案例4-零件強(qiáng)度的有限元分析

1、案例4 零件強(qiáng)度的有限元分析基礎(chǔ)121.1 有限單元法的概念1.2 有限單元法基本步驟1.3 工程實(shí)例 機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是分析、計(jì)算，其中包括對(duì)產(chǎn)品幾何模型進(jìn)行分析、計(jì)算，通過(guò)應(yīng)力變形進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)等。傳統(tǒng)的分析方法： 采用手工計(jì)算，過(guò)程繁瑣，效率低，往往需要對(duì)原型進(jìn)行較大的簡(jiǎn)化并引入更多的假設(shè)，分析方法一般比較粗略，分析結(jié)果不夠可靠，只能用來(lái)對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案作定性的比較分析，而不能作出定量的評(píng)價(jià)。 41.1 有限單元法的概念基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而解決工程技術(shù)問(wèn)題。 Finite Element Method -_FEM Finit

2、e Element Analysis 工程分析： 主要通過(guò)計(jì)算機(jī)，利用數(shù)值分析方法進(jìn)行輔助工程分析，是CAD中應(yīng)用最早、卓有成效的領(lǐng)域之一。分析的關(guān)鍵是在三維實(shí)體建模的基礎(chǔ)上，從產(chǎn)品的方案設(shè)計(jì)階段開(kāi)始，按照實(shí)際使用的條件進(jìn)行仿真和結(jié)構(gòu)分析；按照性能要求進(jìn)行設(shè)計(jì)和綜合評(píng)價(jià)，以便從多個(gè)設(shè)計(jì)方案中選擇最佳方案。計(jì)算機(jī)輔助工程分析: 通常包括有限元分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)、仿真（模擬分析）可靠性分析、試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析等。有限元分析法： 是力學(xué)與近代計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，是一種解決工程問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法，1960年美國(guó)Clogh教授首次提出“有限元法（The Finite Element Method）”的概念。有

3、限元分析法分類(lèi) 有限元法包括有限元建模和有限元分析兩部分，目前它們已成為建立分析模型、共享數(shù)據(jù)的有效途徑，是解決各種工程實(shí)際問(wèn)題的便利工具和有效手段。應(yīng)用 有限元法可以處理任何復(fù)雜形狀、不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程問(wèn)題，廣泛應(yīng)用于場(chǎng)強(qiáng)（力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流體場(chǎng)等）分析、熱傳導(dǎo)、非線(xiàn)形材料的彈塑性蠕變分析等研究領(lǐng)域中。有限元法的基本思想 先把一個(gè)原來(lái)是連續(xù)的物體剖分（離散）成有限個(gè)單元，而且他們相互連接在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上（如圖所示），承受等效的結(jié)點(diǎn)載荷（由靜力等效原則轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的等效載荷），并根據(jù)平衡條件（應(yīng)用虛位移原理建立平衡條件）進(jìn)行分析，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件把這些

4、單元重新組合起來(lái)，成為一個(gè)組合體，再綜合求解。由于單元的個(gè)數(shù)是有限的，結(jié)點(diǎn)數(shù)目也是有限的，所以稱(chēng)為有限元法。有限元法解決問(wèn)題的途徑 力學(xué)分析方法可分為解析法和數(shù)值法，前者只能應(yīng)用于求解簡(jiǎn)單問(wèn)題，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題只能應(yīng)用數(shù)值法求出問(wèn)題的近似解。 有限元法解決問(wèn)題是物理模型的近似，而數(shù)學(xué)上不做近似處理。其概念清晰，通用性與靈活性兼?zhèn)?，能靈活妥善處理各種復(fù)雜情況。10三大類(lèi)型(按其推導(dǎo)方法分):(1) 直接剛度法(簡(jiǎn)稱(chēng)直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場(chǎng)變量表示的單元性質(zhì)方程。 (2) 變分法 直接從求解泛函的極值問(wèn)題入手，把泛函的極植問(wèn)題規(guī)劃成線(xiàn)性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計(jì)算方法。 (

5、3) 加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。 111.2 有限單元法基本步驟(1) 待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)計(jì)算12圖4-2 工程問(wèn)題有限單元法分析流程 單元類(lèi)型在采用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，分析對(duì)象不同，采用單元類(lèi)型（形狀）也不同。常見(jiàn)的單元類(lèi)型有：桿單元、梁?jiǎn)卧?、板單元（三角形、矩形等）、多面體單元（四面體、六面體）等。彈性力學(xué)的基本知識(shí) 常用物理量 外力 作用于物體的外力可分為體力和面力兩種。體力是指分布在整個(gè)體積內(nèi)的外力，如重力和慣性力。面力

