1-2 比大小問題（高考熱點）----學生版

1、MST 二輪復習 第 2 講 高考熱點 -比大小問題從最早2017 年全國卷出現(xiàn)構造六大同構函數(shù)比大小開始，比大小問題成為了高考的熱點，之前比大小 【專題綜述】問題更多涉及不等式，目前的考題又以構造函數(shù)為主，在這種類型題當中，體現(xiàn)了函數(shù)方程不等式綜合思想，本節(jié)我們系統(tǒng)分析比大小的一些常見方法.題型一：構造中間變量比大小在比較大小的題型中，對數(shù)是最為常見的，通常也是logab 對比logcd，指數(shù)和真數(shù)都不相等時，我們要么構造指數(shù)相等，要么選擇中間變量進行比大小。對數(shù)同步升(降) 次法：根據(jù)logab = logambm 可知log23 = log49 = log827 = log1213 ；注

2、意：一般出現(xiàn)在以2 或者3 為底數(shù)的對數(shù)比大小當中，底數(shù)真數(shù)次方一起同升同降，我們先看一道例題： 【例1】. 比較a = log43，b = log52，c = log85 的大小.通常我們需要把底數(shù)和真數(shù)的分數(shù)轉化為整數(shù)，再進行比大小，選取必要的中間變量，比如 0 或者 1.【例2】. (2021 天津) 設a = log20.3，b = log 0.4，c = 0.40.3，則三者大小關系為()12A. a b c B. c a b C. b c a D. a c b【例3】. (2021 新高考) 已知a = log ，則下列判斷正確的是()52，b = log83，c = 12A. c

3、 b a B. b a c C. a c b D. a b c-0.8【例4】. (2020 天津) 設a = 30.7，b = 1，c = log0.70.8，則a，b，c 的大小關系為() 3A. a b c B. b a c C. b c a D. c a b【例5】. (2020 新課標) 設a = log ，則()32，b = log53，c = 23A. a c b B. a b c C. b c a D. c a b【例6】. (2019 新課標) 已知a = log20.2，b = 20.2，c = 0.20.3，則()A. a b c B. a c b C. c a b D.

4、 b c b 0，m 0，則一定有 b + ma + m ba，或 者 a + mb + m 0；a a2 + am a2 + ama + m = ab + bm ab am (a b)mab + m b b2 + bm b2 + bm= 0【例7】. (2019 天津) 已知 a = log27，b = log38，c = 0.30.2，則 a，b，c 的大小關系為 ()A. c b a B. a b c C. b c a D. c a b【例8】. (2020 新課標) 已知 55 84，134 85設 a = log53，b = log85，c = log138，則 ()A. a b c

5、 B. b a c C. b c a D. c a b【例9】. 已知 a = 2- 420,c = log312，則 ( )1A. b c a B. a c b C. b a c D. a b 0 b B. a b 0 C. b a 0 D. b 0 a2MST 二輪復習函數(shù)【例11】. 已知2a = 3,3b = 2,5c = 2 2，則( )A. a b c B. c a b C. b a c D. a c b題型三：構造函數(shù)比大小1. 由 f (x)= lnxx引出的大小比較問題如上圖，f x = lnx圖像性質，有以下結論：x(1)f x = lnx 在區(qū)間0,e 上單調遞增，在區(qū)間

6、e,+ 單調遞減；當x = e 時，取得最大值 1 x e(2) 極大值左偏，且f 2 = f 4 ；(3) 當e a b 0 時 ，b lnb , 當a b e 時，b b ，當e a b 0 時 ，ab ba，當a b e 時，ab a b 0 時，lna lnb 故 b lnb ，同理當a b e 時 ，b b ，即比較blna 與alnb 的大小，同除以ab 得到 lna 與 lnb ，根據(jù)函數(shù)f x = lnx的單a b x調性，即可判斷。1 1 1 11 13 大小時，即比較 ln2關于函數(shù)x x 和函數(shù)xx 比大小問題，都可以按照構造對數(shù)來比較，例如在比較22 ，ee ，32ln

7、e 大小，在比較 1 , ln3, ln31 1 11 115 ，即比較 ln2 , ln55 ，即構造2 2 ，3 3 ，5 大小。e 3 2 3 5 2 3 5【例12】. (2017 新課標) 設x、y、z 為正數(shù)，且2x = 3y = 5z，則()A. 2x 3y 5z B. 5z 2x 3y C. 3y 5z 2x D. 3y 2x 5z,3MST 二輪復習【例13】. 下列四個命題： ln5 ； 2 11 4 2；其中真命題的個數(shù)是e ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例14】. 已知 a = 6ln,b = 2ln3,c = 3ln2，則 ( )A. c a b B.

