交換的帕累托最優(yōu)條件

1、交換的帕累托最優(yōu)條件本節(jié)先討論交換的最優(yōu)條件。首先還是考慮兩種既定數量的產品在兩個單個消費者之間的分配問題，然后將所 得的結論推廣到一般情況。假定兩種產品分別為X和y，其既定數量為 次和Y。兩個消費者分別為A和B.Xb （）B圖交換的帕累托最優(yōu)下面用一種叫做埃奇渥斯盒狀圖的工具來分析這兩種產品在兩個消費者之間的分配。參見圖 交換的帕累托最優(yōu)。盒子的水平長度表示整個經濟中第一種產品 X的數 量京，盒子的垂直高度表示第二種產品y的數量Y . OA為第一個消費者A的原點，OB為 第二個消費者B的原點。從Oa水平向右測量消費者A對第一種商品X的消費量Xb，垂 直向上測量它對第二種商品Y的消費量Ya ；

2、從Ob水平向左測量消費者B對第一種商品X 的消費量Xb，垂直向下測量它對第二種商品Y的消費量Yb?，F在考慮盒中的任意一點，如a。a對應于消費者A的消費量（Xa，Ya）和消費者B 的消費量（Xb，Yb ）。下式成立：XA+XB 我YA B =F（ 1）換句話說，盒中任意一點確定了一套數量，表示每一個消費者對每一種商品 1的 消費，且滿足（1）式。因此，盒子（包括邊界）確定了兩種物品在兩個消費者I之間的所 有可能的分配情況。特別是.在盒子的垂直邊上的任意一點，表明某個 I消費者不消費X，在盒子的水平邊上的任意一點，表明某個消費者不消費Yb。現在的問題是，在埃奇渥斯盒中的全部可能的產品分配狀態(tài)之中，

3、哪一些是帕累 托最優(yōu)狀態(tài)呢？為了分析這一點，需要在埃奇渥斯盒狀圖中加入消費者偏好的信息，即 加入每個消費者的無差異曲線。由于Oa是消費者A的原點，故A的無差異曲線向右下方 傾斜且向OA點凸出。圖中a、 A和111A、是消費者A的三條代表性無差異曲線。其 中，UIA表較高的效用水平，而1A代表較低的效用水平。一般來說，從 OA點向右移 動，標志著消費者A的效用水平增加。另一方面，由于 Ob是消費者B的原點，故B的無 差異曲線向右下方傾斜，且向OB點凸出。圖中，IB、 b和IIIB是消費者B的三條 代表性無差異曲線。其中值得注意的是IIIB代表較高的效用水平，而IB代表較低的效 用。一般說來，從O

4、b點向左移動，標志著消費者B的效用水平增加?，F在在埃奇渥斯盒狀圖中任選一點表示兩種商品在兩個消費者之間的一個原始分配。例如，選擇一點a。由于假定效用函數是連續(xù)的，故點a必然處于消費者A 的某條無差異曲線上，同時也處于消費者B的某條無差異曲線上，即消費者A和B分別有 一條無差異曲線經過a點。因此，這兩條無差異曲線或者在a點相交，或者在a點相切。 假定兩條無差異曲線在a點相交（如圖交換的帕累托最優(yōu)所示點a是無差異曲線11 a 和Ib的交點）。容易看出.a點不可能是帕累托最優(yōu)狀態(tài)。這是因為，通過改變該初始 分配狀態(tài)。例如從a點變動到b點，則消費者叫的效用水平從無差異曲線11 a提高到IIIa， 而消

5、費者B的效用水平并未變化，Ib然停留在無差異曲線Ib上。因此，在點a仍然存在 帕累托改進的余地。當然在點a，還存在其他形式的帕累托改進。例如，從a點變動到d 點，則消費者A的效用水平不變，它仍然在無差異曲線 a上，但消費者B的效用水平 卻得到了提高：從無差異曲線Ib提高到IIb。而如果讓a點變動到d點，則消費者A叫B 的效用水平均會提高。由此得到結論：在交換的埃奇渥斯盒狀圖中。任意一點，如果 它處在消費者A和B的兩條無差異曲線的交點上，則它就不是帕累托最優(yōu)狀態(tài)，因為在 這種情況下，總存在帕累托改進的余地，即總可以改變該狀態(tài)，使至少有一個人的狀 況變好而沒有人的狀況變壞。另一方面，如果假定初始的

