高中數(shù)學知識點及經(jīng)典例題

1、1,題目高中數(shù)學復習專題講座對集合的理解及集合思想應用的問題高考要求集合是高中數(shù)學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用 本節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用重難點歸納1解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結合直觀地解決問題2 注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此

2、時應分類討論典型題例示范講解例1設A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結論命題意圖本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題知識依托解決此題的閃光點是將條件(AB)C=轉化為AC=且BC=，這樣難度就降低了錯解分析此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手技巧與方法由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN,進而可得值解(AB)C

3、=，AC=且BC=k2x2+(2bk1)x+b21=0 AC=1=(2bk1)24k2(b21)0 4k24bk+10, 即 b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190, 從而8b20,即 b25 由及bN,得b=2代入由10和20知，方程只有負根，不符合要求當m1時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內，從而方程至少有一個根在區(qū)間0，2內故所求m的取值范圍是m12,題目高中數(shù)學復習專題講座充要條件的理解及判定方法高考要求充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學概念，主要用來區(qū)分命題的條件

4、p和結論q之間的關系本節(jié)主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準確判定給定的兩個命題的充要關系重難點歸納(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“，反之也真”等(3)數(shù)學概念的定義具有相稱性，即數(shù)學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件

5、；若A=B，則A、B互為充要條件(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)典型題例示范講解例1已知p|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要而不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍命題意圖本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，強調了知識點的靈活性知識依托本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進行轉化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了錯解分析對四種命題以及充要條件的定義實質理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學生本身存在著語言理解上的困難技

6、巧與方法利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清晰命題中條件與結論的關系，再去解不等式，找解集間的包含關系，進而使問題解決解由題意知命題若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為p是q的充分不必要條件p:|1|2212132x10q:x22x+1m20 x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集又m0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實數(shù)m的取值范圍是9，+例2已知數(shù)列an的前n項Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件命題意圖本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴謹性知識依托以

7、等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數(shù)列前n項和與通項之間的遞推關系，嚴格利用定義去判定錯解分析因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明技巧與方法由an=關系式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明解a1=S1=p+q當n2時，an=SnSn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an為等比數(shù)列，則=p=p,p0，p1=p+q，q=1這是an為等比數(shù)列的必要條件下面證明q=1是an為等比數(shù)列的充分條件當q=1時，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1當n2時，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,

8、p1)=p為常數(shù)q=1時，數(shù)列an為等比數(shù)列即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q=1例3已知關于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根、，證明|2且|2是2|a|4+b且|b|0即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(2)0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內或無實根，是方程f(x)=0的實根，同在(2，2）內，即|2且|2例4寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.（1）若x、y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；（2）若xy=0，則x=0或y=0；（3）若一個數(shù)是質數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù).解：（1）命

9、題的否定：x、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，為假命題.原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.（2）命題的否定：xy=0則x0且y0，為假命題.原命題的否命題：若xy0，則x0且y0，是真命題.（3）命題的否定：一個數(shù)是質數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.原命題的否命題：若一個數(shù)不是質數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，為假命題.例5有A、B、C三個盒子，其中一個內放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條.A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內”，B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內”，C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內”.如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？解：若

10、蘋果在A盒內，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意.若蘋果在B盒內，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B盒內.同樣，若蘋果在C盒內，則B、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.綜上，蘋果在B盒內.3,題目高中數(shù)學復習專題講座運用向量法解題高考要求平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節(jié)內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題重難點歸納1解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識二是向量的坐標運算體現(xiàn)

11、了數(shù)與形互相轉化和密切結合的思想2向量的數(shù)量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題3用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？典

12、型題例示范講解例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD(1)求證C1CBD(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C平面C1BD？請給出證明命題意圖 本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力知識依托 解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單錯解分析 本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數(shù)量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系技巧與方法 利用=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數(shù)量積為零即可(1)證明 設=,

13、=,依題意，|=|，、中兩兩所成夾角為，于是=，=()=|cos|cos=0,C1CBD(2)解 若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(+)()=|2+|2=|2|2+|cos|cos=0,得當|=|時，A1CDC1，同理可證當|=|時，A1CBD，=1時，A1C平面C1BD例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(1)求的長；(2)求cos的值；(3)求證A1BC1M命題意圖 本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題知識依托 解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直

14、角坐標系Oxyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標錯解分析 本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標技巧與方法 可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(1)解 如圖，以C為原點建立空間直角坐標系Oxyz依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)|=(2)解 依題意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)證明 依題意得C1(0，0，2)，M()A1BC1M例3三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求(1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD

15、的長；(3)cosABC的值解 (1)點M的坐標為xM=D點分的比為2xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）4,題目高中數(shù)學復習專題講座二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關系高考要求三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學數(shù)學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法重難點歸納1二次函數(shù)的基本性質(1)二次函數(shù)的三種表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+

