初等數(shù)學(xué)幾百年重大錯誤：將兩異點(diǎn)集誤為同一集 ——獲A≌B必要條件就可百多字推翻百多年集論

1、初等數(shù)學(xué)幾百年重大錯誤：將兩異點(diǎn)集誤為同一集獲AB必要條件就可百多字推翻百多年集論黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區(qū)9-303 510631）摘要指出初等幾何應(yīng)有最最起碼常識：元點(diǎn)不少于兩個的圖AA，。此常識凸顯初等幾何2300年“起碼常識”:“有無窮多個公共點(diǎn)的直線必重合”使中學(xué)幾百年解析幾何一直將兩異數(shù)軸誤為同一軸?！耙殉墒斓讲荒茉俪墒臁钡某醯葦?shù)學(xué)在數(shù)與形的結(jié)合上一直存在尖銳自相矛盾的原因是初數(shù)一直將“更無理”的R外數(shù)誤為R內(nèi)數(shù)從而將兩異直線段（初數(shù)中最簡單、基本的圖形）誤為同一線段?！皟蓤D是否不能憑肉眼直觀而須用坐標(biāo)法嚴(yán)格證明”的思想方法和圖概念是能放大無窮大倍的思維望遠(yuǎn)鏡使人能洞察到：“

2、肉眼”階段的數(shù)學(xué)被“實(shí)無窮”中的假象迷惑從而使初數(shù)一直將長度不同的偽重合偽射線誤為重合、射線，將“自然數(shù)列”N外正自然數(shù)誤為N 內(nèi)數(shù)百年病態(tài)集論的癥結(jié)。 關(guān)鍵詞N（R）外標(biāo)準(zhǔn)自然數(shù)(實(shí)數(shù))；長度不同的射線；偽二重直線（段）；將N（R）外數(shù)誤為N（R）內(nèi)數(shù)從而搞錯一次函數(shù)的值域；推翻初中的直線公理教（學(xué)）而不思是師生的大敵。人類認(rèn)識自然數(shù)已有5000多年。公元前1100年中國人商高同周公的一段對話談到了勾股定理說明人類認(rèn)識幾何學(xué)的直線段起碼已有3000多年。初等數(shù)學(xué)中關(guān)于自然數(shù)組成的數(shù)列（集）的理論以及關(guān)于直線段的理論，是初數(shù)中的初數(shù)。本文指出初數(shù)一直將“自然數(shù)集”N外數(shù)誤為N內(nèi)數(shù)從而將無窮多各

3、異假N誤為N且一直將兩異直線段誤為同一線段，從而使康脫推出百年病態(tài)集論。許多中學(xué)生喜歡看科普書，有科普書將百年集論譽(yù)為是“人類最偉大的創(chuàng)造之一”（胡作玄引起紛爭的金蘋果27頁，福建教育出版社，1993）。然而本文指出獲得AB的必要條件就可百多字推翻百多年集論。世界上凡熟悉非常簡單易懂的保距變換概念的中學(xué)生都能看懂本文的大部分論據(jù)。一、圖說變距變換必使一維空間中點(diǎn)集變形或變大小圖形的剛體運(yùn)動是不改變其組成成員的運(yùn)動有了各點(diǎn)還須有規(guī)定各點(diǎn)如何排列、聚集的法則才能確定一點(diǎn)集，正如有了各數(shù)n還須有規(guī)定各數(shù)如何有序排列的規(guī)定才能確定一數(shù)列一樣。將一碗水A（水分子的集合）倒入杯子內(nèi)變?yōu)橐槐瓸，A與B形狀