6、產品分配狀態(tài)處于兩條無差異曲線的切點.如點c上，則容易看出，此時不存在任何帕累托改進的余地.即它們均為帕累托最優(yōu)狀態(tài)。改變 c 點狀態(tài)只有如下幾種可能：向右上方移到消費者 A較高的無差異曲線上，則A的效用水 平提高了，但消費者B的效用水平卻下降了：向左下方移到消費者B的較高的無差異曲 線上，則B的效用水平提高了，但消費者A的效用水平卻下降了；剩下來的惟一一種可 能則是消費者A和B的效用水平都降低。例如，從c點移到g點或f點.此種情況。由此可 得結論：在交換的埃奇渥斯盒狀圖中，任意一點，如果它處在消費者A和B的兩條差異曲線的切點上，則它就是帕累托最優(yōu)狀態(tài)，并稱之為交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)。在這種 情

7、況下，不存在有帕累托改進的余地，即任何改變都不能使至少一個人的狀況變好而 沒有人的狀況變壞。無差異曲線的切點不只是點c一個。點b和點e以及其他許多未在圖 交換的帕累托最優(yōu)中畫出的點也都是無差異曲線的切點，從而都代表帕累托最優(yōu)狀態(tài)。所有 無差異曲線的切點的軌跡構成曲線VV ，叫做交換的契約曲線（或效率曲線），它表示 兩種產品在兩個消費者之間的所有最優(yōu)分配（即帕累托最優(yōu)態(tài)）的集合。應當指出，在交換的帕累托最優(yōu)集合。即在交換的契約曲線 VV上，兩個消費者 的福利分配具有不同的情況。當我們沿著VV，曲線從e點移到c點時，消費者A通過犧 牲消費者B的利益而好起來；反之亦然。根據帕累托標準，我們不能說VV

8、 曲線上的任 何點比曲線L的其他點要更好一些。例如，們不能說點c比點e代表更好的分配。根據帕 累托標準，它們是不可比較的.因為從點e移到點c（或者相反）使一個人的狀況變好， 卻使另一個人的狀況變壞。我們所能夠說的僅僅是，給定任何不在線VV上的點，總存在比它更好的點，而這些點在曲線VV上。如果社會具有明顯的關于福利分配的偏好。例如，假設經濟處于點 e，而社會寧 愿以犧牲消費者B的利益使消費者A更好一些，比如說，寧愿要點c而非點e，則根據這 個分配偏好，社會將使經濟沿著曲線VV ，從點e移到點c。這是從帕累托最優(yōu)狀態(tài)集 合中，根據社會的分配偏好選擇其中的某些狀態(tài)。從交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)可以得到交換

9、的帕累托最優(yōu)條件。我們知道，交換的帕 累托最優(yōu)狀態(tài)無差異曲線的切點，而尤差異曲線的切點的條件是在該點上兩條無差異 曲線的斜率相等。本書第二第二節(jié)已經說明：無差異曲線的斜率的絕對值又叫做兩種 商品的邊際替代率（更準確地說，是商品X代替商品Y的邊際替代率）。因此，交換的帕 累托最優(yōu)狀態(tài)的條件可以用邊際替代率的術語來表時：要使兩種商品X和Y在兩個消費者A和B之間的分配達到帕累托最優(yōu)狀態(tài)，則對于這兩個消費者來說，這兩種商品的邊Sa 際替代率必須相等。如設對于消費者A和B來說，X代替Y的邊際替代率分別用.MIR Sxy 和MR SXy來表示.則交換的帕累托最優(yōu)狀態(tài)條件的公式就是：MRS a MRS bXYXY（2）為了說明上面的邊際條件，可以舉一個數字的例子來幫助加深理解。假定在初始 的分配中，消費者A的邊際替代率MRSXy y等于3。消費者B的邊際替代率MRSXy等于5。 這意味著A愿意放棄l單位的x來交換不少于3單位的Y。因此，A若能用1單位X交換到3 單位以上的Y就增加了自己的福利；另一方面，B愿意放棄不多于5單位的Y來交換1單位 的X。因此，B若能用5單位以下的Y交換到1單位的X就增進了自己的福利。由此可見，