31組合理基礎(chǔ)

1、因此Cnmcm =m!(n- m)!組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法!在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時(shí),般都是按先取后排(先3.組合數(shù)公式:cmAm*n(n-1)(n-2)| (n - m 1)m!(m、nw N+，且 mW n )(2)mcnm、m!(n - m)!1.31 組合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解組合的概念.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式.能解決簡單的實(shí)際問題.理解組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：組合1.定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m (mwn)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè) 組合.要點(diǎn)詮釋： 從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；

2、二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān).排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別.如果兩個(gè)組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合.因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或未被取到要點(diǎn)二：組合數(shù)及其公式.組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出 m ( m n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù).記作cm.要點(diǎn)詮釋：“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念：一個(gè)組合是指“從 n個(gè)不同的元素中取出 m (me n)個(gè)元素并成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；

3、組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出 m (me n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)不同元素a, b, c中取出2個(gè)元素的組合為 ab, ac, bc,其中每一種都叫做一個(gè)組合，而數(shù)字3就是組合數(shù).組合數(shù)的公式及推導(dǎo)求從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的排列數(shù) 卻，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù) C：;第二步，求每一個(gè)組合中 m個(gè)元素的全排列數(shù) Am.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到 Am=cm 邸.Am = n(n -1)(n -2)HI(n -m 1)A 一m!這里n, mC M,且mw n,這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)锳? = n，所以組

4、合數(shù)公式還可表示為:(n - m)!要點(diǎn)詮釋:組合后排列)的順序解決問題。n!要點(diǎn)詮釋:上面第一個(gè)公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值m、n較大時(shí)，利用第二個(gè)式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個(gè)公式.要點(diǎn)三：組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 1 ： cnm = C：h (m、nWN+,且 mMn)性質(zhì) 2： cn： cm + cm，( m、 n三 N+,且 mW n )要點(diǎn)詮釋：規(guī)定：c：=1.要點(diǎn)四、純組合問題常見題型“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.如：現(xiàn)從5位男同學(xué)、

5、4位女同學(xué)中選出 5名代表，若男甲、女 A都必須當(dāng)選，有多少種不同的選法 ？由二 甲、女A必須當(dāng)選，只需從剩下 7人中任選3人即可滿足題目的要求，故有 c；= 35種不同的選法.“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以 求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.如(1)中，將問題改為至少有一名女同學(xué)當(dāng)選，有多少種不同的選法？則在全部的選法中，排除全部男生當(dāng)選的情況即可，故有 c； c； = 125種不同的選法.(3)分堆問題平均分堆，其分法數(shù)為:平分到指定位置堆數(shù)的階乘例如 將6本不

6、同的書平均分成三份，每份兩本，求不同的分法數(shù).依據(jù)上述公式，其分法為3!=15 （種）.分堆但不平均，其分法數(shù)為分到指定位置相同數(shù)量的堆數(shù)階乘之積例如，將12本不同的書分成五份，分別為 2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法數(shù).依據(jù)上述公式，分到指定位置數(shù)為c122c120G2c；c；.其中兩本的有三堆，故除以3! ; 3本的有兩堆，要除以2!,故分法數(shù)為3! 2!(4)定序問題.對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排， 或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列.例：5人站成一排，如果甲必須站在乙的左邊，則不同的排法有多少種？法一：5

7、人不加限制的排列方法有 2種，“甲在乙的左邊”和“甲在乙的右邊”的排法是相對的，所以甲必須在乙的左邊的排法有 1a； =60 (種),2法二：第一步，在5個(gè)位置中選2個(gè)位置給甲、乙二人有 c；種選法;第二步，剩下三個(gè)位置由剩下三人全排，有A3種排法，共有c； 6 = 60 (種)；法三：從5個(gè)位置選3個(gè)位置由除甲、乙兩人之外的三人排列有腐=60種(剩下兩個(gè)位置，甲、乙隨之確定).(5)指標(biāo)問題用“隔板法”：如，將10個(gè)保送生預(yù)選指標(biāo)分配給某重點(diǎn)中學(xué)高三年級六個(gè)班，每班至少一名，共有多少種分配方案？將10個(gè)名額并成一排，名額之間有9個(gè)空，用5塊隔板插入9個(gè)空，就可將10個(gè)名額分為6部分，每一種插

