第6講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)

1、第六講實(shí)數(shù)的概念及性質(zhì)數(shù)是隨著客觀實(shí)際與社會(huì)實(shí)踐的需要而不斷擴(kuò)充的從有理數(shù)到無(wú)理數(shù)，經(jīng)歷過(guò)漫長(zhǎng)曲折的過(guò)程，是一個(gè)巨大的飛躍，由于引入無(wú)理數(shù)后，數(shù)域就由有理數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，這樣，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系由于引入開(kāi)方運(yùn)算，完善了代數(shù)的運(yùn)算平方根、立方根的概念和性質(zhì)，是學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程等知識(shí)的基礎(chǔ)平方根、立方根是最簡(jiǎn)單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)偶次方根、奇次方根的基礎(chǔ)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)有下列重要性質(zhì)：有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)的形式，都可以表示成分?jǐn)?shù)的形式；無(wú)理數(shù)是p無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)q的形式，這里p、q是互質(zhì)的整數(shù)，且

2、p0.p有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算不具有封閉性，即兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù).例題求解【例1】若a、b滿足3叮a5b3=7，則S=2薦3b的取值范圍是.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思路點(diǎn)撥運(yùn)用“方、b的非負(fù)性，建立關(guān)于S的不等式組.注：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.但是該學(xué)派的成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示，這嚴(yán)重地沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解，這一事件在數(shù)學(xué)史上稱為第一次數(shù)學(xué)危機(jī).希伯索斯的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信徒所接受，相傳

3、畢氏學(xué)派就因這一發(fā)現(xiàn)而把希伯索斯投入海中處死.【例2】設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿足ab-a-b+1=0，則b是一個(gè)（）A.小于0的有理數(shù)B.大于0的有理數(shù)C.小于0的無(wú)理數(shù)D.大于0的無(wú)理數(shù)（武漢市選拔賽試題）思路點(diǎn)撥對(duì)等式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，建立a或b的關(guān)系式.【例3】已知a、b是有理數(shù)，且（丄13）a（丄旦）b2丄B1-930，求a、b的值.32412420思路點(diǎn)拔把原等式整理成有理數(shù)與無(wú)理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.【例4】（1）已知a、b為有理數(shù)，x,y分別表示57的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2=1,求a+b的值.（南昌市競(jìng)賽題）設(shè)x為一實(shí)數(shù)，x表示不大于

4、x的最大整數(shù)，求滿足-77.66x=77.66x+1的整數(shù)x的值.（江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥（1）運(yùn)用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2=1中求出a、b的值；運(yùn)用x的性質(zhì)，簡(jiǎn)化方程.注：設(shè)x為一實(shí)數(shù)，則x表示不大于x的最大整數(shù)，x又叫做實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，有以下基本性質(zhì)：（1）X1vxWx（2）若yx，則yWx（3）若x為實(shí)數(shù)，a為整數(shù)，貝則x+a=x+a.【例5】已知在等式空豈s中，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù)，解答：exd當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是有理數(shù)；（2）當(dāng)a、b、c、d滿足什么條件時(shí)，s是無(wú)理數(shù)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）思路點(diǎn)撥（1）把s用只含a、b、c、

5、d的代數(shù)式表示；（2）從以下基本性質(zhì)思考：設(shè)a是有理數(shù)，r是無(wú)理數(shù)，那么a+r是無(wú)理數(shù)；若a工0,則ar也是無(wú)理數(shù)；r的倒數(shù)1也是無(wú)理數(shù)，解本例的關(guān)鍵之一還需運(yùn)用分式的性質(zhì)，對(duì)a、b、c、d取值進(jìn)行詳r細(xì)討論注：要證一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，常證這個(gè)數(shù)能表示威幾十有理數(shù)的和，差，積、商的形式；要證一個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù)，常用反證法，即假設(shè)這個(gè)數(shù)是有理數(shù)，設(shè)法推出矛盾學(xué)力訓(xùn)練TOC o 1-5 h z1.已知x、y是實(shí)數(shù)，v3x4y26y90，若axy3xy，貝Ia=.（2002年個(gè)數(shù)的平方根是a2b2和4a6b13，那么這個(gè)數(shù)是.方程*y|518O的解是.請(qǐng)你觀察思考下列計(jì)算過(guò)程：T12=121,Av12111

