Chapter3.1-3.4-供參考

1、第三章 連續(xù)型隨機變量3.1 隨機變量及分布函數(shù)教學(xué)目的要求： 掌握隨機變量、分布函數(shù)兩個基本概念及分布函數(shù)的性質(zhì),并會求一些隨機變量的分布函數(shù),為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教 材 分 析 ：1概括分析：在第二章中我們研究了離散型隨機變量,在那里隨機變量只取有限個或可列個值,這當(dāng)然有很大的局限性.在許多隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的一些變量,它們的取值是可以充滿某個區(qū)間或區(qū)域的(也就不會只取有限個或可列個的值),概率論的任務(wù)是要研究它們的統(tǒng)計規(guī)律,那么對于這種更一般的隨機變量,如何來描述它的統(tǒng)計規(guī)律呢？因為單點集的長度為零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一個合適的“工具”-分布函數(shù).本節(jié)是概率論中的

2、基本內(nèi)容之一.學(xué)習(xí)本節(jié),要求學(xué)生掌握隨機變量、分布函數(shù)等基本概念,并會求一些隨機變量的分布函數(shù).2教學(xué)重點：隨機變量、分布函數(shù)等基本概念,求一些隨機變量的分布函數(shù).3教學(xué)難點：并會求一些隨機變量的分布函數(shù). 教 學(xué) 過 程 ：一、導(dǎo)入:在第二章中我們研究了離散型隨機變量,在那里隨機變量只取有限個或可列個值,這當(dāng)然有很大的局限性.在許多隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的一些變量,如“測量某地氣溫”,“某型號顯像管的壽命”,“某省高考體格檢查時每個考生的身高、體重”等,它們的取值是可以充滿某個區(qū)間或區(qū)域的(也就不會只取有限個或可列個的值),如同離散型隨機變量,這些變量的取值是隨著試驗結(jié)果的變化而變化的,因而在試驗之

3、前是不確定的,概率論的任務(wù)是要研究它們的統(tǒng)計規(guī)律,那么對于這種更一般的隨機變量,如何來描述它的統(tǒng)計規(guī)律呢？不妨先看下述例子.例3.1 等可能地在a,b上投點.這是第一章中曾經(jīng)討論過的幾何概率一類的問題.在這里“等可能”的含意是指,所投的點落在a,b中的任一子區(qū)間B=c,d中的概率,與B的長度B成正比,而與B在a,b中的位置無關(guān).如果記“點落入B中”這一事件為B,則上述等可能性即意味著 P(B)=.如果投在a,b中的點的坐標(biāo)為(ab),令()= (ab)這樣就得到了一個隨機變量(),它的取值充滿了整個區(qū)間a,b.如何來描寫()的統(tǒng)計規(guī)律呢？你可能會想到,既然對于離散型隨機變量,可以用分布列描述它

4、們的統(tǒng)計規(guī)律,何不仍采用“分布列”這個工具呢？既然有這個想法,那就來看看這個()的“分布列”吧!對于上述的,它取a,b中任意一點值0的概率為P()=0)=P(=0)=0因為單點集的長度為零.由此可知,用“分布列”是行不通的,需要另外找一個合適的“工具”,前面已經(jīng)指出“點落入B中”的概率與B的長度B成正比,設(shè)B=c,da,b,就有P(cd)=P(點落入B中)=P(B)=又因為P=d=0,所以 P(cd)P(cd)而 P(cd)=P(d)-P(c)于是 P(cd)=P(d)-P(c)這就告訴我們,為了掌握()的統(tǒng)計規(guī)律,只要對任意實數(shù)x,知道P()x)=？就夠了.這個概率當(dāng)然與x有關(guān),為此記F(x