16、n(2)當a0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)若p,則f(p)=m,f(q)=M;若px0,則f()=m,f(q)=M;若x0q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r(3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內成立(5)方程f(

17、x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pq)3二次不等式轉化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是(,),+a0時，f()f() |+|+|,當a0時，f()|+|;(3)當a0時，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型題例示范講解例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍命題意圖本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力知識依托解答本題的閃光點是熟練應用方程的知識來

18、解決問題及數(shù)與形的完美結合錯解分析由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”技巧與方法利用方程思想巧妙轉化(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(2)解設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的對稱軸方程是(2,)時，為減函數(shù)|A1B1|2(3

19、,12),故|A1B1|()例2已知關于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內，另一根在區(qū)間(1，2)內，求m的范圍(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內，求m的范圍命題意圖本題重點考查方程的根的分布問題知識依托解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質所具有的意義錯解分析用二次函數(shù)的性質對方程的根進行限制時，條件不嚴謹是解答本題的難點技巧與方法設出二次方程對應的函數(shù)，可畫出相應的示意圖，然后用函數(shù)性質加以限制解(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內，畫出示意圖，得 (2)據(jù)拋物線與x軸

20、交點落在區(qū)間(0，1)內，列不等式組(這里0m0,a1,x0),求f(x)的表達式(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式命題意圖本題主要考查函數(shù)概念中的三要素定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力知識依托利用函數(shù)基礎知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉化，注意定義域錯解分析本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯技巧與方法(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法解(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c

21、得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時等于1或1，所以所求函數(shù)為f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1例2設f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當x1時，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達式，并在圖中作出其圖象命題意圖本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強的思維能力因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點題型知識依托函數(shù)的奇偶性是橋梁，

22、分類討論是關鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線錯解分析本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發(fā)生混亂技巧與方法合理進行分類，并運用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式解(1)當x1時，設f(x)=x+b射線過點(2，0)0=2+b即b=2，f(x)=x+2(2)當1x1時，設f(x)=ax2+2拋物線過點(1，1)，1=a(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2(3)當x1時，f(x)=x+2綜上可知f(x)=作圖由讀者來完成例3已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1)解法一(換元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),則cosx=2

23、uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二(配湊法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4)6,題目高中數(shù)學復習專題講座求函數(shù)值域的常用方法及值域的應用高考要求函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內容之一 本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實際應用問題重難點歸納(1)求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法

24、配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域(2)函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結合的題目此類問題要求考生具備較高的數(shù)學思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強(3)運用函數(shù)的值域解決實際問題此類問題關鍵是把實際問題轉化為函數(shù)問題，從而利用所學知識去解決此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學建模能力典型題例示范講解例1設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1),畫面的上、下各留8 cm的空白，

25、左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那么為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最??？命題意圖本題主要考查建立函數(shù)關系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運用所學知識解決實際問題的能力知識依托主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎知識錯解分析證明S()在區(qū)間上的單調性容易出錯，其次不易把應用問題轉化為函數(shù)的最值問題來解決技巧與方法本題屬于應用問題，關鍵是建立數(shù)學模型，并把問題轉化為函數(shù)的最值問題來解決解設畫面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得

26、S=5000+44 (8+),當8=,即=1)時S取得最小值此時高x=88 cm,寬x=88=55 cm如果，可設10,S(1)S(2)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍命題意圖本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調性問題，著重于學生的綜合分析能力以及運算能力知識依托本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉化的思想與分類討論的思想錯解分析考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉化為函數(shù)的最值問題來解決技巧與方法解法一運用轉化思想把f(x)0轉化為關于x的二次不等式；解法二運用分類討論思想解得 (1)解當a=時，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為

27、f(1)=(2)解法一在區(qū)間1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立設y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當x=1時，ymin=3+a,當且僅當ymin=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3解法二f(x)=x+2,x1,+當a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3例3設m是實數(shù)，記M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+)(1)證明當mM時，f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則mM(2)當mM時，求函數(shù)f(x)的最小值(3)求證對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不

28、小于1 (1)證明先將f(x)變形f(x)=log3(x2m)2+m+,當mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域為R反之，若f(x)對所有實數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM(2)解析設u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當u最小時，f(x)最小而u=(x2m)2+m+,顯然，當x=m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值(3)證明當mM時，m+=(m1)+13,當且僅當m=2時等號成立log3(m+)log33=17,題目高中數(shù)學復習專題講座處理具有單調性、奇偶性

29、函數(shù)問題的方法（1）高考要求函數(shù)的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣特別是兩性質的應用更加突出本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識重難點歸納(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調性若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的訓練認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一復合函數(shù)的奇偶性、單調性問題的解決關鍵在于既把握復合過程，又掌握基本函數(shù)(2)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一

