01年數(shù)學(xué)真題及解析三真題

1、2001 年入學(xué)數(shù)學(xué)三試題一、填空題（本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分把填在題中橫線上）設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為 QALK，其中 Q 是產(chǎn)出量，L 是勞動投入量，K 是資本投入量，而 A，均為大于零的參數(shù)，則當(dāng) Q1 時 K 關(guān)于 L 的彈性為某公司每年的工資總額在比上一年增加 20的基礎(chǔ)上再追加 2 百萬元若以 Wt 表示第 t 年的工資總額（k1：百萬元），則 Wt 滿足的差分方程是111k1111（3）設(shè)矩陣 A ，且秩（A）3，則 k1k11k 1（4）設(shè)隨則根據(jù)切量 X 和 Y 的數(shù)學(xué)期望分別為2 和 2，方差分別為 1 和 4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，不等式 PXY6（5）設(shè)總體

2、X 服從正態(tài)分布 N（0，22），而 X1，X2，X15 是來自總體 X 的簡單隨機樣本，X 2 X 2量Y 110 則隨服從分布，參數(shù)為(2X 2 X 2 )1115二、選擇題（本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分每小題給出的四個選項中，只有一題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）f (x) 1，則（ ）設(shè) f（x）的導(dǎo)數(shù)在 xa 處連續(xù)，又limxaxa 是 f（x）的極小值點xa 是 f（x）的極大值點（C）（a，f（a）是曲線 yf（x）的拐點x a（D）xa 不是 f（x）的極值點，（a，f（a）也不是曲線 yf（x）的拐點1 (x2 1),0 x 1,x（2）設(shè)

3、g(x) f (u)du ，其中 f (x) 2 1則 g（x）在區(qū)間（0，2）0 3(x 1),1 x 2,內(nèi)（ ）（A）（B）遞減（C）不連續(xù)（D）連續(xù)aaaaaaaa0010000101 1114 11 1213141312a21a22 a3242a23 a3343a24 a24a23 a3343a22 a3242a21001000（3）設(shè) A , B ,P ,1a31a34 a34a31 a aaaaaaa44 414144100000100100 , 其中 A 可逆，則 B1 等于（P）20010（A）A1P1P2 （B）P1A1P2 （C）P1P2A1 （D）P2A1P1 A（4）

4、設(shè) A 是 n 階矩陣，是 n 維列向量若秩（A）AX必有無窮多解（B）AX必有唯一解 秩（A），則線性方程組（ ）T0 X A（C） 0 僅有零解0Ty X A（D） 0 必有非零解0yT（5）將一枚硬幣重復(fù)擲 n 次，以 X 和 Y 分別表示正面向上和相關(guān)系數(shù)等于（ ）向上的次數(shù)，則 X 和 Y 的1（A）1（B）0（C） （D）12三、（本題滿分 5 分）設(shè) uf（x，y，z）有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù) yy（x）及 zz（x）分別由下列兩式確定：sin ttx zexyxy2和ex dt ，0du求dx四、（本題滿分 6 分）已知 f（x）在（，）內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) e， l

5、im( x c )x lim f (x) f (x 1)，x cxxx求 c 的值五、（本題滿分 6 分）1 ( x2 y 2 )求二重積分 y1 xe 2Ddxdy 的值，其中 D 是由直線 yx，y1 及 x1 圍成的平面區(qū)域六、（本題滿分 7 分）已知拋物線 ypx2qx（其中 p0，q0）在第一象限內(nèi)與直線 xy5 相切，且此拋物線與 x 軸所圍成的平面圖形的面積為 S（1）問 p 和 q 為何值時，S 達(dá)到最大值？（2）求出此最大值七、（本題滿分 6 分）設(shè) f（x）在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足11 xf (1) kxef (x)dx(k 1)k0證明至少存在一點（0，

6、1），使得 f ( ) (1 1) f ( ) 八、（本題滿分 7 分）已知 fn（x）滿足f n (x) n1 xfn (x) xe （n 為正整數(shù)），e n且 f (1) ，求函數(shù)項級數(shù)f (x) 之和nnn1九、（本題滿分 9 分）1a11設(shè)矩陣 A 1a1 ， 1 已知線性方程組 AX有解但不唯一，試求：a（1）a 的值；（11 22）正交矩陣 Q，使 QTAQ 為對角矩陣十、（本題滿分 8 分）設(shè) A 為 n 階實對稱矩陣，秩（A）n，Aij 是 A（aij）nn 中元素 aij 的代數(shù)2，n），二次型（i，j1，Aijn nn ) |A| xi x j f (i1 j 1記 X（x1，x2，xn）T，把 f（x1，x2，xn）寫成矩陣形式，并證明二次型 f（X）的矩陣為 A1：二次型 g（X）XTAX 與 f（X）的規(guī)范形是否相同？說明理由十一、（本題滿分 8 分）一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的假設(shè)每箱平均重 50 千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5 千克若用最大載重量為 5 噸的汽車承運，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于