8、法就對應(yīng)一種分配法，故有 c5種方案.注意：隔板法與插空法是不同的，要予以“區(qū)分”.隔板法只適用于相同元素的分配問題.要點(diǎn)五、組合組合的綜合應(yīng)用處理排列、組合綜合題時(shí)，應(yīng)遵循四大原則：(1)先特殊后一般的原則(2)先取后排的原則(3)先分類后分步的原則(4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化原則.【典型例題】類型一、組合概念及組合數(shù)公式例1 . 判斷下列問題是組合問題還是排列問題.(1)設(shè)集合A=a, b, c, d, e,則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？(2)某鐵路線上有 5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？(4)把3本相同的書分

9、給5個(gè)學(xué)生，每人最多得 1本，有幾種分配方法？【思路點(diǎn)撥】 排列與順序有關(guān)，組合與順序無關(guān).【解析】(1)因?yàn)楸締栴}與元素順序無關(guān)，故是組合問題.(2)因?yàn)榧渍镜揭艺拒嚻迸c乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價(jià)與順序無關(guān)，甲站到乙站與乙 站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問題.(3)因?yàn)榉止し椒ㄊ菑?5種不同的工作中取出 3種，按一定次序分給 3個(gè)人去干，故是排列問題.(4)因?yàn)?本書是相同的，無論把 3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題.【總結(jié)升華】區(qū)分排列與組合問題，關(guān)鍵是利用排列與組合的定義，組合是“只選不排、并成一組，與順序無關(guān)”舉一反三：【變式1】平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，

10、(1)以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？【解析】線段不考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是組合問題；有向線段考慮線段兩個(gè)端點(diǎn)的順序，是排列問題.(1)以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從 10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，10 9即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有 c =45 (條)2(2)由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)，一個(gè)是終點(diǎn)，以每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出 2個(gè)元素的排列數(shù)，即以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共 A；0= 10父9= 90(條)【變式2】計(jì)算：(1) c；;。7);【答案】(1)c； =(2)解

11、法1：解法2:= 35;4!10 9 8 7 6 5 4 =120.ci07!10!10 9 8=120.7!3!3!類型二、組合應(yīng)用題 例2.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生 12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，則(1)某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，某外科醫(yī)生不能參加，有幾種選法？(2)至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生參加，有幾種選法？【思路點(diǎn)撥】要正確理解題意中的關(guān)鍵性詞語，從“在”與“不在” “至少”中尋求解題思路【解析】(1)某內(nèi)科醫(yī)生參加，某外科醫(yī)生不參加，只需從剩下的18名醫(yī)生中選4名即可，故有C：8 =3 060種.方法一(直接法):至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生當(dāng)選可分為四類

12、：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，共有cic+ca+ca+ccid 656(種).方法二(排除法)：事件“至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和至少有一名外科醫(yī)生”的反面是“全部為內(nèi)科醫(yī)生或外科醫(yī)生”，共有d+c%種選法,貝ij c520-(c 5i2+c58)=14 656 種.【總結(jié)升華】本題屬有限制條件的組合問題，“含”與“不含”，“最多”與“至少”是常見題型 .“含有” 一般先將這些元素取出，不足部分由另外的元素補(bǔ)充 ，“不含”可將這些元素剔除 ，再從剩下的元素中去取 .解“最多”與“至少”問題，是用直接法還是排除法，要具體問題具體分析，一般是正難則反.舉一反三：【變式1】(2015西寧校級模擬

13、)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織 6個(gè)年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級選擇甲博物館的方案有()a. a2MA4種b. a2M54種c. cA4種d. c54種【答案】因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)年級選擇甲博物館，所以參觀甲博物館的年級有 c：種情況，其余年級均有5種選擇，所以共有 54種情況，根據(jù)乘法原理可得 c； M 54種情況，故選Do【變式2】男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各 1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派 方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)隊(duì)長中至少有1人參加；(