30、正反結合解決基本應用題目(3)運用奇偶性和單調性去解決有關函數(shù)的綜合性題目此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力(4)應用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數(shù)形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決 特別是往往利用函數(shù)的單調性求實際應用題中的最值問題典型題例示范講解例1已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,設不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值命題意圖本題屬于函數(shù)性質的綜合性題目，考生必須具有綜

31、合運用知識分析和解決問題的能力知識依托主要依據(jù)函數(shù)的性質去解決問題錯解分析題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域技巧與方法借助奇偶性脫去“f”號，轉化為x的不等式，利用數(shù)形結合進行集合運算和求最值解由且x0,故0 x,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,綜上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1xf(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由命題意圖本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力知識依托主要依據(jù)函數(shù)的單調性和奇偶性，利

32、用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題錯解分析考生不易運用函數(shù)的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價轉化的思想方法技巧與方法主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題解f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù)于是不等式可等價地轉化為f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20設t=cos,則問題等價地轉化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正當0,即m0m1與m042m4+2,421,即m2時，g(1)=m

33、10m1m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42另法(僅限當m能夠解出的情況)cos2mcos+2m20對于0,恒成立，等價于m(2cos2)/(2cos) 對于0,恒成立當0,時，(2cos2)/(2cos)42，m42例3已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)0解f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2)又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0）上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，

34、x5或x0由得0 x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x08,題目高中數(shù)學復習專題講座處理具有單調性、奇偶性函數(shù)問題的方法（2）高考要求函數(shù)的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣特別是兩性質的應用更加突出本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識重難點歸納(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調性若為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，

35、針對所列的訓練認真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一復合函數(shù)的奇偶性、單調性問題的解決關鍵在于既把握復合過程，又掌握基本函數(shù)(2)加強逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一正反結合解決基本應用題目(3)運用奇偶性和單調性去解決有關函數(shù)的綜合性題目此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力(4)應用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數(shù)形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決 特別是往往利用函數(shù)的單調性求實際應用題中的最值問題典型題例示范講解例1已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0 x1時f(x)0,

36、且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調遞減命題意圖本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力知識依托奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想錯解分析本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得技巧與方法對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點證明(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0f(x)=f(x)f(x)為奇函數(shù)(2)先證f(x)在(0，1

37、)上單調遞減令0 x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0 x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1)f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0f(x)在(1，1)上為減函數(shù)例2設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求a的取值范圍，并在該范圍內求函數(shù)y=()的單調遞減區(qū)間命題意圖本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數(shù)單調性的判定方法知識依托逆向認識奇偶性、

38、單調性、指數(shù)函數(shù)的單調性及函數(shù)的值域問題錯解分析逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數(shù)判定程序紊亂技巧與方法本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法解設0 x1x2,則x2x10，f(x)在區(qū)間(,0)內單調遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1)f(x)在(0，+)內單調遞減由f(2a2+a+1)3a22a+1解之，得0a3又a23a+1=(a)2函數(shù)y=()的單調減區(qū)間是，+結合0a0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明 f(x)在(

39、0，+)上是增函數(shù)(1)解依題意，對一切xR,有f(x)=f(x),即+aex整理，得(a)(ex)=0因此，有a=0,即a2=1,又a0,a=1(2)證法一（定義法）設0 x1x2,則f(x1)f(x2)=由x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函數(shù)證法二（導數(shù)法）由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex(e2x1)當x(0,+)時，ex0,e2x10此時f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函數(shù)9,題目高中數(shù)學復習專題講座指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題高考要求指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點內容之一，本節(jié)主要幫助

40、考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題重難點歸納(1)運用兩種函數(shù)的圖象和性質去解決基本問題此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質并能靈活應用(2)綜合性題目此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力(3)應用題目 此類題目要求考生具有較強的建模能力典型題例示范講解例1已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(1)證明點C、D和原點O在同一條直線上；(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標命題意圖本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎知識，考

41、查學生的分析能力和運算能力知識依托(1)證明三點共線的方法kOC=kOD (2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標錯解分析不易考慮運用方程思想去解決實際問題技巧與方法本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標(1)證明設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知x11,x21,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2因為A、B在過點O的直線上，所以,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以OC的斜率k1=,OD的斜率k2=，由此可知k1=k2,即O、C、D在同

42、一條直線上(2)解由BC平行于x軸知log2x1=log8x2即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,x13=3x1又x11,x1=,則點A的坐標為(，log8)例2在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式；(2)若對于每個自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求

43、a的取值范圍；(3)設Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項的和最大？試說明理由命題意圖本題把平面點列，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)、最值等知識點揉合在一起，構成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力知識依托指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識錯解分析考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口技巧與方法本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關的知識點去解決問題解(1)由題意知an=n+,bn=2000()(2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2則以bn,bn+1,bn+2為邊