5、)P()x)于是F(x)對所有x(-,+)都有定義,因而F(x)是定義在(-,+)上,取值于0,1的一個函數(shù).現(xiàn)在就引入下述定義.二、隨機變量及分布函數(shù)的概念:定義3.1 定義在樣本空間上,取值于實數(shù)域的函數(shù)(),稱為是樣本空間上的(實值)隨機變量,并稱F(x)=P()x),x(-,-)是隨機變量()的概率分布函數(shù).簡稱為分布函數(shù)或分布.三、分布函數(shù)的性質(zhì):從概率的性質(zhì)容易看出任意一個隨機變量的分布函數(shù),都具有下述性質(zhì):(1) 單調(diào)性. 若x1x2,則F(x1)F(x2);(2) 規(guī)范性. F(-)=F(x)=0, F(+)=F(x)=1;(3) 左連續(xù)性.F(x-0)=F(x).性質(zhì)(1)的

6、證明是顯然的,請讀者自己完成.下面證明(2)和(3).先證明(2),因為0F(x)1,且F(x)單調(diào),故F(x)=F(m) F(x)=F(n)都存在,又由概率的完全可加性有1=P(-()+)=P=F(n)-F(m)所以必有 F(x)=0, F(x)=1 成立.再證明(3),因為F(x)是單調(diào)有界函數(shù),其任一點的左極限F(x-0)必存在,為證明左連續(xù),只要對某一列單調(diào)上升的數(shù)列x1x2xn, xnx(n)證明 F(xn)=F(x)成立即可.這時,有F(x)-F(x1)=P(x1x)=P=F(xn+1)-F(x1)=F(xn+1)-F(x1)由此即得F(x)=F(xn+1)=F(x-0)分布函數(shù)的

7、三個基本性質(zhì)已經(jīng)證畢.反過來還可以證明,任一滿足這三個性質(zhì)的函數(shù),一定可以作為某個隨機變量的分布函數(shù).因此,滿足這三個性質(zhì)的函數(shù)通常都稱為分布函數(shù).知道了隨機變量()的分布函數(shù)F(x),不僅掌握了()x1-F(x+0)P()=x=F(x+0)-F(x)進一步,形如x1()x2、x1()x2、x1()x2、x1()x2這些事件以及它們經(jīng)過有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由F(x)算出來,所以F(x)全面地描述了隨機變量()的統(tǒng)計規(guī)律.既然分布函數(shù)能夠描述一般的隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律,因而分布函數(shù)這個概念比分布列更重要.不過,對離散型隨機變量來說,用得較多的還是分布列,那是因為它比較方便的緣

8、故.四、離散型隨機變量的分布函數(shù)與分布列之間的關(guān)系:現(xiàn)在就來看離散型隨機變量的分布函數(shù)與分布列之間有怎樣的關(guān)系？如果()是一個離散型隨機變量,它的分布列為那么()的分布函數(shù)為F(x)=P()x)=五、應(yīng)用舉例:例3.2 若只取一個值a,即有P(=a)=1求的分布函數(shù)F(x).解 易知F(x)=P(x)=其圖形如圖3.1所示.由圖3.1我們看到F(x)是一個左連續(xù)的、階梯狀的函數(shù),在x=a處有一個跳躍,其躍度為1=P(=a)例3.3 設(shè)是參數(shù)為的普哇松分布的隨機變量,即P(=k)=, k=0,1,2,求的分布函數(shù).解 由公式知道F(x)=P(x)=由此,F(x)的圖形如圖3.2所示.由圖3.2可

9、以看到,F(x)也是一個階梯狀的左連續(xù)函數(shù),在x=k(k=0,1,2,)處有跳躍,躍度為在x=k處的概率.F(k+0)-F(k)=P(=k), k=0,1,2,現(xiàn)在再來看例3.1中的隨機變量(),它的分布函數(shù)F(x)是什么？例3.1(續(xù)) 當(dāng)xa時,易知有F(x)=P()x)=0當(dāng)axb時,則有F(x)=P()x)=P(a()b時,顯然有F(x)=P()x)=1綜上所得,()的分布函數(shù)為F(x)=其圖形如圖3.3所示.在第二章中我們已經(jīng)知道,在單位時間內(nèi)來到電話交換局的電話呼喚次數(shù)、來到公共汽車站的乘客人數(shù)、來到機場降落的飛機數(shù)以及母雞下蛋數(shù)等都可以用普哇松分布來描述,即P()=k)=, k=