6、；同樣V111=12321Jl232111；由此猜想J12345678987654321.（濟(jì)南市中考題）如圖，數(shù)軸上表示1-2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為C,則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A.1B.1込C.2込D.込2（江西省中考題）已知x是實(shí)數(shù)，則Jxx罟1的值是（）A.1丄B.1丄C.丄1D.無(wú)法確定的（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）代數(shù)式lxx1-x2的最小值是（）A.0B.1込C.1D.不存在的（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）8.若實(shí)數(shù)a、b滿足（ab2）2*b2a30，求2b+a1的值.（山西省中考題）9.細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題.（心2，S斗；3，S2號(hào)；（間2.14,c

7、_v3S32（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長(zhǎng)；（3）求出Sl2+S22+S32+S210的值.（煙臺(tái)市中考題）1011.設(shè)x、y都是有理數(shù)，且滿足方程（2.）x.（丄已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足1|a2b.c.c2.c4.0，則a（b+c）=.）y.4.0，那么x-y的值是.（“希望杯邀請(qǐng)賽試題）12.設(shè)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)，且a、b滿足ab+ab=l,則b=.（四川省競(jìng)賽題）13.已知正數(shù)a、b有下列命題：若a=1，b=1,則.1;若a1,b5，則3;222若尸2,b=3,則總2；若a=1，b=5,則皿3-根據(jù)以上幾個(gè)命題所提供的信息，請(qǐng)猜想，若a=6,b=

8、7,則爲(wèi)b（黃岡市競(jìng)賽題）14.已知：1.a.1，那么代數(shù)式1.a的值為（）aaA.衛(wèi)B.叵c.5D.*522（重慶市競(jìng)賽題）15.設(shè)x表示最接近x的整數(shù)（x工n+0.5,n為整數(shù)），則HTb2+h-2B3+：34+*10001的值為（）A.5151B.5150c.5050D.5049（“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題）設(shè)ab0,aMl,N0),則b叫做以a為底的N的對(duì)數(shù)，記作b=logaN.例如：因?yàn)?3=8,所以log28=3；因?yàn)?-3=丄，所以log21=3.2828根據(jù)定義計(jì)算：log381=:log33=；log3l=;如果logx16=4，那么x=.設(shè)ax=M,ay=N,則logM=x；lo

9、gN=y(a0,aMl,N0,M,N均為正數(shù)).aa用logAM,logAN的代數(shù)式分別表示logMN及l(fā)ogM，并說(shuō)明理由.AAaaN(泰州市中考題)20.設(shè)yaxb,a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無(wú)理數(shù).求證：cxd當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；當(dāng)bcMad時(shí)，y是無(wú)理數(shù).設(shè)厶ABC的三邊分別是a、b、c,且a2c28b24ab4bc0,試求AABC的形狀.【觥棘】Ml由刪利燼汩別AH冊(cè)列厠1解-無(wú)磐TOC o 1-5 h z3I14TQ053M2%B由糸件律5T)(6T)=QBaM881#(ft-1-0,11ft=1N3&+*?+)+(*1-護(hù)1魯陽(yáng)丸I115因?yàn)橛咼WWMtl護(hù)古2蘆0巧

10、廠尹1礦hfiflU后42tbM4（1）725-y?3tA產(chǎn)監(jiān)尸37肚町口宀（3-席）+社初*1禍7-痂+(6fl+16Fl)=fl,7趴b為克理魚(yú)；*站-6戶0血+i冊(cè)md+i=l（2）7jt魅JUW66r卜-池也紺次-仇6心“股二肋觥為T(mén)MU治卜TSd副軸滬h由般舫酬岸為尸345.,巳血+d）+卜蟲(chóng)fr-Mi當(dāng)訐Ed丸恥弓翩理躺和姑滬勞亠飛礦厶*+詁其申級(jí)棲ju+d是無(wú)喊財(cái)瞰就詼有蠟財(cái)切書(shū)恥尸曲上砧尸尸CCC。沮d#o或#0且bc=ad時(shí),S肺理札當(dāng)Ed刮曬冃詢嚴(yán)無(wú)i瓠當(dāng)悴嘲滬ad哄岳慮+dc聞D由in冋&|卅嘰：諷（*卜（丄_j+魚(yú)”血+】?jī)諊?yán)詢也（卄滴K何帀卄皿耐JgiH（如+2+3+4100=5050.16.A+切