14、4)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員 .【答案】(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有宓種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有匚？種選法.共有雁該種選法.(2)方法一至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為2通冗筌白2如種.方法二 “至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解從10人中任選5人有種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為1二2蛇種.(3)方法一：可分類求解：“只有男隊(duì)長”的選法為C才；“只有女隊(duì)長”的選法為C+.“男、女隊(duì)長都入選”的選法為 eg;所以共有2,比尹1非種選法.方法二：間接

15、法：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊(duì)長的方法有 種.所以“至少1名隊(duì)長”的選法為C?0一馬=19&種.(4)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有 C：種選法.不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有 種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有CW種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有種選法.所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C寺九青Y力19L種.【變式3】(2016南昌一模)甲乙兩從 4門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有()種。A. 30B. 36 c. 60 D. 72【答案】甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類：.甲、乙所選的課程中 2門均不相同，甲先從 4門中任選2門

16、，乙選取剩下的 2門，有cjc；=6種。.甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：從4門中先任選一門作為相同的課程，有c；=4種選法；甲從剩余的 3門中任選1門乙從最后剩余的2門中任選1門有c；c；=6種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時(shí)共有 c4c3c2 = 24 種。綜上，由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有 6+24=30種。故選Ao例3.有6本不同的書按下列分配方式分配，問各有多少種不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三組；(非均勻分組)(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；(3)分成每組都是2本的三個(gè)組；(均勻分組)(4)分給甲、

17、乙、丙三人，每個(gè)人 2本?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題是首先是要把六本不同的書分成3組，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。【解析】(1)先選出1本的方法有c6種，再由剩下的5本中選出2本的方法有c；種，剩下的3本為一組有c；種，依分步計(jì)數(shù)原理得分組的方法有 c6c2c3 = 60種。 把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有C6C；C；A； =360種。（3）選2本為一組有C：種，剩下4本再選2本為另一組有C：種，最后2本為一組有C；種,又每a3種分法只能算一種，所以不同的分法有c；c：c；/a3 =15 （種）。（重復(fù)情況列舉如下：記 6本書為a、b、c、d、e、f。以下A3種分法只能算一種：ab / cd

18、/ ef ; ab / ef /cd; cd / ef / ab ; cd / ab / ef ; ef / cd / ab ; ef / ab / cd 。）（4）把上面分好的三組分給甲、乙、丙三人有（c2cjc；/a3）a3=90種。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有 C：雇=1800種方法.【變式3】4個(gè)男同學(xué)和4個(gè)女同學(xué)各平均分成兩組，每組 2人，到4所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí).如果同樣兩人在不同的學(xué)校算作不同的情況，那么共有多少種不同的分配方法？【答案】216;分三步完成：C2C2第二步：把4個(gè)女同學(xué)平均分成兩組有翁方法,第一步：把4個(gè)男同學(xué)平均分成兩組有 作2種方法， A2（或甲先選有C；種，接著乙

19、選有C：,最后丙選有C；種。共CjcjC； =90種。）第三步：把四個(gè)組分配到 4所不同的學(xué)校去學(xué)習(xí)有 a：種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有不同的方法【總結(jié)升華】一般地，平均分成 n堆（組），必須除以 n!；如若部分平均分成 m堆（組），必須除以 m!。 本類題是分組后分配問題，要將分組和分配分得很清楚。舉一反三：【變式1】（1） 4名乒乓球選手，分為兩組舉行雙打比賽，共有多少種分組方法？（2） 10名籃球隊(duì)員，分成兩隊(duì)各 5人，有多少種分組方法？（3）將1, 2, 3, 4, 5, 6六個(gè)數(shù)字平分為3份，每份兩個(gè)數(shù)字，共有多少種不同的分組方法？C2C2 C2C2-412，一V 人4= 216