10、0,1,2,并且還知道其中的參數(shù)為單位時間內(nèi)(來到的呼喚數(shù)、乘客入數(shù)、飛機數(shù)、下蛋數(shù)等)的平均值.如果現(xiàn)在考察的不是單位時間,而是0,t,那么這個平均值應(yīng)該與時間t成正比,也就是t,又因為普哇松分布具有可加性,所以在0,t這段時間內(nèi)(來到的呼喚數(shù)、乘客數(shù)、飛機數(shù)、下蛋數(shù)等)應(yīng)該服從P(t()=k)=, k=0,1,2,這是一個參數(shù)為t的普哇松分布.由此可知,上述在0,t時間內(nèi)來到的呼喚數(shù)、乘客數(shù)、飛機數(shù)、下蛋數(shù)等雖然來源于不同的實際問題,卻有相同的數(shù)量規(guī)律-都可以用普哇松分布來描述,在數(shù)學(xué)(排隊論)中稱它們是“普哇松流”,以機場跑道為例,在來到一架飛機以后,這條跑道就空閑著等待著下一架飛機的到

11、來,這段空閑著的時間稱為“等待時間”,它的長短當(dāng)然是隨機的.在公用事業(yè)(電話、公共汽車、飛機場等)的設(shè)計與規(guī)劃中,這個“等待時間”太長和太短都是不合理的,因而有必要研究這個“等待時間”有怎樣的統(tǒng)計規(guī)律？現(xiàn)在不妨仍以“母雞下蛋”的語言來討論這個問題,這就是下面的例子.例3.4 設(shè)母雞在任意的t0,t0+t的時間間隔內(nèi)下蛋個數(shù)服從P(t()=k)=, k=0,1,2,問兩次下蛋之間的“等待時間”服從怎樣的分布函數(shù)？解 設(shè)前一次下蛋時刻為0,因為不可能為負(fù),所以當(dāng)t0時,顯然有P(0時,因為在等待時間內(nèi)雞不下蛋(t)=(t()=0)所以有P(t)=P(t()=0)=e-t于是P(t)=1-P(t)=

12、1-e-t還因為(t)=由概率的下連續(xù)性(定理1.1)即得P(t)=P=1-從而描述的分布函數(shù)為F(t)=P(t)=概率論中稱這個分布函數(shù)是參數(shù)為的指數(shù)分布.我們已經(jīng)看到,許多“等待時間”是服從這個分布的,一些沒有明顯“衰老”機理的元器件(如半導(dǎo)體元件)的壽命也可以用指數(shù)分布來描述,所以指數(shù)分布在排隊論和可靠性理論等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.由上面的討論可以看到,分布函數(shù)是實變量x的單值函數(shù),這是我們在數(shù)學(xué)分析中早已熟悉的對象,而且F(x)又具有相當(dāng)好的性質(zhì),有利于進行數(shù)學(xué)處理,因而引入隨機變量和分布函數(shù)這兩個概念,就好像在隨機現(xiàn)象和數(shù)學(xué)分析之間架起了一座橋梁,有了這座橋梁,“數(shù)學(xué)分析”這個強有力

13、的工具才有可能進入隨機現(xiàn)象的研究領(lǐng)域中來.由此可以體會到隨機變量及分布函數(shù)這兩個概念的地位和作用.在下面的討論中,還可以進一步看到數(shù)學(xué)分析這個工具是如何發(fā)揮它的功能的.3.2 連續(xù)型隨機變量教學(xué)目的要求： 掌握連續(xù)型隨機變量、連續(xù)型分布函數(shù)、密度函數(shù)等基本概念及密度函數(shù)的性質(zhì),并會求一些連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù),為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教 材 分 析 ：1概括分析：在第二章中我們研究了離散型隨機變量,在那里隨機變量只取有限個或可列個值,這當(dāng)然有很大的局限性.本節(jié)要研究另一類十分重要而且常見的隨機變量-連續(xù)型隨機變量.它是概率論中的基本內(nèi)容之一.學(xué)習(xí)本節(jié),要求學(xué)生掌握連續(xù)型隨機變量、連續(xù)型分布函數(shù)