4、不同（從而AB）但組成成員相同，B由A一切水分子組成。永不在同一位置的兩質(zhì)點(diǎn)形成的點(diǎn)集作保（變）距運(yùn)動可形成無窮多各異點(diǎn)集均由這兩質(zhì)點(diǎn)組成。所以如1所述，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)與質(zhì)點(diǎn)本身有根本區(qū)別從而使質(zhì)點(diǎn)集有數(shù)（數(shù)組）集所沒有的獨(dú)特性質(zhì)：兩異點(diǎn)集的組成成員（構(gòu)造材料）可完全相同，正如兩異數(shù)列的組成成員可完全相同一樣（“自然數(shù)列”N中有數(shù)與別的數(shù)互換位置等等就形成N的數(shù)列還由N一切數(shù)組成）。數(shù)形結(jié)合須躍出根本誤區(qū)。數(shù)學(xué)圖形可是“離散”的點(diǎn)組成的點(diǎn)集，例挖去R軸一切非整數(shù)點(diǎn)得到的“整數(shù)點(diǎn)集”R軸是離散的點(diǎn)組成的集?？蚩騼?nèi)的點(diǎn)集（圖形）K中若至少有一對點(diǎn)之間的距離變小（大）（但沒重合在同一位置的點(diǎn)）則必使K變

5、形為K，點(diǎn)還是這框框內(nèi)的幾個點(diǎn)（集的組成成員沒變），但其保序不保距地改變位置后形成的新點(diǎn)集與K 有不同的“長相。注：集的組成成員與集的元素是有根本區(qū)別的，例N各元n變?yōu)?組成的集由無窮多個1組成，但其元卻只有一個。一杯水B運(yùn)動到新的位置是B作剛體運(yùn)動。點(diǎn)集A各組成成員保距進(jìn)入新的空間位置形成新的點(diǎn)集BA是A作剛體運(yùn)動（運(yùn)動的距離可=0），這種運(yùn)動是不改變組成成員（從而不能使點(diǎn)集減員）、組織結(jié)構(gòu)只改變各成員位置的“變位不變員（不是元）”變換；A與BA是組成成員和組織結(jié)構(gòu)都相同（不是元相同）的點(diǎn)集。A若有兩個組成成員重合在同一位置內(nèi)就使A失去了一個成員（這等價于A失去了一個元）而變?yōu)锳的真子集VA

6、，這是改變組成成員的變換，VA與A是組成成員不同的點(diǎn)集說明A失去部分組成成員變?yōu)閂A不能是剛體運(yùn)動。將R軸各無理數(shù)點(diǎn)都挖去使R軸變形為有許多“空隙”的有空隙直線J不R軸，但肉眼不能察覺J與R軸有不同的形狀。同樣可將K看成是有“洞”閉直線段，觀察圖K可一眼看出：直線段K保序（且保員）不保距地均勻收縮變短不能成為K的真子集。二、不識“更無理”數(shù)使初等數(shù)學(xué)一直存在尖銳自相矛盾能透視點(diǎn)集內(nèi)部形狀的數(shù)學(xué)“x光機(jī)”讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識3000年都無人能識的偽重合直線段設(shè)集A=x表A各元均由x代表，相應(yīng)變量x的變域是A。其余類推。同一字母x可代表各不同的數(shù)，同樣，為簡便起見本文中同一字母（例A）在此場合代

7、表某集，在彼場合可代表另一集。其余類推?！皩?shí)數(shù)集”R所有非負(fù)元x0組成R+。RN各元x均有對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)x+1、2x、xn（n2）等等。與xR相異（等）的實(shí)數(shù)均可表為y=x+（增量可=0也可0），因各實(shí)數(shù)的絕對值都可是表示長度的數(shù)故各實(shí)數(shù)都可是數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)，于是xR變換為實(shí)數(shù)y=x+的幾何意義可是：一維空間“管道”g內(nèi)R軸上的質(zhì)點(diǎn)xR(x是點(diǎn)的坐標(biāo))運(yùn)動到新的位置y=x+還在管道g內(nèi)（設(shè)各點(diǎn)只作位置改變而沒別的改變即變位前后的質(zhì)點(diǎn)是同一點(diǎn)）即實(shí)數(shù)的改變可形象化為g內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位置的改變。設(shè)本文所說集合往往是元不少于兩個的集，“區(qū)間”是直線段（開或閉等）相應(yīng)數(shù)軸所有元點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集。定義：若數(shù)集A

