第十章對(duì)坐標(biāo)曲線積分

1、第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第十章 一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例: 變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在 xoy 平面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移動(dòng)到點(diǎn) B, 求移“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”恒力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) “大化小”.2) “常代變”把L分成 n 個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替, 則有所做的功為F 沿則用有向線段 上任取一點(diǎn)在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

2、返回 結(jié)束 3) “近似和”4) “取極限”(其中 為 n 個(gè)小弧段的 最大長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 定義.設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 為空間曲線弧 , 記稱為對(duì) x 的曲線積分;稱為對(duì) y 的曲線積分.若記, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 性質(zhì)

3、(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明: 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明: 下面先證存在, 且有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng) 為光滑弧 ,同理可證機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別是, 如果 L 的方程為則對(duì)空間光滑曲線弧 :類似有定理 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1. 計(jì)算其中L 為沿拋物線解法1 取 x 為

4、參數(shù), 則解法2 取 y 為參數(shù), 則從點(diǎn)的一段. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的 上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 計(jì)算其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例4. 設(shè)在力場(chǎng)作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到解: (1)(2) 的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為機(jī)

5、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例5. 求其中從 z 軸正向看為順時(shí)針方向.解: 取 的參數(shù)方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記 A 在 t 上的投影為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二者夾角為 例6. 設(shè)曲線段 L 的長(zhǎng)度為s, 證明續(xù),證:設(shè)說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例7.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L 沿上半

6、圓周機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) L 表示 L 的反向弧對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計(jì)算 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 兩類曲線積分的聯(lián)系 對(duì)空間有向光滑弧 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原點(diǎn) O 的距離成正比,思考與練習(xí)1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動(dòng)到提示:F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算提示:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題 1.解:線移動(dòng)到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到 xoy 面的距離成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)F 作用下由點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)曲線C為曲面與曲面