14、、密度函數(shù)等基本概念及密度函數(shù)的性質(zhì),并會求一些連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù).2教學(xué)重點：連續(xù)型隨機變量、連續(xù)型分布函數(shù)、密度函數(shù)等基本概念及密度函數(shù)的性質(zhì),連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)的求法.3教學(xué)難點：連續(xù)型隨機變量、連續(xù)型分布函數(shù)、密度函數(shù)等基本概念及密度函數(shù)的求法.教 學(xué) 過 程 ：一、連續(xù)型隨機變量和概率密度函數(shù)的概念:在第二章里,已經(jīng)對離散型隨機變量作了一些研究,下面將要研究另一類十分重要而且常見的隨機變量-連續(xù)型隨機變量.定義3.2 若()是隨機變量,F(x)是它的分布函數(shù),如果存在函數(shù)p(x),使對任意的x,有F(x)=則稱()對連續(xù)型隨機變量,相應(yīng)的F(x)為連續(xù)型分布函數(shù),同時稱p

15、(x)是F(x)的概率密度函數(shù)或簡稱為密度.二、密度函數(shù)的性質(zhì):由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗證任一連續(xù)型分布的密度函數(shù)p(x)必具有下述性質(zhì):(1) p(x)0;(2) =1.反過來,任意一個R上的函數(shù)p(x),如果具有以上兩個性質(zhì),即可由定義3.2定義一個分布函數(shù)F(x).如果隨機變量()的密度函數(shù)為p(x),則對任意的x1、x2(x1x2),有P(x1()x2)=F(x2)-F(x1)=這一結(jié)果有很簡單的幾何意義:()落在x1,x2中的概率,恰好等于在區(qū)間x1,x2上由曲線y=p(x)形成的曲邊梯形的面積(圖3.4中的陰影部分),而(2)式表明,整個曲線y=p(x)以下(x軸以上)的面積為1.三

16、、概率密度函數(shù)與分布函數(shù)及概率的關(guān)系:由(3.15)式還可以證明,連續(xù)型隨機變量()取單點值的概率為零,也就是說對任意的x,P()=x)=0,于是有P(x1()x2)=P(x1x(w)x2)+P(x(w)=x2)=P(x1x(w)0)是兩個常數(shù),則p(x)=,-x0為顯然,此外還可以驗證有為此,可令=y,則這時有現(xiàn)在作坐標(biāo)變換,令這時,變換的雅可比式|J|=r,而所以有于是這說明由上式給出的確是一個密度函數(shù),這個密度函數(shù)稱為正態(tài)密度,相應(yīng)的分布函數(shù)為:F(x)=,-x3s)0.003因為P(|x|3s)很小,在實際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的.也就是說,對服從N(0,s2)分布的隨機變x來說,

17、基本上可以認(rèn)為有|x|3s,這種近似的說法被一些實際工作者稱作是正態(tài)分布的“3s原則”.由以上的討論可知, s反映了隨機變量x取值的分散程度,那么它與第二章中的方差又有什么關(guān)系呢,對這個問題,我們稍后要作進一步的討論.現(xiàn)在,細(xì)心的同學(xué)可能會問,(3.20)、(3.21)、(3.22)中的積分值是如何得到的？在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)掌握的一些數(shù)值積分的方法(例如把被積函數(shù)用冪級數(shù)展開等),在這里當(dāng)然用得上.不過前面已經(jīng)指出,正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中最常用的一個分布,為了避免每一次都去作這種繁重的近似計算,便編制了正態(tài)分布表以供查用.但是正態(tài)分布中含有參數(shù)m和s(s0),給定不同的一對m和s,就有一個

18、不同的正態(tài)分布,那當(dāng)然不可能對所有不同的m和s,都編制對應(yīng)的正態(tài)分布表.事實上,人們只編制了一張m=0、s=1的N(0,1)分布表以供查用.N(0,1)分布常常稱為是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其密度函數(shù)通常以(x)表示,相應(yīng)的分布函數(shù)則記作(x),所以(x)=在本書的附錄中給出了N(0,1)分布的(x)和(x)的表.有的同學(xué)肯定要問,如果要查N(m,s2)分布怎么辦？這只要通過一個函數(shù)關(guān)系(變換)就能解決.設(shè)x是N(m,s2)分布的隨機變量,則P(xx)=這時令則也是一個隨機變量,并且有P(x)=P(x)=P(xsx+m)=對上述積分作變量代換,令u=即得P(x)=(x)由此可知是一個服從N(0,1)分布