8、可保距變?yōu)锽則稱AB。顯然AA。人的骨頭A得了骨質(zhì)疏松病變?yōu)锽，肉眼看B=A，但其實(shí)兩者有根本區(qū)別。出現(xiàn)x光機(jī)使醫(yī)學(xué)發(fā)生革命飛躍。某人將一小包毒品吞進(jìn)肚不使其外部形狀有任何改變而只使其內(nèi)部形狀改變，通過x光機(jī)才能看到人體內(nèi)部形狀。由3個點(diǎn)組成的A=中兩端點(diǎn)不動，中點(diǎn)往左偏移但保持在兩端點(diǎn)之間就使A變形為沒中點(diǎn)的B不A；點(diǎn)還是這3個點(diǎn)A，但其不保距地改變位置后形成的點(diǎn)集B與A有不同的“長相”。B與A是組成成員（構(gòu)造材料）相同（不是元素相同）但組織結(jié)構(gòu)不同的“同員異構(gòu)”體。中學(xué)生都懂的初等幾何最最起碼常識e：圖BB。x軸的子部射線Ax軸:x0可伸縮成射線B（不A）：x=x+=x20。直線段=0，1

9、Ax軸各元點(diǎn)x沿x軸不保距平移改變位置變?yōu)辄c(diǎn)x+=x=x2形成元為點(diǎn)x的線段（不）=0，1B。這不保距變換使兩端點(diǎn)平移的距離均=0，其它各點(diǎn)x向左不保距平移的距離均0。與是組成成員相同（不是元相同）但組織結(jié)構(gòu)不同的“同員異構(gòu)”體?！?”其實(shí)是肉眼直觀錯覺從而使初等數(shù)學(xué)存在尖銳自相矛盾：據(jù)常識e由不知（顯然由知BA），但據(jù)中學(xué)函數(shù) “起碼常識”=。據(jù)圖概念這等長且等勢的與互不說明其大小相同形狀（內(nèi)部形狀）不同，因兩者是“同員異構(gòu)”體從而有不同的內(nèi)部形狀。產(chǎn)生矛盾的原因是：初數(shù)一直將R外數(shù)誤為R內(nèi)數(shù)從而將兩異區(qū)間誤為同一區(qū)間，見第三節(jié)。可見圖概念是數(shù)學(xué)“x光機(jī)”能透視到直線段的內(nèi)部形狀。對此，作者

10、另有已在“預(yù)印本”上公布的長文專門論述?？梢?0，1A與=0，1B是3000年都無人能識的偽二重直線段。沒數(shù)學(xué)x光機(jī)時的數(shù)學(xué)沒有透視點(diǎn)集內(nèi)部形狀的能力從而使其是“肉眼”階段的低層次數(shù)學(xué)。三、圖AB的必要條件讓中學(xué)生也能一下子認(rèn)識5000年無人能識的“更無理”自然數(shù)推翻百年集論h定理1（AB的必要條件）：點(diǎn)（數(shù)）集 A 各元x按同一對應(yīng)法則有對應(yīng)y=y（x）B=y，AB 的必要條件：B=y中變量y是定義域?yàn)锳的函數(shù)y=y（x）。證：兩圖是否不能憑肉眼直觀而須用坐標(biāo)法嚴(yán)格證明。有A=x，求A的集。解：A各元x按同一變換法則保距變?yōu)閥=y（x）使A變?yōu)锽=yA。所以定理中的A若B則B各元y必是由A各

11、元x保距變?yōu)閥=y（x）而變來的，從而使B=y中變量y只能是定義域?yàn)锳的函數(shù)y（x）。證畢。h定理2(實(shí)際上是2中的“h幾何常識”）：至少有4元的點(diǎn)集W=x的真子集（至少有兩元）VW必不W。證：將WV各元x記為y=x，W=y=x。V=y=xW各元y=x有對應(yīng)x=yW=y=x，據(jù)h定理1假設(shè)VW成立則W各元y=x的對應(yīng)(數(shù))x=y的全體Q=V，然而事實(shí)上Q=WVW，所以假設(shè)不成立即V不W。從運(yùn)動角度來說圖形W失去部分組成成員才能變?yōu)槠湔孀蛹疺W，沒能使W有任何減員的變換不能使W變?yōu)閂W；W作剛體運(yùn)動才能產(chǎn)生出W的圖，而這種運(yùn)動是不改變組成成員、組織結(jié)構(gòu)只改變各成員位置的變換；這種變位不變員（不減