44、長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10,解得a5(1)5(1)a10(3)5(1)a10,a=7bn=2000()數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,Bn=bnBn1于是當bn1時，BnBn1,當bn1時，BnBn1,因此數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1;(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x),證明 方程F1(x)=0有惟一解解(1)由0,且2x0得F(x)的定義域為(1，1)，設1x1x21,則F(x2)F(x1)=()+(),x2x10,2x10,2x20,上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1因此F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1

45、),F(x)在(1，1）上是增函數(shù)(2)證明由y=f(x)=得2y=,f1(x)=,f(x)的值域為R，f-1(x)的定義域為R當n3時，f-1(n)用數(shù)學歸納法易證2n2n+1(n3),證略(3)證明F(0)=,F1()=0,x=是F1(x)=0的一個根假設F1(x)=0還有一個解x0(x0),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0) 這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解10,題目高中數(shù)學復習專題講座函數(shù)圖象及圖象性質的應用高考要求函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點內容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質的直觀工具,利用它的直觀性解題,可以起到化繁為簡、化難為易的作用 因此，考生要掌握繪制

46、函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質重難點歸納1熟記基本函數(shù)的大致圖象，掌握函數(shù)作圖的基本方法(1)描點法列表、描點、連線；(2)圖象變換法平移變換、對稱變換、伸縮變換等2 高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖象為基礎來考查函數(shù)圖象的 題型多以選擇與填空為主，屬于必考內容之一，但近年來，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視典型題例示范講解例1對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱；(2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根

47、之和命題意圖本題考查函數(shù)概念、圖象對稱問題以及求根問題知識依托把證明圖象對稱問題轉化到點的對稱問題錯解分析找不到問題的突破口，對條件不能進行等價轉化技巧與方法數(shù)形結合、等價轉化(1)證明設(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點，則y0=f(x0),=a,點(x0,y0)與(2ax0,y0)關于直線x=a對稱，又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖象上，故y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱(2)解由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，若x0是f(x)=0的根，則4x0也是f

48、(x)=0的根，若x1是f(x)=0的根，則4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和為8例2如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2又A、B、C在x軸上的射影分別是A、B、C,記ABC的面積為f(a),ABC的面積為g(a)(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式；(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結論命題意圖本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等知識依托充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口錯解分析圖形面積不會拆拼技巧與方法數(shù)形結合、等價轉化解(1)連結

49、AA、BB、CC,則f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=ACBB=BB=f(a)2時，f(x)0，從而有a0,b011,題目高中數(shù)學復習專題講座綜合運用等價轉化、分類討論、數(shù)形結合等思想解決函數(shù)綜合問題高考要求函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣 本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關函數(shù)知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力重難點歸納在解決函數(shù)綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其

50、是注意等價轉化、分類討論、數(shù)形結合等思想的綜合運用 綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能 因此，必須全面掌握有關的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件學法指導怎樣學好函數(shù)學習函數(shù)要重點解決好四個問題準確深刻地理解函數(shù)的有關概念；揭示并認識函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系；把握數(shù)形結合的特征和方法；認識函數(shù)思想的實質，強化應用意識(一)準確、深刻理解函數(shù)的有關概念概念是數(shù)學的基礎，而函數(shù)是數(shù)學中最主要的概念之一，函數(shù)概念貫穿在中學代數(shù)的始終數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù)近十年來，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質這條主線(二)揭示并認

51、識函數(shù)與其他數(shù)學知識的內在聯(lián)系函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學概念，是變量數(shù)學的基礎，利用函數(shù)觀點可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內容在利用函數(shù)和方程的思想進行思維中，動與靜、變量與常量如此生動的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式所謂函數(shù)觀點，實質是將問題放到動態(tài)背景上去加以考慮高考試題涉及5個方面(1)原始意義上的函數(shù)問題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質解決；(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中(三)把握數(shù)形結合的特征和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質的數(shù)量特征緊密結合，有效地揭示了各

52、類函數(shù)和定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對稱變換(四)認識函數(shù)思想的實質，強化應用意識函數(shù)思想的實質就是用聯(lián)系與變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關系，求得問題的解決 縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應用題力度加大，因此一定要認識函數(shù)思想實質，強化應用意識典型題例示范講解例1設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0(1)求f()、f()

53、;(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)記an=f(2n+),求命題意圖本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力知識依托認真分析處理好各知識的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)f(x1)f(x2)找到問題的突破口錯解分析不會利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)進行合理變形技巧與方法由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)變形為是解決問題的關鍵解因為對x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=,x0,1又因為f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0f(

54、)=a,f()=a(2)證明依題意設y=f(x)關于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR又由f(x)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR將上式中x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期(3)解由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1)=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a又f(x)的一個周期是2f(2n+)=f(),an=f(2n+)=f()=a因此an=a例2甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？命題意圖本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數(shù)學知識解決實際問題的