19、的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量.于是,要查F(x)=P(xx),只要查(y),其中y=,這就是說只要查N(0,1)分布表就可以了,因為這時有F(x)=P(xx)=P()=P()=()兩邊求導(dǎo)還有p(x)=所以一張N(0,1)分布表解決了所有N(m,s2)分布的查表問題.其中的(3.24)式把一般的N(m,s2)分布的隨機變量x變換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量,所以常常稱它為“標(biāo)準(zhǔn)化”變換.3.3多維隨機變量及其分布教學(xué)目的要求： 掌握多維隨機變量、聯(lián)合分布函數(shù)、邊際分布函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)、邊際密度函數(shù)等基本概念及性質(zhì),并會對一些隨機變量進行計算.教 材 分 析 ：1概括分析：在前幾節(jié)中我們研究了一維連續(xù)型隨機變量的一些

20、有關(guān)概念、性質(zhì)和計算.本節(jié)將這些內(nèi)容推廣到多維的情形.學(xué)習(xí)本節(jié),要求學(xué)生掌握有關(guān)基本概念,并會對一些隨機變量進行有關(guān)的計算.2教學(xué)重點：多維隨機變量的有關(guān)概念,對一些隨機變量進行有關(guān)計算.3教學(xué)難點：對一些隨機變量進行有關(guān)計算. 教 學(xué) 過 程 ：一、n維隨機變量及分布函數(shù)的概念:前面討論了一維連續(xù)型隨機變量,如同第二章中所討論的多維離散型隨機變量一樣,還可以討論多維連續(xù)型隨機變量.這里,我們?nèi)詮囊话愕亩嗑S隨機變量定義出發(fā).定義3.3 設(shè)1(),x2(w),xn(w)是定義在同一個樣本空間上的隨機變量,則n維向量(x1(w),x2(w),xn(w)稱為是樣本空間上的n維隨機變量或n維隨機向量.

21、并稱n元函數(shù)F(x1,x2,xn)=P(x1(w)x1,x2(w)x2,xn(w)xn)是n維隨機變量(1(),x2(w),xn(w)的聯(lián)合分布函數(shù),也簡稱為聯(lián)合分布或分布.聯(lián)合分布函數(shù)描述了多維隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律.二、二維隨機變量概率的計算公式:我們將著重討論二維隨機變量.如果(x,h)表示笛卡兒平面上點的坐標(biāo),那么F(x,y)=P(xx,hy)就表示點(x,h)落在圖3.8陰影部分中的概率.這時,點(x,h)落入任一矩形x1xx2,y1hy2(見圖3.9)中的概率,即可由概率的加法性質(zhì)求得:P(x1xx2,y1hy2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)

22、因為由圖3.9可以直接看出P(x1xx2,y1hy2)=P(x,h)=P(x,h)()-P(x,h)()-P(x,h)()+P(x,h)由此即得上式.三、二維隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì):如同一維分布函數(shù),還可以證明二維分布函數(shù)F(x,y)具有下述性質(zhì):(1) 對x或y都是單調(diào)不減的;(2) 對x或y都是左連續(xù)的,即有:F(x,y)=F(x-0,y), F(x,y)=F(x,y-0)(3) 對任意的x和y,有并且還有F(+,-)=1(4) 對任意的(x1,y1)和(x2,y2)(其中x1x2,y1y2),有:F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)0其中性質(zhì)(1)、(2

