427016圓的有關(guān)概念及圓的確定—知識講解

1、 讓更多的孩子得到更好的教育PAGE 地址：北京市西城區(qū)新德街20號4層 電話傳真第 PAGE 7頁 共 NUMPAGES 7頁圓的有關(guān)概念及圓的確定知識講解責編：常春芳 【學習目標】1知識目標：理解圓的描述概念和圓的集合概念；理解半徑、直徑、弧、弦、弦心距、圓心角、同心圓、等圓、等弧的概念；經(jīng)歷探索點與圓的位置關(guān)系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系；了解不在同一直線上的三點確定一個圓，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的外接三角形的概念.2能力目標：能應用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，進行計

2、算或證明；會過不在同一直線上的三點作圓.3情感目標：在確定點和圓的三種位置關(guān)系的過程中體會用數(shù)量關(guān)系來確定位置關(guān)系的方法，逐步學會用變化的觀點及思想去解決問題，養(yǎng)成學生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習慣. 【要點梳理】要點一、圓的定義1. 圓的描述概念如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”要點詮釋： 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可； 圓是一條封閉曲線.2.圓的集合概念圓心為O，半徑為r的圓是平面

3、內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.平面上的一個圓，把平面上的點分成三類：圓上的點，圓內(nèi)的點和圓外的點.圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點的集合.要點詮釋： 定點為圓心，定長為半徑；圓指的是圓周，而不是圓面；強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.要點二、點與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有三種：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外.若O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么：點P在圓內(nèi) d r ；點P在圓上 d = r ；點P在圓外 d r. “”讀作“等價于”，它表示從左

4、端可以推出右端，從右端也可以推出左端.要點詮釋：點在圓上是指點在圓周上，而不是點在圓面上；要點三、與圓有關(guān)的概念1. 弦弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是O的直徑，CD是O中任意一條弦，求證：ABCD.證明：連結(jié)OC、OD AB=AO+OB=CO+ODCD(當且僅當CD過圓心O時，取“=”號)直徑AB是O中最長的弦.2. 弧?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧

5、AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.要點詮釋：半圓是弧，而弧不一定是半圓；無特殊說明時，弧指的是劣弧.3.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點詮釋：等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視； 圓中兩平行弦所夾的弧相等.4.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.要點詮釋：同圓或等圓的半徑相等.5.圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.要點詮釋：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立.要點四、確定圓的條件（1）經(jīng)過一

6、個已知點能作無數(shù)個圓；（2）經(jīng)過兩個已知點A、B能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；(3）不在同一直線上的三個點確定一個圓.(4)經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.如圖：O是ABC的外接圓， ABC是O的內(nèi)接三角形，點O是ABC的外心. 外心的性質(zhì)：外心是ABC三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等.要點詮釋：（1）不在同一直線上的三個點確定一個圓.“確定”的含義是“存在性和唯一性”.（2）只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定.【典型例題】類型一、圓的定義1（2014秋邳州市

7、校級月考）如圖所示，BD，CE是ABC的高，求證：E，B，C，D四點在同一個圓上【思路點撥】要證幾個點在同一個圓上，就是證明這幾個點到同一點的距離都相等即可.【答案與解析】證明：如圖所示，取BC的中點F，連接DF，EFBD，CE是ABC的高，BCD和BCE都是直角三角形DF，EF分別為RtBCD和RtBCE斜邊上的中線，DF=EF=BF=CFE，B，C，D四點在以F點為圓心，BC為半徑的圓上【總結(jié)升華】要證幾個點在同一個圓上，只能依據(jù)圓的定義，去說明這些點到平面內(nèi)某一點的距離相等.舉一反三：【變式】平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等

8、腰梯形【答案】C.2 爆破時，導火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點導火索的人需要跑到離爆破點120m以外的安全區(qū)域.這個導火索的長度為18cm，那么點導火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？【思路點撥】計算在導火索燃燒完的時間內(nèi)人跑的距離與120m比較.【答案與解析】 導火索燃燒的時間為相同時間內(nèi)，人跑的路程為206.5=130（m）人跑的路程為130m120m,點導火索的人安全.【總結(jié)升華】爆破時的安全區(qū)域是以爆破點為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示. 類型二、圓的有關(guān)計算3已知，點P是半徑為5的O內(nèi)一點，且OP=3，在過點P的所有的O的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為( ) A.2 B.

9、3 C.4 D.5【思路點撥】在一個圓中，過一點的最長弦是經(jīng)過這一點的直徑，最短的弦是經(jīng)過這一點與直徑垂直的弦.【答案】 C.【解析】作圖，過點P作直徑AB，過點P作弦，連接OC 則OC=5，CD=2PC， 由勾股定理，得， CD=2PC=8，又AB=10， 過點P的弦長的取值范圍是，弦長的整數(shù)解為8，9，10，根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數(shù)的弦共4 條. 故選C.【總結(jié)升華】利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍.根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，容易漏解.舉一反三：【變式】平面上的一個點到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm，則圓的半徑是（ ）.A.2.5cm B

10、.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm【答案】C.類型三、確定圓的條件的有關(guān)作圖與計算4已知：不在同一直線上的三點A、B、C，求作： O使它經(jīng)過點A、B、C.【思路點撥】作圓的關(guān)鍵是找圓心得位置及半徑的大小，經(jīng)過兩點的圓的圓心一定在連接這兩點的線段的垂直平分線上，進而可以作出經(jīng)過不在同一直線上的三點的圓.【解析】作法：1、連結(jié)AB，作線段AB的垂直平分線MN；2、連接AC，作線段AC的垂直平分線EF，交MN于點O；3、以O為圓心，OB為半徑作圓. 所以O就是所求作的圓. 【總結(jié)升華】通過這個例題的作圖可以作出銳角三角形的外心（圖一），直角三角形的外心（圖二），鈍角三角形的外心（圖三）.探究各自外心的位置.【變式】（2015江干區(qū)二模）給定下列圖形可以確定一個圓的是（）A已知圓心B已知半徑C已知直徑D不在同一直線上的三個點【答案】D.提示：A、已知圓心只能確定圓的位置不能確定圓的大小，故錯誤；B、C、已知圓的半徑和直徑只能確定圓的大小并不能確定圓的位置，故錯誤；D、不在同一直線上的三點確定一個圓，故正確，故選D5如圖，O的直徑為10，弦AB=8，P是弦AB上的一個動點，那么OP的長的取值范圍是 . 【思路點撥】求出符合條件的OP的最大值與最小值.【答案】3OP5.【解析】OP最長邊應是半徑長，為5；根據(jù)垂線段最短，可得到當OPAB時，