12、員）的變換不能使A減員變?yōu)閂W。所以A變?yōu)閂W必不是剛體運(yùn)動使V不W。證畢。變數(shù)n取自然數(shù)N，挖去N=n0的0得N+=n1N。工程圖有虛線，可將點(diǎn)集N=0，1，2，x=n0，(各n是點(diǎn)的坐標(biāo)）x軸看成是“虛射線”:.（這不是省略號），N各點(diǎn)x=n沿x軸正向保距平移變?yōu)辄c(diǎn)x=n0的后繼點(diǎn)x+=y=x+1=n+11形成元為后繼點(diǎn)y的H=1，2，3，y=n+11，N即N沿x軸平移距離1變成虛射線HN。問題是自有無窮數(shù)列（集）概念和函數(shù)概念幾百年來數(shù)學(xué)一直認(rèn)定的“射線H=N+=1，2，3，.，n1,.N”其實(shí)是將兩異數(shù)列（集）誤為同一數(shù)列（集）的肉眼直觀錯覺，因據(jù)h定理2N的H不是N的任何真子集，N不

13、可包含H=y=n+1說明H必至少有一元y0=n0+1n0N“更無理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0=顯然是N的最大元，因其后繼y0在N外。初數(shù)的“N+=HN”使康脫推出病態(tài)的：NN+N。據(jù)圖概念起點(diǎn)相同且有無窮多公共元點(diǎn)的射線N+與HN互不說明兩者形狀相同但大小即長度不同，包含N+的N有元點(diǎn)在N+外說明NH（H與 N大小即長度相同）比N+長；用坐標(biāo)法來研究點(diǎn)集知N+各元點(diǎn)的坐標(biāo)有最大元，H各元點(diǎn)的坐標(biāo)有最大元+1?？梢姟皟蓤D是否不能.而須用坐標(biāo)法嚴(yán)格證明”的思想方法和圖概念是能放大無窮大倍的思維望遠(yuǎn)鏡使人能洞察到有長度不同的偽二重射線，從而不再被“實(shí)無窮”中的假象“凡射線必”迷惑。上述

14、表明獲得AB的必要條件就可讓5000年都無人能識的標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)一下子浮出水面推翻百年集論。設(shè)集B=x、y=xy=UV表B各元均由x或y代表，相應(yīng)變量x（y）的變域是U（V）。其余類推。設(shè)F=（x，y=x）表F是元為有序數(shù)對的數(shù)對集,但F同時也可是以數(shù)為元的數(shù)集F=x、y=x=x；I=（x，y），（，y）表I是由有序數(shù)對元和“單身”數(shù)元y組成的混合集。相應(yīng)有數(shù)對序列和混合序列，其余類推。由一對對數(shù)組成的數(shù)集才可成為數(shù)對集，一無窮數(shù)集能否成為數(shù)對集？不能想當(dāng)然而須嚴(yán)格證明才能下結(jié)論。將N各偶數(shù)記為n=2d，N=n、n+1各偶數(shù)n=2d=0，2，.與奇數(shù)n+1可一一配對。N一切數(shù)n、n+1組成數(shù)

15、對集F=（0，1），（2，3），（n，n+1），挖去F中的0得I=（，1），（2，3），（4，5）,. 是既有數(shù)對元又有“單身”數(shù)元1的混合集。設(shè)I中奇數(shù)只能與I中偶數(shù)配對就使I中單身的奇數(shù)1變?yōu)榉菃紊淼耐瑫r必拆散一數(shù)對而生一新單身奇數(shù)，例（2，3）中2改與1配對，3就成新單身奇數(shù)。一單身變?yōu)榉菃紊淼耐瑫r必生一新單身的重新配對不能使I中單身有任何減少說明I中各奇、偶數(shù)之間任意重新配對后都必保持有一單身奇數(shù)使I不能成為數(shù)對集。所以I中各奇數(shù)不動但各偶數(shù)2,4,.都移到其左鄰括號內(nèi)改與括號內(nèi)奇數(shù)配對成新的數(shù)對得I=（2，1），（4，3）,.，（，）必還是混合集而必有一單身奇數(shù)在一切新數(shù)對的后面（否

