線性代數(shù)課件：第二章 矩陣?yán)碚摶A(chǔ)

1、-1-第二章矩陣?yán)碚摶A(chǔ)2.4 矩陣的秩與矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形2.3 可逆矩陣2.2 n階(方陣的)行列式2.1 矩陣的運(yùn)算2.5 分塊矩陣2.6 線性方程組解的存在性定理Cramer法則-2-n階(方陣的)行列式在 D 中劃掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱為 (i,j) 元素的余子式，記為Mij ,稱Aij = (-1)i+j Mij為 (i,j) 元素的代數(shù)余子式。定義用式子D表示方陣A的元素按某種規(guī)則運(yùn)算得到的一個(gè)數(shù)，稱為A的行列式。-3-例如：-4-n 階行列式的值定義如下(遞歸定義):當(dāng) n=1 時(shí)，當(dāng)時(shí)，假設(shè)對(duì)階行列式已有定義，則定義

2、上式又稱按第一行展開。-5-計(jì)算下三角行列式按第1行展開按第1行展開例1-6-由定義，可得二階行列式與三階行列式的計(jì)算都是借助低一階的行列式(代數(shù)余子式)按第一列展開來(lái)定義的。對(duì)于四階及四階以上行列式的展開呢？-7-為什么要研究行列式的性質(zhì)?推論1如果行列式有一行（列）為零，則行列式等于零。例如性質(zhì)1行列式按任意一行展開，其值相等。-8-例如性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào)。再如，證明-9-推論2 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。例如-10-性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。例如-11-推論3行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此

3、行列式為零。例如推論4 是一個(gè)數(shù)。-12-性質(zhì)4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則可把這兩個(gè)數(shù)拆開，其它元素不變寫成兩個(gè)行列式的和。例如-13-性質(zhì)5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變。例1三角形，然后計(jì)算行列式的值。只用這種變換，把行列式化為-14-只用 變換或只用 變換一定能把行列式化為上(下)三角形.行列式的值不變.-15-性質(zhì)6 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。說(shuō)明 行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也成立， 反之亦然。-16-計(jì)算上三角行列式注意！例2-17-則性質(zhì)7-18-證明-19-20-例2性質(zhì)8 設(shè)A，B都是n階

4、方陣，則-21-設(shè)A是奇數(shù)階方陣，且證明證例3-22-行列式的值等于按任一列(行)展開，錯(cuò)列(錯(cuò)行)展開必為零。 行列式展開定理性質(zhì)9-23-證明由定理1，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和。作輔助行列式第i行(展開)展開定理給出了行列式降階計(jì)算的思想。-24-例4計(jì)算按定義按第3行展開-25-再驗(yàn)證一下錯(cuò)列或錯(cuò)行展開是否為零?-26-求例5-27-矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣由 |A| 的各元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成稱為 A 的伴隨矩陣。推論5伴隨矩陣研究可逆矩陣由行列式展開定理-28-計(jì)算 n 階行列式解將第 列都加到第一列上,得 例6-29-特征1：對(duì)于所有行（列）元素相加后相等的行列

5、式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡(jiǎn)化計(jì)算。-30-爪形行列式 例7特征2：第一行，第一列及對(duì)角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。-31-范德蒙德(Vandermonde)行列式 例8從最后一行開始,每行減去上一行的 倍.-32-按最后一列展開再提取每列的公因子-33-34-35-練習(xí)解：所以根為x =1,2,3.-36- 例9-37-38-計(jì)算n 階行列式解 將 按第一行展開得 例10-39-得遞推公式特征3：所求行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素。練習(xí) 書P39例11-40-計(jì)算n 階行列式解： 例11-41-42-特征4：除對(duì)角線元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等。常用拆分法或數(shù)