基本不等式求最值的類型與方法,經典大全(共8頁)

1、PAGE = page 9*2-1 17 = page 9*2 18專題(zhunt)：基本(jbn)不等式求最值的類型(lixng)及方法一、幾個重要的基本不等式：當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b = c時,“=”號成立； ,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.注： 注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個重要的不等式鏈：。二、函數圖象及性質(1)函數圖象如圖：(2)函數性質：值域：；單調遞增區(qū)間：，；單調遞減區(qū)間：，.三、用均值不等式求最值的常見類型類型：求幾個正數和的最小值。例1、求函數的

2、最小值。解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關鍵在于構造條件，使其積為常數。通常要通過添加常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。類型：求幾個正數積的最大值。例2、求下列函數的最大值： 解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當且僅當，即時 “=”號成立，故此函數最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在于構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。類型：用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y

3、，求的最小值。解法(ji f)一：（單調(dndio)性法）由函數圖象(t xin)及性質知，當時，函數是減函數。證明：任取且，則，則，即在上是減函數。故當時，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當時，且單調遞減，則在上也是減函數，即在上是減函數，當時，在上有最小值5。解法三：（拆分法），當且僅當時“=”號成立，故此函數最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。類型：條件最值問題。例4、已知正數x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。解法二：（消元法

4、）由得，由，則。當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則：，易求得時“=”號成立，故最小值是18。評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法： 。原因就是等號成立的條件不一致。類型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍(fnwi)是。解法(ji f)二：由，知，則：，由，則：，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍(fnwi)是。，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是

5、。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧。四、均值不等式易錯例析：例1. 求函數的最值。錯解：當且僅當即時取等號。所以當時，y的最小值為25，此函數沒有最大值。分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件導致錯誤。因為函數的定義域為，所以須對的正負加以分類討論。正解：1）當時，當且僅當即時取等號。所以當時， 2）當時， 當且僅當，即時取等號，所以當時，.例2. 當時，求的最小值。錯解：因為所以當且僅當即時，。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必須分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中與的積不是定值，導致錯誤。正

6、解：因為當且僅當，即時等號成立，所以當時，。例3. 求的最小值。錯解：因為，所以分析(fnx)：忽視(hsh)了取最小值時須成立(chngl)的條件，而此式化解得，無解，所以原函數取不到最小值。正解：令，則又因為時，是遞增的。所以當，即時，。例4.已知且，求的最小值.錯解： ,的最小值為.分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值.正解：當且僅當即時等號成立. 的最小值為.綜上所述，應用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項或各因式必須為正數；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“

7、定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項例1：已知，求函數的最大值。解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。技巧二：湊系數例2. 當時，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。技巧三： 分離例3. 求的值域。解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x1時取“”號）。技巧四：換元解

8、析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區(qū)間單調遞增，所以在其子區(qū)間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。解：，當且僅當時，上式等號成立(chngl)，又，可得時， 。鞏固(gngg)練習：1、已知：且，則的最大值為( )(A) (B) (C)

9、(D)2、若，且恒成立(chngl)，則a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正確的個數是( )(A)0個 (B)1個 (C)2個 (D)3個4、設，則下列不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)5、設且的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6、若實數滿足，則的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)7、若正數滿足，則的取值范圍是 .8、若,且，則的最小值為 . 基本不等式知識點：1. (1)若，則(2)若，則（當且僅當時取“=”）2. (1)若，則(2)若，則（當且僅當時取“=”）(3)若，則 (當且僅當時取“=”）3

10、.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）4.若，則 (當且僅當時取“=”）若，則 (當且僅當時取“=”）5.若，則（當且僅當時取“=”）注意：當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例：求下列函數的值域（1）y3x 2 eq f(1,2x 2) （2）yx eq f(1,x) 解：(1)y3x 2 eq f(1,

11、2x 2) 2 eq r(3x 2 eq f(1,2x 2) ) eq r(6) 值域為 eq r(6) ，+）(2)當x0時，yx eq f(1,x) 2 eq r(x eq f(1,x) ) 2；當x0時， yx eq f(1,x) = （ x eq f(1,x) ）2 eq r(x eq f(1,x) ) =2值域為（，22，+）解題技巧技巧(jqio)一：湊項例 已知，求函數的最大值。 解：因，所以(suy)首先要“調整(tiozhng)”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。技巧二：湊系數例： 當時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最

12、值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。變式：設，求函數的最大值。解：當且僅當即時等號成立。技巧三： 分離技巧四：換元例：求的值域。解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x1時取“”號）。解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，則因，但解得

13、不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調性。因為(yn wi)在區(qū)間(q jin)單調遞增，所以(suy)在其子區(qū)間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例：已知，且，求的最小值。錯解：，且， 故 。錯因：解法中兩次連用均值不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。技巧七例：已知x，y為正實數，且x 2 eq f(y 2,2)

14、1，求x eq r(1y 2) 的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab eq f(a 2b 2,2) 。同時還應化簡 eq r(1y 2) 中y2前面的系數為 eq f(1,2) ， x eq r(1y 2) x eq r(2 eq f(1y 2,2) ) eq r(2) x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) 下面將x， eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) 分別看成兩個因式：x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(x 2( eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) )2,

15、2) eq f(x 2 eq f(y 2,2) eq f(1,2) ,2) eq f(3,4) 即x eq r(1y 2) eq r(2) x eq r( eq f(1,2) eq f(y 2,2) ) eq f(3,4) eq r(2) 技巧八：已知a，b為正實數，2baba30，求函數y eq f(1,ab) 的最小值.分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等

16、式的途徑進行。法一：a eq f(302b,b1) ， ab eq f(302b,b1) b eq f(2 b 230b,b1) 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab eq f(2t 234t31,t) 2（t eq f(16,t) ）34t eq f(16,t) 2 eq r(t eq f(16,t) ) 8 ab18 y eq f(1,18) 當且僅當t4，即b3，a6時，等號成立(chngl)。法二：由已知得：30aba2b a2b2 eq r(2 ab ) 30ab2 eq r(2 ab ) 令u eq r(ab ) 則u22 eq r(2) u300， 5 eq r(2) u

17、3 eq r(2) eq r(ab ) 3 eq r(2) ，ab18，y eq f(1,18) 點評(din pn)：本題(bnt)考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關鍵是尋找到之間的關系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉換為含的不等式，進而解得的范圍.技巧九、取平方例: 求函數的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。 故。應用二：利用均值不等式證明不等式例：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當且僅當時取等號。應用三：均值不