6、是指作用于物體表面上的外力，例如流體壓力和接觸力。應(yīng)力 從物體內(nèi)取出一個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的微分體（如下圖）。每個(gè)面上的應(yīng)力可分為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力。正應(yīng)力記為x,y,z。剪應(yīng)力記為xy，yx，xz，zx，yz，zy，前一個(gè)腳標(biāo)表明的作用面所垂直的坐標(biāo)軸；后一個(gè)表明的作用方向。根據(jù)剪應(yīng)力互等定律有xy=yx，xz=zx，yz=zy。微分體的應(yīng)力狀態(tài)圖 應(yīng)變 線(xiàn)段的每單位長(zhǎng)度的伸縮稱(chēng)為正應(yīng)變，記為x，y，z。 線(xiàn)段之間夾角的改變量稱(chēng)為剪應(yīng)變，記為xy，xz，yz。 微分體的應(yīng)變示意圖 位移 在載荷（或溫度）變化等其它因素作用下，物體內(nèi)各點(diǎn)之間的距離改變稱(chēng)為位移，它反映了物體的變形大小

7、。記為u,v,w，分別為X，Y，Z三個(gè)方向的位移分量。 基本方程應(yīng)變和位移的關(guān)系（幾何方程）物體受力后變形，其內(nèi)部任一點(diǎn)的位移與應(yīng)變的關(guān)系如下： , , , , 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系（物理方程） 用虎克定律表示： E材料的彈性模量 材料的泊松比虛功方程虛功原理 假設(shè)一個(gè)彈性體在虛位移發(fā)生之前處于平衡狀態(tài)，當(dāng)彈性體產(chǎn)生約束允許的微小位移并同時(shí)在彈性體內(nèi)產(chǎn)生虛應(yīng)變時(shí)，體力與面力在虛位移上所作的虛功等于整個(gè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功的總和，即外力虛功等于內(nèi)力虛功。虛功方程 若用u、v、w分別表示受力點(diǎn)的虛位移分量；用x、y、x、xy、yz、zx表示虛應(yīng)變分量；用A表示面力作用的表面積，根據(jù)虛

8、功原理，可得虛功方程：簡(jiǎn)例及基本解法與步驟歸納 例題 設(shè)有一只受其自重作用的等截面直桿，上端固定，下端自由。設(shè)桿的截面積為A；桿長(zhǎng)為L(zhǎng)；單位桿長(zhǎng)重力為q， 試用有限無(wú)法求直桿各點(diǎn)的位移。解題思路 解題過(guò)程位移法的具體解題步驟 例題之中所用的方法是有限元法中的位移法，該方法以位移作為基本未知量，進(jìn)而求出其它相關(guān)的未知量。具體解題步驟如下： 1單元剖分 把連續(xù)彈性體分割成許多個(gè)有限大小的單元，并為單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)。 2單元特征分析 以節(jié)點(diǎn)位移e 為基本未知量，設(shè)選一個(gè)單元位移函數(shù)，之后：（1）用節(jié)點(diǎn)位移表示單元位移，f=Ne。（2）通過(guò)幾何方程用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變，=Be。（3）通過(guò)物理方程用節(jié)點(diǎn)

9、位移表示單元應(yīng)力，=Ge。（4）通過(guò)虛功方程用節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力，F(xiàn)e=Kee，得出單元?jiǎng)偠染仃嚒?3總體結(jié)構(gòu)合成（1）分析整理各單元?jiǎng)偠染仃?，通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡方程形成節(jié)點(diǎn)載荷列陣、合成總體剛度矩陣，建立以節(jié)點(diǎn)位移為未知量的、以總體剛度矩陣為系數(shù)的線(xiàn)性代數(shù)方程：K =F。（2）對(duì)線(xiàn)性代數(shù)方程組進(jìn)行邊界條件處理，求解節(jié)點(diǎn)位移。進(jìn)而由=Ge可求得單元應(yīng)力。 解題過(guò)程有限元法的前置處理用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí),要輸入大量的數(shù)據(jù)，如單元數(shù)、單元的幾何特性、節(jié)點(diǎn)數(shù)、節(jié)點(diǎn)編號(hào)、節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)等。故有限元計(jì)算程序要進(jìn)行前置處理。 前置處理是在用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析之前，按所使用的單元類(lèi)型對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行剖分；根據(jù)要求