23、)、(3)的證明是顯然的,而性質(zhì)(4)由(3.25)式可得.反過來還可以證明,任意一個具有上述四個性質(zhì)的二元函數(shù),必定可以作為某個二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù).因而,滿足這四個條件的二元函數(shù)通常就稱為二元聯(lián)合分布函數(shù).四、邊際分布函數(shù)的概念:如果二維隨機變量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)為已知,那么它的兩個分量x與h的分布函數(shù)即可由F(x,y)求得,因為有Fx(x)=P(xx)=P(xx,h)=F(x,)其中F(x,)=F(x,y).同理還有Fh(y)=F(,y)其中F(,y)=F(x,y).如同離散型情形,人們也稱Fx(x)、Fh(y)是聯(lián)合分布F(x,y)的邊際分布函數(shù),或簡稱為邊際分

24、布.五、密度函數(shù)的概念及性質(zhì):1.定義:類似于一維時的情形,下面將著重討論二維的連續(xù)型隨機變量,這就是下述的定義.定義3.4如果F(x,y)是個聯(lián)合分布函數(shù),若存在函數(shù)p(x,y),使對任意的(x,y),有F(x,y)=成立,則稱F(x,y)是一個連續(xù)型的聯(lián)合分布函數(shù),并且稱其中p(x,y)是F(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為密度.如果二維隨機變量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是連續(xù)型分布函數(shù),就稱(x,h)是二維的連續(xù)型隨機變量.2.性質(zhì):由分布函數(shù)的性質(zhì)可知,任一二元密度函數(shù)p(x,y)必具有下述性質(zhì):(1) p(x,y)0;(2) =F(+,+)=1;反過來,任意一個具有上述兩

25、個性質(zhì)的二元函數(shù)p(x,y),必定可以作為某個二維隨機變量的密度函數(shù).此外,密度函數(shù)還具有性質(zhì):(3) 若p(x,y)在點(x,y)連續(xù),F(x,y)是相應(yīng)的分布函數(shù),則有=p(x,y)(4) 若G是平面上的某一區(qū)域,則P(x,h)G=例如,若G=(x,y):x1xx2,y1yy2這時就有P(x1xx2,y1hy2)=P(x,h)G=這是與(3.25)式一致的,由此還容易求得邊際分布為Fx(x)=P(xx)=P(xx,h0,s20,|1,令p(x,y)=其截斷了的部分圖形如圖3.11所示.由(3.43)式易知p(x,y)0,并且還有=1因而p(x,y)是一個二維密度函數(shù).以p(x,y)為密度函

26、數(shù)的分布函數(shù),稱為二維正態(tài)分布,常常記作N(a1,a2,).如果二維隨機變量的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布,也稱是一個二維正態(tài)變量.由(x,h)的聯(lián)合分布可以求得x,h的密度函數(shù).為此,令, 由(3.40)式知px(x)=由此知px(x)是N(a1,)分布的密度函數(shù),由對稱性還可得ph(y)=因而二維正態(tài)分布N(a1,a2,)的兩個邊際分布都是一維正態(tài)分布,分別為N(a1,)和N(a2,).把上式兩邊對y積分,就有1=這里,我們順便完成了對(3.44)式的驗證.如果12,則兩個二維正態(tài)分布: N(a1,a2,1),N(a1,a2,2)是不相同的,但是由(3.45)和(3.46)知道它們有完全相同的兩

27、個邊際分布,這一事實再一次說明了邊際分布不能唯一決定它們的聯(lián)合分布,還值得一提的是,兩個邊際分布都是正態(tài)分布的二維隨機變量,它們的聯(lián)合分布不僅是不唯一確定的,而且還可以不是一個二維的正態(tài)分布,下面就是這樣的一個例子.例3.9 設(shè)p(x,y)=(1+sinxsiny), -x,y+則p(x,y)0為顯然,且有:=1這是因為sinx是奇函數(shù),而是偶函數(shù),于是有=0這時px(x)=同理還有ph(y)=所以x與h都是N(0,1)分布的隨機變量,但是(x,h)卻并不是一個二維正態(tài)變量.六、隨機變量的獨立性:在第二章中,我們曾經(jīng)指出,二維離散型隨機變量(x,h)的聯(lián)合分布列不僅描述了x與h各自的統(tǒng)計規(guī)律,