16、則就違反邏輯學(xué)起碼常識了）。顯然是F中最大數(shù)，因F由N一切數(shù)組成故是N的最大元。顯然和1等等均是標(biāo)準(zhǔn)分析一直用而不知的N內(nèi)、外標(biāo)準(zhǔn)無窮大自然數(shù)。人類認(rèn)識自然數(shù)后的5000年里一直無人能識（與1N相隔無窮多自然數(shù)N）使初數(shù)一直將N外數(shù)誤為N內(nèi)數(shù)從而將無窮多各異假N誤為N，繼而一直搞錯了定義域均為N的無窮多一次函數(shù)y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、.、.的值域，進(jìn)而使康脫推出康健離脫的病態(tài)理論：N可其真子集。發(fā)現(xiàn)說明N的任何真子集的元都必少于N的元。詳論見13。A=R+各元x0保距變?yōu)閥=x+11使A變?yōu)锽=yA即x軸的射線R+:x0沿x軸平移變?yōu)樯渚€B=y=x+11R+。據(jù)h定

17、理2R+的B不是A=R+的任何真子集，R+不可包含B=y=x+1說明B必有元y=x+11在R+外而 R+一切元x（R+外y1必R+一切元x），這R+外y顯然是R一切元x的“更無理”標(biāo)準(zhǔn)無窮大正數(shù)。所以中學(xué)函數(shù)“常識”：“ R各元x的對應(yīng)數(shù)x+1均R”使初數(shù)將R外數(shù)誤為R內(nèi)數(shù)，進(jìn)而誤以為：射線通過平移可變?yōu)槠湟徊糠?。初?shù)的“R+的B是R+的真子集”使康脫推出錯上加錯的更重大錯誤：R+可其真子集。 在未識0與負(fù)數(shù)時人們通過“對一切正數(shù)x都有對應(yīng)x-1x”就知道有數(shù)x-1x(即都有數(shù)比x大)”明確表示有數(shù)x+1R（N）一切元x而在R（N）外?！罢胬矶际呛軜銓?shí)的?！标P(guān)鍵是連文盲都知“一個不漏”的確切含

18、義，問題是非學(xué)術(shù)、非智力因素對學(xué)術(shù)研究的影響是非常重大的。同樣“對第二節(jié)中的數(shù)集=0，1AR的子部=（0，0.9一個不漏的每一（一切）元x0都有對應(yīng)x=x20都有正數(shù)x比x小”明確表示有“更無理”正數(shù)x=t（是射線B：x=x20的元點(diǎn)的坐標(biāo)）一切數(shù)x，這正數(shù)t顯然R一切正數(shù)x。這表明R中有“更無理”的太小正數(shù)x小到使其對應(yīng)數(shù)xkx（常數(shù)k2）“更無理”地突出在R外。不識此類R外正數(shù)且將其誤為R內(nèi)數(shù)就使初數(shù)一直將偽重合直線段誤為重合線段。另外據(jù)下述h定理4=0，1A（R）的=0，1B不是的任何真子集，不可包含說明=0，1B必至少有一元x=x2在外，這外x顯然是x中必至少有一y在R外。注：若給數(shù)列

19、A增項(xiàng)則必使A變?yōu)锽A，所以不斷增項(xiàng)（元）的數(shù)列（集）是不斷由一數(shù)列（集）變?yōu)榱硪粩?shù)列（集）的非固定數(shù)列（集），而N是固定的數(shù)集；某些不斷運(yùn)動的動點(diǎn)畫出的圖形是變點(diǎn)集。人有邏輯推理能力從而不應(yīng)被“實(shí)無窮”中的假象迷惑。應(yīng)去偽存真地讀書。四、圖AA凸顯直線公理使初數(shù)一直將兩異直線誤為同一線“無界”的曲、直線y=x3、 y=x互不從而更不相等。“無界”的虛射線N=0，1，2，x=n0，x軸各點(diǎn)x=n沿x軸正向不保距平移變?yōu)辄c(diǎn)x+=y=2x=2n形成元為點(diǎn)y的0，,2，4，2n，不N從而更N。中學(xué)的“圖AA”說明A變?yōu)锽=AA不一定是恒等變換但一定是保距變換。h定理3：數(shù)（點(diǎn)）集A=BB的必要條件是

