2013版高考數(shù)學(xué)73空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件文新人教A版

1、第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系三年8考 高考指數(shù):1理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題1.點、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點，也是高考的熱點2.從考查形式看，以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力和空間想象能力.3.從考查題型看，多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，一般難度不大，屬低中檔題.1.平面的基本性質(zhì)【即時應(yīng)用】(1)思考：三個公理的作用分別是什么？你能說出公理2的幾個推論嗎？提示：公理1的作用：()判斷直線在平面內(nèi)；()由直線在平面內(nèi)判斷直線上

2、的點在平面內(nèi)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件公理3的作用：()判定兩平面相交；()作兩平面的交線；()證明點共線公理2的三個推論為：()經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；()經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；()經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(2)判斷下列說法的正誤(請在括號中填寫“”或“”)如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a，就說平面,相交，并記作=a ( )兩個平面,有一個公共點A，就說,相交于過A點的任意一條直線 ( )兩個平面,有一個公共點A，就說,相交于A點，并記作=A ( )兩個平面ABC與DBC相交于線段BC ( )【

3、解析】根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知對；對于，其錯誤在于“任意”二字上；對于，錯誤在于=A上；對于，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC.答案： (3)平面,相交，在,內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定_個平面【解析】如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個答案：1或42.空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系(2)平行公理和等角定理平行公理:平行于_的兩條直線平行用符號表示：設(shè)a,b,c為三條直線，若ab,bc，則ac等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角_同一條直線相等或互補(3)異面直線所成

4、的角定義：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa,bb，把a與b所成的_叫做異面直線所成的角(或夾角)范圍：_.銳角(或直角)【即時應(yīng)用】(1)思考：不相交的兩條直線是異面直線嗎？不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定因為兩條直線沒有公共點，這兩直線可能平行也可能異面；因為不同在任何一個平面內(nèi)的直線為異面直線，故該結(jié)論不一定正確(2)和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是_.【解析】畫出圖形分析.圖中，AB、CD與異面直線a、b都相交，此時AB、CD異面；圖中，AB、AC與異面直線a、b都相交，此時AB、AC相交.答案：異面或相交3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)

5、系圖形語言 符號語言 公共點直線與平 面 相交 a=A 個平行 a 個在平 面內(nèi) a 個 aA10無數(shù)aa平面與平面平行 個相交 =l 個無數(shù)0l【即時應(yīng)用】(1)判斷下列說法是否正確(請在括號中填寫“”或“”)經(jīng)過三點確定一個平面 ( )梯形可以確定一個平面 ( )兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ( )如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 ( )(2)兩個不重合的平面可把空間分成_部分【解析】(1)經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩條平行線可以確定一個平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，正確；命題中沒有說清三個點是否共線，不正確.(2)當兩平面平行時

6、可分為3部分；當兩平面相交時分為4部分答案：(1) (2)3或4 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【方法點睛】考查平面基本性質(zhì)的常見題型及解法(1)判斷所給元素(點或直線)是否能確定唯一平面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，此時需要利用公理2及其推論(2)證明點或線共面問題，一般有兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合(3)證明點共線問題，一般有兩種途徑：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上(4)證明線共點問題，常用的方法是：先證其中

7、兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點【例1】(1)給出以下四個命題不共面的四點中，其中任意三點不共線；若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC= AD，BEAF且BE= AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.證明：四邊形BCHG是平行四邊形；C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？【解題指南】(1)根據(jù)確定平面的公

8、理及推論進行判斷.(2)證明BC、GH平行且相等即可；證明EFCH，由此構(gòu)成平面，再證點D在該平面上【規(guī)范解答】(1)選B.假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以正確.從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.(2)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GHAD且GH= AD,又BCAD且BC= AD，故GHBC且GH=BC，所以四邊形BCHG是平行四邊形C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下：由BEAF且BE= AF，G是F

9、A的中點知，BEGF且BE=GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH，故EC，F(xiàn)H共面.又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.【互動探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB，DC交于一點”？【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形ECHF，且EC= DF四邊形ECDF為梯形FE，DC交于一點，設(shè)FEDC=MMFE，F(xiàn)E平面BAFE，M平面BAFE同理M平面BADC又平面BAFE平面BADC=BA，MBAFE,AB,DC交于一點【反思感悟】點共線和線共點問題，都可轉(zhuǎn)化為點在直線上

10、的問題來處理，實質(zhì)上是利用公理3，證明點在兩平面的交線上，解題時要注意這種轉(zhuǎn)化思想的運用【變式備選】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CD上的點，設(shè)EG與FH交于點P求證：P、A、C三點共線【證明】EGFH=P，PEG，EG平面ABC，P平面ABC同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點又平面ABC平面ADC=AC.PAC.P、A、C三點共線 空間中兩直線的位置關(guān)系【方法點睛】判定空間直線位置關(guān)系的方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及

