(江蘇專版)高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問(wèn)題02函數(shù)中存在性與恒成立問(wèn)題(含解析)-人教版高三全冊(cè)

1、，word問(wèn)題 02 函數(shù)中存在性與恒成立問(wèn)題一、考情分析函數(shù)內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心 , 也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn) . 在新課標(biāo)下的高考越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察 , 恒成立與存在性問(wèn)題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑 , 它主要涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及不等式等知識(shí) , 滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法 , 在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用者的青睞 , 成為高考能力型試題的首選 .二、經(jīng)驗(yàn)分享(1) 設(shè) , （ 1 ） 上 恒 成 立上恒成立 .(2) 對(duì)于一次函數(shù) 有：, 故備受高考命題； （

2、 2 ）(3) 根據(jù)方程有解求參數(shù) X 圍 , 若參數(shù)能夠分離出來(lái) , 可把求參數(shù) X 圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域(4) 利用分離參數(shù)法來(lái)確定不等式 f x, 0 , （ x D , 為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù) 步驟 :將參數(shù)與變量分離 , 即化為 （或 ）恒成立的形式；求 f x 在 x D 上的最大（或最小）值；【牛刀小試】 【某某省某某市淮海中學(xué) 2019 屆高三上學(xué)期測(cè)試】函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是 _.【解析】 的定義域?yàn)?，且 ，為奇函數(shù)，且 在 上單調(diào)遞增，由 得， ， 時(shí)， ，1 / 7的取值 X 圍的基本，當(dāng) 時(shí)，word 時(shí)， ，的最小值為 1， ，實(shí)數(shù) 的取值 X 圍是 ，

3、故答案為 .( 二 )分離參數(shù)法【例 2】已知函數(shù) 的圖象在點(diǎn) x(1) 某某數(shù) a 的值；(2) 若 f ( x) kx2 對(duì)任意 x 0成立 , 某某數(shù) k 的取值【分析】 （1） 由 結(jié)合條件函數(shù)可知 f (e) 3 , 可建立關(guān)于 a 的方程：成立 , 只需 即可 , 而由（ 1）可知e （ e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為 3X 圍 .的圖象在點(diǎn) x e 處的切線的斜率為 3 , 從而解得 a 1；（2）要使 f ( x) kx2 對(duì)任意 x 0 恒, 問(wèn)題即等價(jià)于求函數(shù) 的最大值 , 可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) g(x) 的單調(diào)性 , 從而求得其最值： , 令g ( x) 0 , 解

4、得 x 1 , 當(dāng) 0 x 1時(shí) , g ( x) 0 , g(x) 在 (0,1) 上是增函數(shù)；當(dāng) x 1 時(shí) , g ( x) 0 , g( x) 在 (1, )上是減函數(shù) , 因此 g (x) 在 x 1處取得最大值 g(1) 1 , k 1即為所求 .2 / 7word【點(diǎn)評(píng)】在函數(shù)存在性與恒成立問(wèn)題中求含參數(shù) X 圍過(guò)程中 , 當(dāng)其中的參數(shù)（或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式）能夠與其它變量完全分離出來(lái)并 , 且分離后不等式其中一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或 X 圍可求時(shí) , 常用分離參數(shù)法 . 此類問(wèn)題可把要求的參變量分離出來(lái) , 單獨(dú)放在不等式的一側(cè) , 將另一側(cè)看成新函數(shù) , 于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成

5、新函數(shù)的最值問(wèn)題 .【牛刀小試】 【 2017 某某省武邑上學(xué)期第三次調(diào)研考試】已知定義在 R上的奇函數(shù) f x 滿足 : 當(dāng) x 0時(shí) , f x x3 , 若不等式 對(duì)任意實(shí)數(shù) t 恒成立 , 則實(shí)數(shù) m 的取值 X 圍是 .【答案】 , 2( 五) 存在性之常用模型及方法【例 5】設(shè)函數(shù)為 0 .（ 1）求 b的值；（2）若存在 x 1, , 使得 【分析】 （1）根據(jù)條件曲線 y進(jìn)而求得 b 的值：, a R 且 a 1. 曲線 y f x 在點(diǎn) 1, f 1 處的切線的斜率, 求 a 的取值 X 圍 .f x 在點(diǎn) 1,f 1 處的切線的斜率為 0 , 可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a , b