20、(種)a2 a2例4.甲乙丙丁戊站成一排照相，要求甲必須站在乙的左邊，丙必須站在乙的右邊，有多少種不同的排法？【思路點(diǎn)撥】本題是部分不同元素定序問題，可以用逐一插入法【解析】先把甲乙丙按指定順序拍成一排只有1種排法，再在甲乙丙的兩端和之間5個(gè)空檔中選1個(gè)位置讓丁站有C4種不同的方法， 再在這4人之間和兩端5個(gè)空檔中選1個(gè)位置讓戊站有 C5種不同的站法,看似簡單，容易認(rèn)為有C：2C2 =6種分法.具體排一下：1、23、4, 1、32、4, 1、42、3, 2、31、4, 2、分組方法不是6種，而只有3種，一般規(guī)律是C4 C2A41、3, 3、41、2,即會(huì)發(fā)現(xiàn)各重復(fù)一次，總共55(1)同理，共有

21、 10 2 5種分組方法.C：0種中含1, 2, 3, 4, 5,又含6, 7, 8, 9, 10.A2當(dāng)取1, 2, 3, 4, 5時(shí)，相應(yīng)的另一組是 6, 7, 8, 9, 10.當(dāng)取6, 7, 8, 9, 10時(shí)，相應(yīng)的另一組是 1, 2, 3, 4, 5.顯然也是各重復(fù)一次.（3）此題易誤認(rèn)為有方法 C； C2 C2種.分析一下下面的 6種分組方法：1、2, 3、4, 5、6;1、2, 5、6, 3、4; 3、4, 1、2, 5、6; 5、6, 1、2, 3、4; 5、6, 3、4, 1、2,這實(shí)際上是同一種分C2 c2 C2組法，即這中間各有 A3組是重復(fù)的同一種分組方法，所以，共有

22、分組方法應(yīng)是6 2 =15種.【變式2】6本不同的書全部送給 5人，每人至少1本，有多少種不同的送書方法？【答案】第一步：從 6本不同的書中任取 2本“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有C2種方法；第二步：將5個(gè)“不同元素（書）”分給5個(gè)人有 浦種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合要求站法有1 X c： X c5=20種.【總結(jié)升華】對部分不同元素定序（或部分相同元素）排列的問題，常用逐一插入法，先將這些“特殊元素”按指定 順序排列，再將“普通元素”逐一插入其間或兩端.注意定序的元素之間順序一定、部分相同元素是組合問題.舉一反三：【變式】在一個(gè)晚會(huì)上有相聲、唱歌、詩歌朗誦、小品、小提琴獨(dú)奏節(jié)目各一個(gè)，要求相

23、聲節(jié)目必須排在小提琴獨(dú) 奏前，小品排在小提琴獨(dú)奏后，這臺晚會(huì)的節(jié)目有多少種不同的排法？【答案】先把這5個(gè)節(jié)目排成一排占5個(gè)位置，先在這5個(gè)位置中選3個(gè)位置按從前到后為相聲、小提琴獨(dú)奏、小 品順序安排這三個(gè)節(jié)目有 C；種不同方法，再在其余 2個(gè)位置上安排唱歌和詩歌朗誦有A；種不同方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合要求的節(jié)目排法有C；A；=20種.例5.學(xué)校從8個(gè)班中選10名同學(xué)參加活動(dòng)，每班至少一名 .現(xiàn)在要將這10個(gè)名額分配到8個(gè)班，共有多少種不 同的分配方法？【思路點(diǎn)撥】名額指標(biāo)是相同的元素，分配的不同方法是指各班獲得的數(shù)量不同?！窘馕觥糠椒ㄒ唬河砂嘀辽俜值?個(gè)名額，可先給每班 1個(gè)名額，只需考慮