11、線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決【提醒】在空間中兩直線的三種位置關(guān)系中，驗證異面直線及其所成角是考查的熱點.【例2】如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為( )(A)ACBD(B)AC截面PQMN(C)AC=BD(D)異面直線PM與BD所成的角為45【解題指南】結(jié)合圖形，根據(jù)有關(guān)的知識逐一進行判斷注意本題選擇的是錯誤選項！【規(guī)范解答】選C.因為四邊形PQMN為正方形，所以PQMN，又PQ平面ADC，MN平面ADC，所以PQ平面ADC.又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC.同理可證QMBD.由PQAC，QMBD，PQ

12、QM可得ACBD，故A正確；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯誤.【反思感悟】解決此類問題常出現(xiàn)的錯誤是不善于挖掘題中的條件，不能將問題適當?shù)剞D(zhuǎn)化；另外，圖形復(fù)雜、空間想象力不夠、分析問題不到位等，也是常出現(xiàn)錯誤的原因【變式訓(xùn)練】設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是( )(A)若AC與BD共面，則AD與BC共面(B)若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC，DB=DC，則ADBC(D)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC【解析】選D.對于A，易知點A，B，C，D共面，

13、故AD與BC共面，所以A正確；對于B，假設(shè)AD與BC不異面，則可得AC與BD共面，與題意矛盾，故B正確；對于C，如圖，E為BC中點，易證得直線BC平面ADE，從而ADBC，故C正確；對于D，當四點構(gòu)成空間四面體時，只能推出ADBC，但二者不一定相等，故D錯誤. 異面直線所成的角【方法點睛】1.找異面直線所成的角的方法一般有三種找法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移2.求異面直線所成角的步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線；(2)證：證明相交直線所成的角或其補角為異面直線所成的角；(3)算：通過解三角形，求出該角 【例3】(2012銀川模擬)如圖

14、所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.【解題指南】利用正方體中的平行關(guān)系，將兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角進行求解【規(guī)范解答】(1)如圖，連接AC、AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，知AA1C1C為平行四邊形，所以ACA1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.由AB1=AC=B1C可知B1CA=60,即A1C1與B1C所成角為60.BAECDFD1B1C1A1(2)如圖，連接BD，由AA1CC1，且AA1=CC1可知A1ACC1是平行四邊形，A

15、CA1C1.AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.EF是ABD的中位線，EFBD.又ACBD,EFAC,即所求角為90.【反思感悟】1.求異面直線所成的角時，常采用平行平移的方法，轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角來求解.解題時常常借助三角形的中位線來完成轉(zhuǎn)化.2.在求異面直線所成的角時常犯的錯誤是忽視角的范圍，如在解三角形的過程中求得三角形內(nèi)角的余弦值為負時，必須轉(zhuǎn)化為(0， 內(nèi)的角【變式訓(xùn)練】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求：(1)異面直線AB與A1D1所成的角；(2)AD1與DC1所成的角.【解析】(1)A1B1AB，而A1D1A1B1，A1D1AB，AB與A1D1所成的角為90.(

16、2)連接AB1，B1D1，AB1DC1，AB1與AD1所成的角即為DC1與AD1所成的角.又AD1=AB1=B1D1，AB1D1為正三角形.AD1與AB1所成的角為60.AD1與DC1所成的角為60.【變式備選】在空間四邊形ABCD中，已知AD=1， 且ADBC，對角線 求AC和BD所成的角【解析】如圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知EFAC，且 GEBD，且 GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理， GHAD，HFBC，又ADBC，GHF=90，GF2=GH2+HF2=1，在EFG中，EG2+EF

17、2=1=GF2，GEF=90，即AC和BD所成的角為90.【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011上海高考改編)已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1=2，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積.【解題指南】(1)利用平行平移法得到異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形的問題；(2)利用割補法求體積即可【規(guī)范解答】(1)連BD，AB1，B1D1，AD1.1分BDB1D1,異面直線BD與AB1所成角為AB1D1(或其補角)，記AB1D1=, 3分由已知條件得在AB1D1中，由余弦定理得 6分異面直線BD與AB1

18、所成角的余弦值為 7分(2)連接AC，CB1，CD1，則所求四面體的體積12分【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示 在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)在用平行平移將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角時，忽視對三角形的內(nèi)角“即為兩異面直線所成的角(或其補角)”的敘述；(2)在求幾何體的體積時，不知將其轉(zhuǎn)化為四棱柱的體積與四個三棱錐體積的差備考建議 解決異面直線所成角的問題時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：(1)輔助線的作法不靈活，不能利用已知條件中的平行或中點；(2)對立體幾何計算題的解答規(guī)范不熟悉，書寫不條理；(3)通過解三角形得到某一內(nèi)角的余弦值為負值后，忽視角的范圍，不知將其轉(zhuǎn)化為正值來處理建議在備考中要強化對立體幾何中解答題的訓(xùn)練，這是高考中的考查重點之一.同時要注重解答題的規(guī)范表達和準確計算.1.(2011浙江高考)若直線l不平行于平面，且l，則( )(A)內(nèi)的所有直線與l異面(B)內(nèi)不存在與l平行的直線(C)內(nèi)存在唯一的直線與l平行(D)內(nèi)的直線與