20、AB（初等幾何應(yīng)有最最起碼常識：元點(diǎn)不少于兩個的圖BB）。證：若A=B則A必可恒等變換（一種保距變換）地變?yōu)锽=AA。證畢。R軸即x軸各元點(diǎn)x沿x軸方向不保距平移變?yōu)辄c(diǎn)x+= y=x/2得元為點(diǎn)y=x/2的 y=x/2軸即x軸（空間直線）均勻收縮變換成y=x/2軸不x軸，據(jù)h定理3x軸y軸；直線公理使中學(xué)幾百年解析幾何一直將這兩異線誤為同一線很自然地就會將兩異直線段誤為同一線段相應(yīng)直線（見下節(jié)）。五、不知直線段A收縮變短不能成為A的真子集使中學(xué)有幾百年重大錯誤：將兩異直線段誤為同一線段百年病態(tài)集論的癥結(jié)下述h定理4推翻了集論。第一節(jié)已指出：直線段K均勻收縮變短不能成為K的真子集。這是因直線（段

21、）A不減員地保序收縮（拉伸）變換必改變點(diǎn)集的“點(diǎn)密度”使A內(nèi)部形狀發(fā)生改變。x軸可收縮成y=x/2軸不x軸。中學(xué)有幾百年函數(shù)“常識”：“定義域?yàn)?，2R的y=0.5x的值域=0，1R”。直線段L=x=0，2x軸有子部D=x=0，1L，L各元x不保距變?yōu)閤+=y=0.5x得元為點(diǎn)y的直線段D=y=0.5x（L）=0，1y=0.5x軸即L均勻收縮變短成D?！癓的D=DD”其實(shí)是幾百年肉眼直觀錯覺。理由：L不減員地收縮變短成D是改變組織結(jié)構(gòu)的變換從而使D與L是組織結(jié)構(gòu)不同的點(diǎn)集，而DL與L是組織結(jié)構(gòu)相同只是大小即長度不同的點(diǎn)集。L各元x的對應(yīng)y=0.5x的全體是D說明D=xL各元x有對應(yīng)y=0.5x

22、D=y=0.5x，據(jù)h定理1假設(shè)DD成立則D各元y=0.5x的對應(yīng)x的全體Q=D，然而事實(shí)上Q=LDL，所以假設(shè)不成立即D不D。據(jù)h定理3 DD。據(jù)圖概念D與DL互不說明其大小相同形狀（內(nèi)部形狀）不同，從而是3000年都無人能識的貌似重合的偽二重、偽點(diǎn)集。將長為1的直線段形橡皮筋A(yù)拉長為長為2的橡皮筋B（可二等分），去掉拉力使B縮短成原來的A，這A不可是B的一半；同理，L收縮變短為DL不能成為L的真子集DL。骨頭的內(nèi)部形狀隨骨密度的改變而改變；同樣等長的D與D有不同的內(nèi)部形狀，“兩圖是否不能.而須用坐標(biāo)法嚴(yán)格證明”的思想方法和圖概念是數(shù)學(xué)“x光機(jī)”能透視到 D與D有不同的內(nèi)部形狀。出現(xiàn)醫(yī)學(xué)（數(shù)學(xué)）x光機(jī)使醫(yī)學(xué)（數(shù)學(xué)）發(fā)生革命飛躍。據(jù)下述h定理3DL與DL等長卻不等勢從而不、不相等。據(jù)下述h定理4L的D=y=0.5x 不是L=x=0，2x軸的任何真子集，L不可包含D說明Dy=0.5x軸必至少有一元點(diǎn)y=0.5xy=0.5x軸在L外，這L外點(diǎn)的坐標(biāo)y=0.5x顯然是0都有對應(yīng)正數(shù)y=0.5xx”明確表示有“更無理”正數(shù)y=0.5x=t（是y=x