行列式教學中的幾個根本性問題

1、用主元連乘法定義行列式工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的思路之二西安電子科技大學 陳懷琛 高淑萍email： HYPERLINK mailto:hchchen1934 hchchen1934摘要：提出了用主元連乘積法來定義行列式，可以把高斯消元法與行列式有機地聯(lián)系起來，大大簡化行列式的理論講授難度，可以避開的許多困惑的概念，并且使行列式的計算和編程十分方便快捷。這 從1995到2004的十年間，為了把科學計算軟件用于機械、電子、控制等類工科課程，我寫了五本書，涉及十多門課程，解了超百道的線性代數(shù)問題，真正體驗了后續(xù)課程和工程問題對線性代數(shù)的需要。發(fā)現(xiàn)工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的首要手段是引進機算。其

2、次，許多老師根本不知道工程上是如何應用線性代數(shù)的，憑想象選材。造成在內容上，“有用的不教，教了的沒用”。本文只就行列式的用法和算法問題做些探討。工科后續(xù)課究竟如何用行列式的？工科學生遇到的主要線性代數(shù)問題是解方程組。其階數(shù)通常為五階以上，直到成百上千。求解的基本原理是高斯消元法，采用的工具是計算機，用手工筆算是不可能的。不過現(xiàn)在的大學數(shù)學就是偏偏只教筆算，只管解三階以下的題目?！安唤虣C算”的問題我已談得很多，2009年高教司已立項“用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數(shù)”來解決這個問題，有19所大學，45000名學生參與了試點，深受師生歡迎，現(xiàn)在正在繼續(xù)推廣，本文就不多說了。在這里我要談的是

3、線性代數(shù)中的一個困難的理論問題行列式，應該如何教。大家知道，“行列式不為零”是判斷線性方程組解存在的根據，從數(shù)學上看，必不可少。因此現(xiàn)在的線性代數(shù)老師教給學生的是這樣一個概念：拿來一個線性方程組，先算它的系數(shù)行列式，如果它不等于零，再去求解；否則就不算了。實際情況遠非如此，我解的上百道矩陣應用題目，都是直接求解方程，沒有先算行列式“判解”這個步驟。其原因何在呢？1. 先判解，后求解，這樣的操作順序要有一個前提，那就是，判解應該比求解容易。如果求解快，判解慢，那有何必多此一舉去“判解”呢？因此，計算復雜度是關鍵，當前線性代數(shù)中不考慮計算復雜度是一個大的缺陷。2. 方程組求解現(xiàn)在都用高斯消元法，數(shù)

4、學上早有證明，那是最快的方法。行列式的計算法則隨定義而定，現(xiàn)有三種定義方法1：顯式法、代數(shù)余子式法和主元連乘積法。我國的現(xiàn)有教材從來都不講第三種，而前兩種定義下的計算復雜度極高。三階及以上的系統(tǒng)，判解遠慢于求解。階數(shù)愈高，兩者的差距愈大。因此，判解實際上是不進行的。 3. 消元法求解的過程中，已經經歷了解的存在性的判斷。只要消元所得的行階梯矩陣的主對角線上的元素不為零，方程組就有解；主元出現(xiàn)零，方程就無解。其實，求出了行階梯矩陣，用主元連乘積的定義，已經可以很方便地通過N-1次連乘，得到行列式的值，所以求解和求行列式幾乎是同時完成的，并不需要多付出雙倍以至千百倍的無用功來先判解的。尤其是使用計

5、算機解題時，如果出現(xiàn)了某個零主元，計算機會發(fā)出出錯告警，指出系數(shù)行列式接近或等于于零。用主元連乘積法定義行列式1設二階方陣開始，設二階方陣的系數(shù)矩陣為，只用第三類初等變換來消元，所得的行階梯矩陣為：，對角項（主元）的連乘積D不為零，得到 D=ad-bc0這個D=ad-bc就稱為矩陣A的行列式?？梢?，二階線性方程組主元的連乘積就等于行列式。 如果用矩陣的下標來標注元素，其行列式為 。2.三階方程組的行列式設三階方程組的系數(shù)矩陣為則只用第三類初等變換的高斯消元法求得其上三角矩陣如下：要求三個對角元素的連乘積不為零。結果為： 可見用主元連乘積也同樣可定義三階系數(shù)矩陣的行列式。為了使行列式的值具有唯一

6、性，必須限定消元變換中不使用第一類（會改變正負號）和第二類（會改變乘數(shù)）初等變換。3. 向高階行列式的演繹由此可以推想，將N階系數(shù)方陣用高斯消元法變換為上三角方陣，其對角線上所有主元的連乘積就是該方陣的行列式，即。我們已經知道，消元法解方程時，若主元不等于零，解就存在并可用除法求得。所以，在這個定義下，判斷行列式是否為零與判斷諸主元是否為零是等價的。反過來說，用消元法如能求出方程組的解，則此方程組系數(shù)矩陣的主元，因而行列式必不等于零，再用行列式去判解是多此一舉。許多數(shù)學書上對此定義方法早有定論。比如在1中明確地指出主元連乘積法是現(xiàn)有的行列式的三種定義方法之一。不知什么原因，得不到重視。中國直到

7、2012年游宏教授的教材2中才首次見到其推導證明。高階行列式的三種定義方法可以認為三種高階行列式定義方法都是從二、三階行列式從形式上向上演繹而得出的。顯式法是從各元素下標的排列組合規(guī)律向上演繹，代數(shù)余子式法是從矩陣按行展開的規(guī)則進行演繹，而主元連乘積法則是從消元法所得上三角矩陣向上演繹的。1顯式法：按照這個定義，nn矩陣的行列式中每一項將由不同行不同列的n個矩陣元素乘積組成(即要做n-1次乘法)，這些項應該能覆蓋所有可能的排列方式，根據排列理論，行列式將有N=n!項相加。即使n=10，N將達3628800，而需要的乘法次數(shù)為n(n-1)!之多，而每項的正負號將由這n項下標排列的逆序數(shù)決定，還需