24、余下 2個(gè)名額的分配方法有多少種不同情況。第一類：將2個(gè)余額分給2所不同的班，共有 C：種方法；第二類：將2個(gè)余額分給1個(gè)班，共有8種方法；不同分配結(jié)果的總數(shù)為 N =C；+8 = 36（種）方法二：可將10個(gè)名額分成非零的8份，將8所班看成是放置這 8份名額的位置。10個(gè)名額排一列，共有 11個(gè)空檔，去掉兩端的空檔，還有9個(gè)空檔，從中任取7個(gè)空檔，則10個(gè)名額被取到的空檔分成了8份，每一份對應(yīng)地放在班的位置上，即不同分配結(jié)果共有 N =C； =36（種）【總結(jié)升華】 名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，故適合隔板法。舉一反三：【變式】把10本相同的書發(fā)給編號為 1、2、3的三個(gè)學(xué)

25、生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)?！敬鸢浮肯茸?、3號閱覽室依次分得 1本書、2本書；再對余下的 7本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入兩個(gè)相同“ I” （一般可視為“隔板”）共有C；種插法，即有15種分法。類型三、排列組合的綜合應(yīng)用例6.由13個(gè)人組成的課外活動(dòng)小組，其中 5個(gè)人只會(huì)跳舞，5個(gè)人只會(huì)唱歌，3個(gè)人既會(huì)唱歌，也會(huì)跳舞，若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去演節(jié)目，共有多少種不同的選法？【思路點(diǎn)撥】此類題目可按同一性質(zhì)的對象選出的多少分類，應(yīng)避免重復(fù)與遺漏.此題可從既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的3人進(jìn)行分類.

26、【解析】分類進(jìn)行：第一類：若3人都不參加，共有 c3 c5 c4種；第二類：若3人都跳舞或都唱歌，共有 2c3 c5 c4種； 3 55第三類：若3人中有兩人唱歌或跳舞，共有 2C3 C5 C5種；第四類：若3人中有一人唱歌或跳舞，共有 2c3c5c5種；第五類：若3人中有兩人唱歌第三人跳舞或兩人跳舞第三人唱歌，共有2c：C；C2 c5種；第六類：若3人中有一人唱歌，又有一人跳舞的情形有C13c2 c5c5種.【總結(jié)升華】對于有關(guān)元素為“多面手”的問題,應(yīng)該按照“多面手”有沒有被選入，選中的“多面手”作何用 ，進(jìn)行分類.舉一反三【變式】某外語組有 9人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中7人會(huì)

27、英語,3人會(huì)日語，從中選取會(huì)英語和日語的各一 TOC o 1-5 h z 人，有多少種不同的選法？【答案】如圖，以會(huì)英語為基礎(chǔ)分類，選取的一名會(huì)英語可從只會(huì)英語的人員中抽取，也可從既會(huì)英語又會(huì)日語的人員中抽取.由題意可知，只會(huì)英語的有6人，只會(huì)日語的有2人，英語和日語都會(huì)的有1人.以只會(huì)英語的人數(shù)分類，C6 C1 C12+C16 - C23=20.例7.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同取法共有（）（A） 150 種 （B） 147 種 （C） 144 種 （D） 141 種【思路點(diǎn)撥】取出的四個(gè)點(diǎn)不共面的情況要比取出的四個(gè)點(diǎn)共面的情況復(fù)雜，可采用間 接法，先不加限

28、制任取四點(diǎn)，再減去四面共點(diǎn)的取法.【解析】在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)，有C：種取法，取出的4點(diǎn)共面有三類（如圖）.第一類：共四面體的某一個(gè)面，有4c64種取法；第二類：過四面體的一條棱上的三點(diǎn)及對棱的中點(diǎn)，如圖中的平面ABE,有6種取法；第三類：過四面體的四條棱的中點(diǎn)，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面EFGM共有3個(gè).故取4個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法共有 C1（4 C64 + 6+3） =141（種）因此選D【總結(jié)升華】有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體 中淘汰.由點(diǎn)組成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，常見的附加條件是點(diǎn)共線與不共線

