北京市東城區(qū)匯文2022年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1周易是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離

2、、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（ ）ABCD2已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（ ）.A432B576C696D9603若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（ ）A B C D4已知為等腰直角三角形，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（ ）ABCD5甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成

3、績(jī)的方差.以上說(shuō)法正確的是（ ）ABCD6已知集合則（ ）ABCD7已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD8某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D09如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長(zhǎng)為（ ）A4BC2D10點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD11點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且，則（ ）ABCD12已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知拋物

4、線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，若，則直線的方程為_14已知，如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_15已知向量，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)_16已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）在四棱錐的底面中，平面，是的中點(diǎn)，且（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在指出點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.18（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足： (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)令，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的nN*，都有Tn .19（12分）在ABC中，角所對(duì)的邊分別為向量，向

5、量，且.（1）求角的大?。唬?）求的最大值.20（12分）如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點(diǎn)；（2）平面平面.21（12分）已知，函數(shù)，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若，且命題“，”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22（10分）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作兩條射線，分別交橢圓于、兩點(diǎn)，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】分類討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的

6、有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方

7、式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時(shí)，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.3B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.4D【解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，由，易得，則.

8、故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.5A【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,故錯(cuò)誤；,則,故錯(cuò)誤,正確；顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).6B【解析】解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于

9、基礎(chǔ)題.7D【解析】將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿足題意，只能是存在零點(diǎn)，使得在有解，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).因此.設(shè)，若在無(wú)解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).因?yàn)?，方程在?nèi)有兩個(gè)不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因?yàn)椋?，代?/p>

10、，得.設(shè)，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題8C【解析】由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，為直角三角形.該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.9A【解析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求【詳解】解：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查

11、了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題10B【解析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用的幾何意義即可得到結(jié)論【詳解】不等式組作出可行域如圖：，的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵11D【解析】確定點(diǎn)為外心，代入化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知，點(diǎn)為外心，則，又，所以因?yàn)?，?lián)立方程可得，因?yàn)椋?，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12B【解析】試題分析：由題意得，所以，所求雙曲線方程為考點(diǎn)

12、：雙曲線方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得由可得，則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.14【解析】首先把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn)，兩側(cè)開方，可得，即有三個(gè)零點(diǎn)，再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即零點(diǎn)有，顯然，則有，可得，即有三個(gè)零點(diǎn)，不妨令，對(duì)

13、于，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解，對(duì)于函數(shù)，解得，解得，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，綜上可知，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問(wèn)題，注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍，屬于難題.15【解析】由題可得，因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，解得16【解析】根據(jù)題意得出，由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時(shí)要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩

14、直線斜率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（）詳見解析；（）；（）存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【解析】（）連結(jié)，則四邊形為平行四邊形，得到證明.（）建立如圖所示坐標(biāo)系，平面法向量為，平面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.（）設(shè)，計(jì)算，根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.【詳解】（）連結(jié)，則四邊形為平行四邊形.平面.（）平面，四邊形為正方形.所以，兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，設(shè)平面法向量為，則，連結(jié)，可得，又所以，平面，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則.（）線段上存在點(diǎn)使得，設(shè)，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，二面角，根據(jù)垂直

15、關(guān)系確定位置，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.18（1）（2）見解析【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，所以當(dāng)時(shí)，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和.19（1）（2）2【解析】（1）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由化簡(jiǎn)可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），由正弦定理得，即，又 ，又 ， 由可得.（2）由（1）可得，的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)

16、用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】（1）推導(dǎo)出，由是的中點(diǎn)，能證明是有中點(diǎn)（2）作于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，在中，是的中點(diǎn)，是有中點(diǎn)（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題21（1）當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）【解析】試題分析 ：

17、（1），分，討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)，當(dāng)時(shí)，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以，當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內(nèi)有解。設(shè) ，所以 ，設(shè) ，則，且是增函數(shù)，所以 。所以分和k1討論。試題解析：（）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，對(duì)，所以在是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值，所以函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，若，則，所以在上是減函數(shù)，若，則，所以在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，函數(shù)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極小值點(diǎn).（）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內(nèi)有解.若，則設(shè) ，所以 ，設(shè) ，則，且是增函數(shù)，所以 當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，即，所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，因?yàn)椋?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而，即，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，即.所以不等式在區(qū)間內(nèi)有解綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22（1）；（2）見解析【解析】（1）由條件可得，再根據(jù)離心率可求得，則可得