6、 的方程 , ； （2）根據(jù)題意分析可得若存在 x 1, ) , 使得不等式 成立 , 只需 即可 , 因此可通過(guò)探求 f (x) 的單調(diào)性進(jìn)而求得 f ( x) 的最小值 , 進(jìn)而得到關(guān)于 a 的不等式即可 , 而由 （1） 可知 ,則 , 因此需對(duì) a 的取值 X 圍進(jìn)行分類討論并判斷 f ( x) 的單調(diào)性 , 從而可以解得 a 的取值 X 圍是 .【解析】 （1） ,3 / 711 ,1, a 1word由曲線 y f x 在點(diǎn) 1,f 1 處的切線的斜率為 0 , 得 f 1 0 ,當(dāng) a 1時(shí) , 2xf xf xa1 aa1 a1 aa0極小值a1 a不合題意 , 無(wú)解 ,10

7、分當(dāng) a 1時(shí) , 顯然有 f (x) 0 a 0 , 不等式綜上 , a 的取值 X 圍是 .,恒成立 , 符合題意 ,6 【某某市第三中學(xué) 2017 2018 學(xué)年度高三第一學(xué)期月考】 已知函數(shù) , 若存在唯一的整數(shù) x , 使得 成立 , 則實(shí)數(shù) a 的取值 X 圍為_(kāi)【答案】 0,2 3,84 / 7x R,使得 a3x 4word7 【某某中學(xué) 2018 屆高三上第一次階段性考試】若存在則實(shí)數(shù) a 的取值 X 圍是_【答案】 a 2或 0 a 9 2 且 a 1. .【解析】（ 3x 4）當(dāng) 3x 4=0 即 x故舍去,4時(shí) ,33434當(dāng) 3x 4 0 即 x 時(shí) ,當(dāng) 3x 4

8、0 即 x 時(shí) , 令 t=3x 綜上,a 2 或 0 a 9 2 且 a191, 令 t=3x 40,4 0, log 2 a ，所以 a 9 214【 2016 屆某某師大附中高三上學(xué)期二模 】已知函數(shù) 2x2 x （a 0 且 a1）成立 , 所以 log 2a 1所以 a 2（ a 為常數(shù) ,e=2718） ,且函數(shù) 處的切線和 處的切線互相平行（ 1）求常數(shù) a 的值；（2）若存在 x 使不等式 成立 , 某某數(shù) m的取值 X 圍 【答案】 （1） a 1； （2） ( ,0) 【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求5 /

9、 7,1aword函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識(shí) , 考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力第一問(wèn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù) y f (x) 在 x 0 處的切線的斜率 k1 e0 1 , 再求出函數(shù)函數(shù) y g (x) 在 x的斜率 k2 根據(jù)題意列出等式 , 解出 a 的值； 第二問(wèn) , 先將 轉(zhuǎn)化為, 先利a處的切線, 構(gòu)造函數(shù) , 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 , 求出函數(shù)的最值 , 從而得到 m的取值 X 圍（2） 可化為 ,令 , 則 ,因?yàn)?x 0 , 所以 , 故 h ( x) 0 ,所以 h(x) 在 (0, ) 上是減函數(shù) , 因此 ,所以 , 實(shí)數(shù) m 的取值 X圍是 ( ,0)；16. 【某某省南師大附中 2019 屆高三年級(jí)第一學(xué)期期中】 已知函數(shù) ， 直線 是曲線的一條切線（ 1）某某數(shù) a 的值；（2）若對(duì)任意的 x (0， ) ，都有 ，求整數(shù) k 的最大值【解析】6 / 7（2） 令 F( x) f ( x) k( x 1)，則根據(jù)題意，等價(jià)于 F( x) 0 對(duì)任意的正數(shù)F (x) ln x 2 k，wordx 恒成立 .令 F (x) 0，則 x ek 2 .當(dāng) 0 xe