29、，點(diǎn)共面與不共面，線共面與不共面等.舉一反三：【變式】求以一個(gè)長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)。【答案】從8個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)，共有C4種方法，其中取出的4個(gè)點(diǎn)共面的有6+6= 12種，所以符合條件的四面體的個(gè)數(shù)為C； 12 = 58個(gè)。例8.設(shè)有編號1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同，有多少投法【思路點(diǎn)撥】兩個(gè)球的編號與盒子的編號相同即三個(gè)不同，可采用列表法。【解析】從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對號有C；種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號王, 3,4

30、,5號盒3號球裝4號盒時(shí)，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時(shí),4,5號球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C；種3號盒 4 號盒 5 號盒【總結(jié)升華】對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果舉一反三：【變式】a, b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二,c不排第三，d不排第四的不同排法有一種.【答案】9,可采用畫出樹狀圖的方法?！眷柟叹毩?xí)】一、選擇題 TOC o 1-5 h z . a,b,c,d,e共5個(gè)人，從中選1名組長1名副組長，不同的選法總數(shù)是（）A. 20 B . 16 C . 10 D . 6. （2

31、016 海南校級一模）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體驗(yàn)，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士。不同的分配方法共有（）A. 90 種 B. 180 種C. 270 種 D. 540 種.三名教師教六個(gè)班的課，每人教兩個(gè)班，分配方案共有（）.A. 18 種B. 24 種C. 45 種D. 90 種.在1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有（）.A.36 個(gè)B.24 個(gè)C.18 個(gè)D.6個(gè).從10名大學(xué)生畢業(yè)生中選 3個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（ ）A 85 B 56 C 49 D 28.從正方體AB

32、CD - ABCD的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)，作為四面體的頂點(diǎn)，可得到不同的四面體的個(gè)數(shù)為 （）.a. C；-12 B . C：-8 C . C；-6 D . C；-4. （2016資陽三模）現(xiàn)有12張不同的卡片，其中紅色、黃色、綠色、藍(lán)色卡片各3張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且藍(lán)色卡片至多1張。則不同的取法的共有（）A. 135 B. 172C. 189 D. 216.將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放人每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）.A . 10 種 B . 20 種 C . 36 種 D . 52 種二、填空題.平面

33、上有7個(gè)點(diǎn)，問以這7點(diǎn)中任何兩個(gè)為端點(diǎn)，構(gòu)成有向線段有 條。.某校準(zhǔn)備參加 2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把 10個(gè)名額分配給高三年級 2個(gè)班，每班至少 1人，不同的分配方案有種.從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有 種.A.8B.12C.16D.20.（2016 內(nèi)江四模）4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有。三、解答題.在200件產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取 5件.（注：可以只列式子，不必求結(jié)果）“其中恰有2件次品”的抽法有多少種？“其中恰有1件次品”的抽法有多少種？“其中沒有次品”的抽法有多少種？“其中至少有1件

34、次品”的抽法有多少種？.位實(shí)習(xí)教師全部分給高一年級的5個(gè)班級進(jìn)行實(shí)習(xí)，每班至少 1人，有多少種不同的分法？ TOC o 1-5 h z .某籃球隊(duì)共7名老隊(duì)員，5名新隊(duì)員，根據(jù)下列情況分別求出有多少種不同的出場陣容（1）某老隊(duì)員必須上場，某 2新隊(duì)員不能出場；（2）有6名打前鋒位，4名打后衛(wèi)位，甲、乙兩名既能打前鋒又能打后衛(wèi)位【答案與解析】.【答案】C一 5 4.【解析】d= = 10（種）1.【答案】D【解析】三所學(xué)校依次選醫(yī)生、護(hù)士，不同的分配方法共有：C；C：C；C：=540種。故選D。.【答案】D【解析】C；C：C；=90 （種）.【答案】A【解析】 若各位數(shù)字之和為偶數(shù)，則只能兩奇一偶，故C；2 C2 A3 = 36 （個(gè)），故選A.【答案】C【解析】解析由條件可分為兩類：一類是甲乙兩人只去一個(gè)的選法有：C2 02= 42 ,另一類是甲乙都去的選法有