28、而且還包含有x與h相互之間聯(lián)系的內(nèi)容,當(dāng)這兩個隨機變量取值的規(guī)律互不影響時,稱x與h是獨立的.現(xiàn)在把這個概念推廣到一般的場合,在引入分布函數(shù)時,我們已經(jīng)知道描述一般隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律需要用分布函數(shù)F(x)=P(xx),以代替離散型場合用的分布列P(x=ai),在引入獨立性的定義時,也作這樣的替代,這時就有下面的定義.1.二維隨機變量的獨立性:定義3.5 設(shè)二維隨機變量(x,h)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),又x與h的分布函數(shù)為Fx(x)、Fh(y),若對任意的(x,y)有F(x,y)= Fx(x)Fh(y)成立,則稱隨機變量x與h是相互獨立的.如果(x,h)是二維連續(xù)型隨機變量,則x與h也都是

29、連續(xù)型隨機變量,它們的密度函數(shù)分別為px(x)及ph(y).這時容易驗證與獨立的充要條件為px(x)ph(y)是(x,h)的密度函數(shù)現(xiàn)在來驗證這一結(jié)論.如果已知px(x)ph(y)是(x,h)的密度函數(shù),就有F(x,y)=Fx(x)Fh(y)故(3.47)式成立;反之,若已知(3.47)式成立,則F(x,y)=Fx(x)Fh(y)=對任意的(x,y)成立,因而px(x)ph(y)是(x,h)的密度函數(shù),(3.48)成立.由此可知,要判斷連續(xù)型隨機變量x與h是否獨立,只要驗證px(x)ph(y)是否是(x,h)的密度函數(shù)就可以了,一般說來,這是比較容易的.例3.10 若二維隨機變量(x,h)服從

30、N(a1,a2,0)分布,問x與h是否獨立？解 這時(x,h)有密度函數(shù)p(x,y)=由例3.8已知px(x)=, ph(y)=顯然這時px(x)ph(y)=p(x,y)成立,所以x與h相互獨立.反過來,若x與h獨立,則必有=0.所以對二維正態(tài)隨機變量N(a1,a2,)來說,=0是它們相互獨立的充要條件.這一節(jié)我們從一般的n維隨機變量的定義出發(fā),而后對二維隨機變量作了較多的討論,這主要是為了敘述和學(xué)習(xí)方便的緣故.2.n維隨機變量的獨立性:其實,把對二維的討論推廣到n維,并沒有什么實質(zhì)性的困難.例如,對n維隨機變量的獨立性,就有下述定義.定義3.6 設(shè)n維隨機變量(x1,x2,xn)的聯(lián)合分布函

31、數(shù)為F(x1,x2,xn),其邊際分布為,如果對任意的(x1,x2,xn),有F(x1,x2,xn)=成立,則稱x1,x2,xn是n個相互獨立的隨機變量.如果(x1,x2,xn)是連續(xù)型隨機變量,相應(yīng)的邊際密度函數(shù)為,則(3.49)的等價形式為:是(x1,x2,xn)的密度函數(shù)3.4 隨機變量函數(shù)的分布教學(xué)目的要求： 掌握隨機變量函數(shù)的分布規(guī)律,并會求一些隨機變量函數(shù)的密度函數(shù),掌握幾種特殊的分布及隨機變量的和、商的分布函數(shù)和密度函數(shù).教 材 分 析 ：1概括分析：在第二章中我們初步研究了離散型隨機變量函數(shù)的分布函數(shù),本節(jié)我們對一般的隨機變量討論隨機變量函數(shù)的分布.學(xué)習(xí)本節(jié),要求學(xué)生掌握隨機變

32、量函數(shù)的分布規(guī)律,并會求一些隨機變量函數(shù)的密度函數(shù).2教學(xué)重點：隨機變量函數(shù)的分布規(guī)律,一些隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的求法.3教學(xué)難點：會求一些隨機變量函數(shù)的密度函數(shù).教 學(xué) 過 程 ：一、一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù):對離散型隨機變量,我們討論過隨機變量函數(shù)的分布問題,對一般的隨機變量當(dāng)然也存在同樣的問題,例如,若x是N(m,s2)分布的隨機變量,為了解決計算中的查表問題,在3.2中曾經(jīng)引入變換:h=這個新出現(xiàn)的隨機變量h就是原來的隨機變量x的一個函數(shù).現(xiàn)在來討論連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布問題,先介紹一個便于應(yīng)用的定理.定理3.1 設(shè)x是一個連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為p(x),又函數(shù)y=f

