第6講實數(shù)的概念及性質

1、第六講實數(shù)的概念及性質數(shù)是隨著客觀實際與社會實踐的需要而不斷擴充的從有理數(shù)到無理數(shù)，經(jīng)歷過漫長曲折的過程，是一個巨大的飛躍，由于引入無理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴充到實數(shù)域，這樣，實數(shù)與數(shù)軸上的點就建立了一一對應的關系由于引入開方運算，完善了代數(shù)的運算平方根、立方根的概念和性質，是學習二次根式、一元二次方程等知識的基礎平方根、立方根是最簡單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質是進一步學習偶次方根、奇次方根的基礎有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)有下列重要性質：有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分數(shù)的形式；無理數(shù)是p無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)q的形式，這里p、q是互質的整數(shù)，且

2、p0.p有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù).例題求解【例1】若a、b滿足3叮a5b3=7，則S=2薦3b的取值范圍是.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）思路點撥運用“方、b的非負性，建立關于S的不等式組.注：古希臘的畢達哥拉斯學派認為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數(shù)或整數(shù)之比.但是該學派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴重地沖擊了當時希臘人的傳統(tǒng)見解，這一事件在數(shù)學史上稱為第一次數(shù)學危機.希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒有被畢達哥拉斯學派的信徒所接受，相傳

3、畢氏學派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死.【例2】設a是一個無理數(shù)，且a、b滿足ab-a-b+1=0，則b是一個（）A.小于0的有理數(shù)B.大于0的有理數(shù)C.小于0的無理數(shù)D.大于0的無理數(shù)（武漢市選拔賽試題）思路點撥對等式進行恰當?shù)淖冃?，建立a或b的關系式.【例3】已知a、b是有理數(shù)，且（丄13）a（丄旦）b2丄B1-930，求a、b的值.32412420思路點拔把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質建立關于a、b的方程組.【例4】（1）已知a、b為有理數(shù)，x,y分別表示57的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2=1,求a+b的值.（南昌市競賽題）設x為一實數(shù)，x表示不大于

4、x的最大整數(shù)，求滿足-77.66x=77.66x+1的整數(shù)x的值.（江蘇省競賽題）思路點撥（1）運用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2=1中求出a、b的值；運用x的性質，簡化方程.注：設x為一實數(shù)，則x表示不大于x的最大整數(shù)，x又叫做實數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質：（1）X1vxWx（2）若yx，則yWx（3）若x為實數(shù)，a為整數(shù)，貝則x+a=x+a.【例5】已知在等式空豈s中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)，解答：exd當a、b、c、d滿足什么條件時，s是有理數(shù)；（2）當a、b、c、d滿足什么條件時，s是無理數(shù)（“希望杯”邀請賽試題）思路點撥（1）把s用只含a、b、c、

5、d的代數(shù)式表示；（2）從以下基本性質思考：設a是有理數(shù)，r是無理數(shù)，那么a+r是無理數(shù)；若a工0,則ar也是無理數(shù)；r的倒數(shù)1也是無理數(shù)，解本例的關鍵之一還需運用分式的性質，對a、b、c、d取值進行詳r細討論注：要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設這個數(shù)是有理數(shù)，設法推出矛盾學力訓練TOC o 1-5 h z1.已知x、y是實數(shù)，v3x4y26y90，若axy3xy，貝Ia=.（2002年個數(shù)的平方根是a2b2和4a6b13，那么這個數(shù)是.方程*y|518O的解是.請你觀察思考下列計算過程：T12=121,Av12111

6、；同樣V111=12321Jl232111；由此猜想J12345678987654321.（濟南市中考題）如圖，數(shù)軸上表示1-2的對應點分別為A、B,點B關于點A的對稱點為C,則點C所表示的數(shù)是（）A.1B.1込C.2込D.込2（江西省中考題）已知x是實數(shù)，則Jxx罟1的值是（）A.1丄B.1丄C.丄1D.無法確定的（“希望杯”邀請賽試題）代數(shù)式lxx1-x2的最小值是（）A.0B.1込C.1D.不存在的（“希望杯”邀請賽試題）8.若實數(shù)a、b滿足（ab2）2*b2a30，求2b+a1的值.（山西省中考題）9.細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題.（心2，S斗；3，S2號；（間2.14,c

7、_v3S32（1）請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長；（3）求出Sl2+S22+S32+S210的值.（煙臺市中考題）1011.設x、y都是有理數(shù)，且滿足方程（2.）x.（丄已知實數(shù)a、b、c滿足1|a2b.c.c2.c4.0，則a（b+c）=.）y.4.0，那么x-y的值是.（“希望杯邀請賽試題）12.設a是一個無理數(shù)，且a、b滿足ab+ab=l,則b=.（四川省競賽題）13.已知正數(shù)a、b有下列命題：若a=1，b=1,則.1;若a1,b5，則3;222若尸2,b=3,則總2；若a=1，b=5,則皿3-根據(jù)以上幾個命題所提供的信息，請猜想，若a=6,b=

8、7,則爲b（黃岡市競賽題）14.已知：1.a.1，那么代數(shù)式1.a的值為（）aaA.衛(wèi)B.叵c.5D.*522（重慶市競賽題）15.設x表示最接近x的整數(shù)（x工n+0.5,n為整數(shù)），則HTb2+h-2B3+：34+*10001的值為（）A.5151B.5150c.5050D.5049（“五羊杯”邀請賽試題）設ab0,aMl,N0),則b叫做以a為底的N的對數(shù)，記作b=logaN.例如：因為23=8,所以log28=3；因為2-3=丄，所以log21=3.2828根據(jù)定義計算：log381=:log33=；log3l=;如果logx16=4，那么x=.設ax=M,ay=N,則logM=x；lo

9、gN=y(a0,aMl,N0,M,N均為正數(shù)).aa用logAM,logAN的代數(shù)式分別表示logMN及l(fā)ogM，并說明理由.AAaaN(泰州市中考題)20.設yaxb,a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù).求證：cxd當bc=ad時，y是有理數(shù)；當bcMad時，y是無理數(shù).設厶ABC的三邊分別是a、b、c,且a2c28b24ab4bc0,試求AABC的形狀.【觥棘】Ml由刪利燼汩別AH冊列厠1解-無磐TOC o 1-5 h z3I14TQ053M2%B由糸件律5T)(6T)=QBaM881#(ft-1-0,11ft=1N3&+*?+)+(*1-護1魯陽丸I115因為訂JWWMtl護古2蘆0巧

10、廠尹1礦hfiflU后42tbM4（1）725-y?3tA產(chǎn)監(jiān)尸37肚町口宀（3-席）+社初*1禍7-痂+(6fl+16Fl)=fl,7趴b為克理魚；*站-6戶0血+i冊md+i=l（2）7jt魅JUW66r卜-池也紺次-仇6心“股二肋觥為TMU治卜TSd副軸滬h由般舫酬岸為尸345.,巳血+d）+卜蟲fr-Mi當訐Ed丸恥弓翩理躺和姑滬勞亠飛礦厶*+詁其申級棲ju+d是無喊財瞰就詼有蠟財切書恥尸曲上砧尸尸CCC。沮d#o或#0且bc=ad時,S肺理札當Ed刮曬冃詢嚴無i瓠當悴嘲滬ad哄岳慮+dc聞D由in冋&|卅嘰：諷（*卜（丄_j+魚”血+】冋嚴詢也（卄滴K何帀卄皿耐JgiH（如+2+3+4100=5050.16.A+切