8、 c b a C. a b c D. b a (t + 2)ln(t + 3) B. (t + 1)t+2 (t + 2)t+1 C. 1 + 1 t logt(t + 1) D. logt+1(t + 2) logt+2(t + 3)【例16】. (已知 a，b 1, 則下列關系式不可能成立的是 ( )A. eblna ab B. eblna ab C. aeb blna D. aeb blna2. 構造同構函數(shù)比大小【例17】. (2020 新課標) 若 2a + log2a = 4b + 2log4b，則 ()A. a 2b B. a b2 D. a b24MST 二輪復習函數(shù)【例18】

9、. 已知 a = 2ln3 - 2,b = ln5 - 5 + 1,c = 3ln2 - 2 2 + 1，則 a,b，c 的關系是 ( )A. a c b B. c b a C. a b c D. b c c a B. a c b C. c b a D. c a b1 11【例20】. 已知 a = 32 ,b = (1 + e)e ,c = 43 ，則 ( )A. b a c B. b c a C. c a b D. a b c題型四：利用泰勒展開比大小高考常考函數(shù)在 0 處的泰勒展開式：ex = 1 + x + x + + x + o(xn) 1 2 + x3 +.2 n2 + x3 +.

10、2! n!1 - x = 1 + x + x 1 2 - x3 +. ln(1 + x) = x - x + x + + (-1)n-1 x1 + x = 1 - x + x2 3 n2 3 n ( - 1) ( - 1) ( - n + 1)(1 + x) = 1 + x + x2 + + xn + x (-1，1) 2! n!sinx = x - x + x - x +. cosx = 1 - x + x - x3 5 7 2 4 6+.3! 5! 7! 2! 4! 6!tanx = x + 1 x3 + 2 x5 + 17 x7 + 0(x7) |x| 3 15 315 2+ (xn)我

11、們能根據(jù)泰勒展開進行放縮，ex = 1 + x + x + + x + ex 1 + x + x ; e-x 1 - x + x2 n 2 2；2! n! 2 2 【例21】（. 2022 新課標 1 卷）設 a = 0.1e0.1，b = 1，c = ln0.9，則9 a b c B c b a C c a b D a c b a B. b a c C. a b c D. a c b【例23】. (2021 乙卷理) 設 a = 2ln1.01，b = ln1.02，c = 1.04 - 1，則 ()A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b注意：考試中不一定記得

12、住這個泰勒展開式 (1 + x) 1 + x +( - 1)2!x2 +( - 1) ( - 2)3!x3, 就可以嘗試構造函數(shù).【例24】. 若 a = ln1.01,b = 1.0130e ,c = 101 , 則 ( )1A. a b c B. a c b C. c a b D. c b b c B. b c a C. c a b D. c b a題型五：利用飄帶函數(shù)放縮和三角不等式放縮比大小1. 對數(shù)函數(shù)與飄帶函數(shù) 2(x - 1)如圖，根據(jù)飄帶函數(shù)，當 x 1 時， x + 1 lnx 2(x - 1)12當 0 x lnx x 1 恒成立，x12x 1 恒成立x2. 指數(shù)函數(shù)特殊放

13、縮： ex 0 時 ，有 sinx x，當 x x;3x（2）當 x (0, 6 ) 時， 4x （3）當 x (0, 4 ) 時， sinx tanx x證明（：1）略（2）構造函數(shù) h(x) = sinx,h(x) = xcosx - sinx, 令 g(x) = xcosx - sinx,g(x) = -xsinx 0, 所以 g(x) 在區(qū)間x x23 (0, (x) h( 6 ) 單調遞減，由于 g(0) = 0, 所以 h 6 ) =, 3x所以當 x (0, 6 ) 時， sinx 0, 所以 h(x) 單調遞增，所以 h(x) h( 4 ) =4 x x2cos2x 2x2co