33、(x)嚴(yán)格單調(diào),其反函數(shù)h(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則h=f(x)也是一個連續(xù)型隨機變量,且其密度函數(shù)為其中, 證明 不妨設(shè)f(x)是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù),這時它的反函數(shù)h(y)也是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù),于是Fh(y)=P(hy)=P(f(x)y)=P(xh(y)=, f(-)yf(+)由此得h的密度函數(shù)為同理可證當(dāng)f(x)嚴(yán)格單調(diào)下降時,有由此知(3.51)式成立,命題得證.例3.11 設(shè)x是N(m,s2)分布的隨機變量,又y=f(x)=.容易驗證這時定理3.1的條件滿足,又因為y=f(x)的反函數(shù)為h(y)=sy+m,所以有由此,我們又一次肯定了是一個N(0,1)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量.由例3.11可以看到,

34、定理3.1在使用時的確很方便,但它要求的條件“函數(shù)嚴(yán)格單調(diào),且反函數(shù)連續(xù)可微”很強,在許多場合往往不能滿足.事實上,這個條件可以減弱為“函數(shù)f(x)逐段嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)連續(xù)可微”.例如y=f(x)=x2可以成兩段,在(-,0)段上它嚴(yán)格單調(diào)下降,反函數(shù)連續(xù)可微,而在0,+段上嚴(yán)格單調(diào)上升,反函數(shù)連續(xù)可微.所以y=x2不滿足定理3.1的條件而滿足減弱以后的條件.這時,密度公式(3.51)也應(yīng)該作相應(yīng)的修改,這里我們不給出修改后的密度公式(有興趣的讀者可以自己作這個修改工作),而給出這樣的一個實例.例3.12 設(shè)x是N(0,1)分布的隨機變量,試求h=x2的密度函數(shù).解 對y0,顯然有: Fh(y

35、)=P(h0時,有:Fh(y)=P(hy)=P(x2y)=P(-x)=于是h的分布函數(shù)為Fh(y)=由此可得h的密度函數(shù)不難看出,上式表示的密度函數(shù)是下述密度函數(shù)當(dāng)n=1時的特例:p(x)=(其中()表示伽瑪函數(shù)),以上式為密度函數(shù)的分布含有參數(shù)n,常常稱這個分布是自由度為n的-分布(為希臘字母,讀作“卡”,讀作“卡方”),并記作(n),它是數(shù)理統(tǒng)計中一個重要的分布.由(3.52)式可知,N(0,1)變量的平方是自由度為1的-變量.在例3.12的計算中,并沒有套用現(xiàn)成的定理和公式,而是從分布函數(shù)的定義出發(fā)進行計算.這種方法比套用定理靈活,能解決更多的問題,下面我們繼續(xù)用這種方法(有時要用到公式

36、(3.37)來討論多維隨機變量函數(shù)的分布問題.二、多維隨機變量函數(shù)的分布:(一) 和的分布設(shè)(x,h)是一個二維連續(xù)型隨機變量,密度函數(shù)為p(x,y),現(xiàn)在來求=x+h的分布,按定義為:F(y)=P(y)=P(x+hy)如果(x,h)表示平面上點的坐標(biāo),則P(x+h0,0為兩個常數(shù)),這時稱x是參數(shù)為(,)的分布的隨機變量,相應(yīng)的分布稱作參數(shù)為(,)的分布,并記作(,).例3.14 設(shè)x,h是兩個相互獨立的隨機變量,分別服從(1,)、(2,)分布,試求=x+h的分布密度.解 由卷積公式(3.56)及(3.57)知當(dāng)y0時,p(y)=0;而當(dāng)y0時有:p(y)=令=t,則有: 其中 =(1,2)=于是 =, y0這就是說服從(1+2,)分布,也就是有:(1,)*(2,)=(1+2,)由此可知分布也具有可加性(更確切的說法是分布關(guān)于第一個參數(shù)