10、對(duì)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行順序編號(hào)；輸入單元特性及結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；生成網(wǎng)格圖象并顯示；為了決定它是否適用或者是否應(yīng)當(dāng)修改，顯示的圖象應(yīng)帶有結(jié)點(diǎn)和單元標(biāo)號(hào)以及邊界條件等信息；為了便于觀(guān)察，圖象應(yīng)能分塊顯示、放大或縮小。對(duì)于三維結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格圖象需要具備能使圖象作三維旋轉(zhuǎn)的功能等。以上內(nèi)容一般稱(chēng)之為前置處理，為實(shí)現(xiàn)這些要求而編制的程序稱(chēng)為前置處理程序。前置處理的基本功能： 1）生成結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)并按順序編號(hào)； 2）生成網(wǎng)格單元，下圖為一復(fù)雜曲面的網(wǎng)格劃分圖； 3）修改和控制網(wǎng)格單元； 4）引進(jìn)邊界條件以約束一系列結(jié)點(diǎn)的總體位移和轉(zhuǎn)角； 5）單元物理幾何屬性編輯，如材料特性、彈性模量、厚度、慣性矩以及泊松比等； 6）單元分布載荷編

11、輯有限元分析的精度 取決于網(wǎng)格劃分的密度。為了提高分析精度，同時(shí)又避免計(jì)算量過(guò)大，可以采取將網(wǎng)格在高應(yīng)力區(qū)局部加密的辦法。 網(wǎng)格局部加密圖 有限元法的后置處理 當(dāng)結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)有限元分析后，會(huì)輸出大量的數(shù)據(jù)，如靜態(tài)受力分析后節(jié)點(diǎn)的位移量、固有頻率計(jì)算后的振型等。故有限元計(jì)算程序要進(jìn)行后置處理。 后置處理，是將有限元計(jì)算分析結(jié)果進(jìn)行加工處理并形象化為變形圖、等值線(xiàn)圖、應(yīng)力應(yīng)變彩色圖、應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)以及振型圖等，以便對(duì)變形、應(yīng)力等進(jìn)行直觀(guān)分析和研究。為了實(shí)現(xiàn)上述目的而編制的程序，稱(chēng)為后置處理程序。 后置處理內(nèi)容：（1）數(shù)據(jù)輸出： 將結(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)力按設(shè)計(jì)者的意圖整理輸出，還可從大量數(shù)據(jù)中篩選出關(guān)鍵的有用

12、數(shù)據(jù)，按用戶(hù)要求的格式輸出規(guī)格化的數(shù)據(jù)文件。 （2）圖形顯示： 圖形顯示和繪圖可形象直觀(guān)地表示有限元模型和計(jì)算結(jié)果，可幫助設(shè)計(jì)者迅速了解研究對(duì)象的特征，從而對(duì)修改模型作出判斷。圖形顯示包括有限元網(wǎng)格圖、結(jié)構(gòu)變形圖、等值線(xiàn)圖以及振型圖等。等值線(xiàn)有應(yīng)力等值線(xiàn)圖、位移等值線(xiàn)圖、等高線(xiàn)圖和溫度等值線(xiàn)圖等，其中在工程結(jié)構(gòu)分析中，以應(yīng)力等值線(xiàn)圖應(yīng)用最多。等值線(xiàn)圖可在彩色屏幕上用不同的顏色加以形象化。下圖所示為一曲面的彩色等高線(xiàn)圖。 有限元軟件 最為著名的是由美國(guó)國(guó)家宇航局（NASA）在1965年委托美國(guó)計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。從那時(shí)到現(xiàn)在，世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價(jià)格較低的專(zhuān)用或通用有限元分析軟件，主要有德國(guó)的ASKA、英國(guó)的PAFEC、法國(guó)的SYSTUS、美國(guó)的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。 齒輪有限元分析的前后置處理圖 后置處理應(yīng)變網(wǎng)格圖后置處理應(yīng)力應(yīng)變色彩濃淡圖1.3 工程實(shí)例矩形懸臂梁的有限元振型圖 一階振型疊加網(wǎng)格圖二階振型疊加