14、s2x 4x 所以當 x (0, 4 ) 時， tanx x 【例26】. 若 a,b，c (0, 2 )，滿 足 a = cosa，b = sin(cosb),c = cos(sinc), 則 ( ) A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c7MST 二輪復習【例27】. 設 a = 150 ,b = 2ln(sin 100 + cos 100 ),c = 50 則 ( )1 1 6 51A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c【例28】. 已知 a = sin20o,b = 720 ,c =1A. c a b B. a c b C

15、. c b a D. b c a【例29】. 設 a = 12 106 + 102 ,b = e10.01 - 1,c = ln1.02則 ( )A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b【例30】. 已知 a = tan(1 + - 3 ),b = tan0.1,c = 0.4 ，則 ( )A. a b c B. b a c C. c a b D. a c b同步訓練1. (2019 天津) 已知 a = log52，b = log0.50.2，c = 0.50.2，則 a，b，c 的大小關系為 ()A. a c b B. a b c C. b c a D. c

16、a b c B. b a c C. c b a D. c a b3. (2018 天津) 已知 a = log2e，b = ln2，c = log1213，則 a，b，c 的大小關系為 ()A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b8MST 二輪復習函數(shù)14. (2017 天津) 已知奇函數(shù) f (x) 在 R 上是增函數(shù)若 a = -f log ，b = f (log24.1)，c = f (20.8)，則 a，b，c25的大小關系為 ()A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b5. 已知 a = log32,b = log115,c

17、 = lg4, 則 ( )A. a c b B. c a b C. a b c D. b c a6. (2015 山東) 設 a = 0.60.6，b = 0.61.5，c = 1.50.6，則 a，b，c 的大小關系是 ()A. a b c B. a c b C. b a c D. b c a7. (2018 新課標) 設 a = log0.20.3，b = log20.3，則 ()A. a + b ab 0 B. ab a + b 0 C. a + b 0 ab D. ab 0 a + b8. 已知 a,b,c (0,1)，且 a - 4 = ln a b4 ,b - 5 = lnc6 ，

18、則 ( )A. a b c B. a c b C. b c a D. c b c b B. a b c C. c a b D. c b a10. 已知 a = ln,b = e ,c = ln8 8 ，則 ( )A.b a c B.a b c C.c a b D.a c b9MST 二輪復習11. 若 0 x1 x2 1, 下列說法錯誤的是 ( )A. x2ex1 x1ex2C. ex2 - ex1 lnx2 - lnx1 D. ex2 - ex1 lnx2 - lnx112. 設 1 a b e, 則 ab,ba,e e ，的大小關系為 ( )abA. ab ba e e B. ba ab

19、e e C. e e ab ba D. ab e e baab ab ab ab13. 已知 a - 1 = lna,b - e = ln be ,c - = ln c ，其中 a,b，c (0,+)，且 b e,c ，則 ( )A. a c b B. c a b C. a b c D. c b 0,b 0, 且 a 1b + lnab 成立，則下列不等式不可能成立的是 ( )A. ab b 1 B. 1 b ab C. b ab 1 D. ab 1 b15. 已知 a,b 滿足 0 a b b b B. a a = b b C. a a 1.92 B. 22.9 2.92 C. 22ln2

20、- 1 ln22 22 2 - 1D. log74 log12717. 設 a = 15ln13,b = 14ln14 ，c = 13ln15, 則 ( )A. c b a B. b a c C. c a b D. a c 0,b 0)，則 ( )b = e2 aA. a 2b B. a b2 D. a b219. 若 a = sin1 + tan1,b = 2,c = ln4 + 12 ，則 ( )A. c b a B. c a b C. a b c D. b c a20. 已知 a = e0.05,b = ln1.12 + 1,c = 1.1，則 ( )A. a b c B. b c a C. b a c D. c a b21. 已知 a = 20 e,b = 1.1,c = sin 64 + cos 64 ，則 ( )A. a b c B. c b a C. c a b D. b c a22. 設 a = 150 ,b =ln7 51100 ,c = 2ln 50 ，則 ( )A. c b a B. b a