兩矢量的矢量積

1、8兩矢量的矢量積定義1設(shè)矢量c是由兩個矢量“與方按下列方 式定出：c的模lcl=lal0lsin 0 ,其中0為“與力間的夾 角；c的方向垂直于“與方所決定的平面,c的指向按 右手規(guī)則從“轉(zhuǎn)向方來確定，我們把這樣的矢量c叫 做矢量“與力的矢量積,記作axb,即c=axb.從定義知矢量積有下列性質(zhì)：ax=O對于兩個非零矢量，力，如果axfe=O5則“方; 反之，如果“/飽則axb = 0.定理1兩矢量”與力共線的充要條件是axft=0.證當(dāng)“與方共線時，由于sin(a方)=0,所以 ayb-ab sin(a 力)=0,從而 axft=0；反之，當(dāng)時，由足義知，a =0 ,或b =0,或allb,

2、因零矢可看 成與任矢量都共線，所以總有“方，即“與方共線.定理2矢量積滿足下面的運算律：交換律axb=-bxa,分配律(u+b)xc=axc+方xc,數(shù)因子的結(jié)合律QM)yb=axQJb)=Xgb)(X為數(shù)).證(略).定理 3 設(shè) “ =+ ak. b = bj + bJ + bk,則axb=(aybz -ab(abx -ab皿W證由矢量積的運算律可得axb=(aJ-a J+/)x (/?/+/? J +/)=a b ixi+a b ixi +a b ixkx x x yx zabjababjxk+a b kxi+a b kx +a b kxk.由于ixi=jxj=kxk=0, lxj=k,

3、 jxk=i, kxi所以axb=(a b -a b i+(a b -a b j+ (a b -a b )yz zy/zx xzxy yx為了邦助記憶，利用三階行列式符號，上式可寫成=a b i+a b j+a b k-a b k-a b j-a b iy z z x x y y x x z z y .-a b )k.例 1 設(shè) a=(2, 1=(ay bz -az by)i+(az bx -ax b)j+(a by一1), b=(1, T, 2),計算 axb .i j k解a xb=2 -1 -22i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k.例2已知三角形ABC的頂點分別是A (1,

4、2, 3)、 B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7),求三角形 ABC 的面積.解 根據(jù)向量積的定義，可知三角形ABC的面積S=勺 ABII AC Isin ZA=| ABx AC IMBC 22.由于AB =(2, 2, 2), AC =(1, 2, 4),因此ABx AC=左2 4J2 212 1=4i-6j+2k.于是S.ABC =剽-6j + 2k|= 22 +(-6)2 +22 -14 .例3設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn)，計算剛 體上一點M的線速度.解 剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時,我們可以用在l軸上的 一個向量n表示角速度，它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出：即以右手握住l軸，當(dāng)右手 的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時,大姆指 的指向就是的方向.設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸I的距離為c再在/軸上任取一點。作向量，二成，并以。表示II與T的夾角，那么a = Irl sin0 .設(shè)線速度為v,那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān) 系可知的大小為lvl= I na =