圍；根據求導得，利用增減性算出，進而求得取值.【詳解】解：連

17、，由切線長定理知：，又，故，則劣弧的長為，因此，優(yōu)弧的長為，又，故，即，所以，則；，其中，-0+單調遞減極小值單調遞增故時，所以當時，棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導數在函數當中的應用，屬于中檔題.19（1）an2n+1；（2）2【解析】（1）根據題意求出首項，再由（an+12+2an+1）（an2+2an）4an+1，求得該數列為等差數列即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法進行數列求和.【詳解】（1）an2+2an4Sn+1，a12+2a14S1+1，即，解得：a11或a11（舍），又an+12+2an+14Sn+1+1，（an+12+2an+1）（an2+2an）4an+1，整理得

18、：（an+1an）（an+1+an）2（an+1+an），又數列an的各項均為正，an+1an2，數列an是首項為1、公差為2的等差數列，數列an的通項公式an1+2（n1）2n+1；（2）由（1）可知bn，記數列bn的前n項和為Tn，則Tn15（2n+1），Tn15+（2n1）（2n+1），錯位相減得：Tn1+2（）（2n+1）1+2，Tn（）2【點睛】此題考查求等差數列的基本量，根據遞推關系判定等差數列，根據錯位相減進行數列求和，關鍵在于熟記方法準確計算.20（）（）1【解析】（）由題，得，解方程組，即可得到本題答案；（）設直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（）由題可得，即，將點代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（）由（）知， 設直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設，則，所以，所以【點睛】本題主要考查橢圓標準方程的求法以及直線與橢圓的綜合問題，考查學生的運算求解能力.21（1）（2）(2，)【解析】（1）利用極坐標和直角坐標的轉化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標，然后化為極坐標即可.【詳解】（1）曲線C的極坐標方程為，則,即.（2），聯(lián)立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(2，)【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及交點的求解，熟記極坐標和直角坐