8、要更多的計算量。所以顯式法也稱為大公式法。顯式法中的逆序和排列計數(shù)對非數(shù)學系的大學新生往往是攔路虎。而它的運算量不僅超越了人們筆算可能性，也超越了計算機的能力。一個25階的行列式若按這個大公式來算，用每秒1萬億次的超級計算機，也要算1200萬年才能得出結果。這種現(xiàn)象在計算數(shù)學上稱為“維數(shù)災難”。所以它的主要用途是數(shù)學推理，搞數(shù)學的當然不可缺少，但在應用上并沒有多少價值。2代數(shù)余子式法，其思路是將nn矩陣的行列式化為n個(n-1)(n-1)較小的行列式（考慮正負號后稱為代數(shù)余子式）的線性組合。逐級分解，可以減少高階行列式的計算量；逐級綜合，就可由n-1階行列式向上定義n階行列式。因為二階行列式要

9、兩次乘法，按照這個方法，三階行列式要三個二階行列式的線性組合，即要3+3*2=9次乘法，四階行列式要4+4*9=40次乘法，依此類推，當n很大時，要算的是n!個二階行列式的線性組合，近似為2n!次乘法。因此，這種方法的計算量與顯式法相差不大，其主要好處是可以避開逆序定義和排列組合理論，但不可能成為有實用計算價值的方法。3主元連乘法，它的核心是高斯消元法，通過等價變換消元，將系數(shù)矩陣化為上三角陣，然后把主對角線上n個主元連乘；得到行列式。這種定義的運算量已經在消元法中討論過，實現(xiàn)上三角矩陣所需的計算量約為Nn3/3，n=10時，N=333次，n=25時，N5200，用現(xiàn)有的微機可以在微秒級的時間

10、內完成。求行列式只要做一個n元的連乘，其運算量可忽略不計。它的另一個好處是把方程組求解和求系數(shù)行列式在同一個運算過程用同一個程序來完成，也就是把判解（的存在唯一性）和求解統(tǒng)一起來，實際上所有數(shù)學軟件計算行列式時都采用這種方法。用MATLAB為例，只用兩條語句：L,U=lu(A); % 對方陣A做LU分解D=prod(diag(U)% U的主對角線元素連乘積即為A的行列式行列式的三種定義方法所需乘法次數(shù)列表如下階數(shù)N23451025高斯消元法求主元N3/331121413335208消元法求行列式N3/3+ N-141324453425233代數(shù)余子式法求行列式2N!29402057257600

11、3.1022e+025顯式法求行列式 (N-1)N!21272480326592003.7227e+026從此表可以看出，只有N=2時，用顯式法判解才比消元法方便。N=3時，兩者的計算量基本相同。N3時，N每加一，用顯式法定義的計算量成十倍地增長。代數(shù)余子式法計算量與顯式法基本相同，只有消元法的計算量最小，而且不引進其他新概念，理應作為高階行列式計算的首選。對于非數(shù)學類的學生，應該教他們走一條比較平坦好走的路走到目標，沒必要選一條難走的懸崖峭壁讓大家去攀爬，因而又得去學習各種攀登的技巧和工具，人為地給課程增加了難度。行列式性質教法的改變采用主元連乘法講行列式后，逆序數(shù)、排列組合、代數(shù)余子式、矩

12、陣按行展開、伴隨矩陣等許多概念都可以不講，那樣是不是會影響學生理解行列式的性質呢？初步的探索證明，比較容易用主元連乘法定義證明的性質有下面一些：*任意三角方陣、對角方陣的行列式等于其對角元素的連乘積；*第一、二、三類初等矩陣的行列式分別為-1,k和1；*從A的某行中加上另一行的倍數(shù)，其行列式不變；*方陣中任意i,j兩行交換，行列式反號；*方陣中若有一個全零行，其行列式為零。*如果A中兩行的元素相同或差同樣倍數(shù)，行列式等于零。*如果A奇異，則det A=0，如果A可逆，則det A0，這已在行列式定義中證明。*方陣A與它的轉置AT的行列式相等。即。也有一些性質則不易用主元連乘法證明，比如行列式按

13、行展開等。哪些性質對學生重要，關鍵是要研究這些性質對學生未來工作有什么應用價值。行列式按行展開的作用是便于推理，這對數(shù)學系必不可少，另一個作用是為高階行列式的手工計算服務，其實根據前面的分析，它并不能減少多少復雜度。對于工科學生，在采用主元連乘法和計算機軟件來算行列式后，這類用處不大的性質,是可以不講的。結論高等教育的現(xiàn)代化和大眾化是現(xiàn)代社會發(fā)展的需要，大學數(shù)學向真實世界數(shù)學靠攏是它改革的基本目標，工科線性代數(shù)的大眾化改革是很有潛力的3。把行列式與消元法無縫連接可以大大減輕課程的難度并提高它的實踐性，也提高了課程的內在邏輯性。老師可以把講課的重點放在行列式的幾何及物理意義上，無需花很多時間去講它的性質與計算，其優(yōu)點是無可比擬的。至于采取了這種講法，原來為顯式法或代數(shù)余子式法準備的那些概念應該怎樣處理？哪些保留？哪些揚棄？肯定是一個極有爭論性的問題。因為各個專業(yè)、各類學生的要求都會不同，傳統(tǒng)的考研命題也會繼續(xù)產生影響。各個學校、專業(yè)和各類學生