海文考研鉆石卡系列-容易混淆的概念之數(shù)學二

1、高等數(shù)學部分易混淆概念第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1：判斷命題是否正確若，且序列的極限存在，解答：不正確在題設下只能保證，不能保證例如：，而例2選擇題設，且（ ） A存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C不一定存在 D. 一定不存在 答：選項C正確 分析：若，由夾逼定理可得，故不選A與D. 取，則，且，但 不存在，所以B選項不正確，因此選C例3設（ ） A都收斂于 B. 都收斂，但不一定收斂于 C可能收斂，也可能發(fā)散 D. 都發(fā)散 答：選項A正確 分析：由于，得，又由及夾逼定理得 因此，再利用得所以選項A二、無界與無窮大無界：設函數(shù)的定義域為，如果存在正數(shù)，使得則稱函數(shù)在上有

2、界，如果這樣的不存在，就成函數(shù)在上無界；也就是說如果對于任何正數(shù)，總存在，使，那么函數(shù)在上無界無窮大：設函數(shù)在的某一去心鄰域內有定義（或大于某一正數(shù)時有定義）如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)），只要適合不等式（或），對應的函數(shù)值總滿足不等式則稱函數(shù)為當（或）時的無窮大例4：下列敘述正確的是： 如果在某鄰域內無界，則如果，則在某鄰域內無界解析：舉反例說明設，令，當時，而 故在鄰域無界，但時不是無窮大量，則不正確 由定義，無窮大必無界，故正確結論：無窮大必無界，而無界未必無窮大三、函數(shù)極限不存在極限是無窮大當（或）時的無窮大的函數(shù)，按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的，但是

3、為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”但極限不存在并不代表其極限是無窮大例5：函數(shù)，當時的極限不存在四、如果不能退出例6：，則，但由于在的任一鄰域的無理點均沒有定義，故無法討論在的極限結論：如果，且在的某一去心鄰域內滿足，則反之，為無窮大，則為無窮小。五、求函數(shù)在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等。例7求極限解：，因而時極限不存在。 ，因而時極限不存在。六、使用等價無窮小求極限時要注意：（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求極限

4、。（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換例8：求極限分析一：若將寫成，再用等價無窮小替換就會導致錯誤。分析二：用泰勒公式原式。例9：求極限解：本題切忌將用等價代換，導致結果為1。七、函數(shù)連續(xù)性的判斷（1）設在間斷，在連續(xù)，則在間斷。而在可能連續(xù)。例10設，則在間斷，在連續(xù)，在連續(xù)。若設，在間斷，但在均連續(xù)。（2）“在點連續(xù)”是“在點連續(xù)”的充分不必要條件。分析：由“若，則”可得“如果，則”，因此，在點連續(xù)，則在點連續(xù)。再由例10可得，在點連續(xù)并不能推出在點連續(xù)。（3）在連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。其余結論均不一定成立。第二章 導數(shù)與微分一、函數(shù)可導性與連續(xù)性的關系可導必連續(xù)

5、，連續(xù)不一定可導。例11在連讀，在處不可導。二、與可導性的關系（1）設，在連續(xù)，則在可導是在可導的充要條件。（2）設，則是在可導的充要條件。三、一元函數(shù)可導函數(shù)與不可導函數(shù)乘積可導性的討論設，在連續(xù)，但不可導，又存在，則是在可導的充要條件。分析：若，由定義 反之，若存在，則必有。用反證法，假設，則由商的求導法則知在可導，與假設矛盾。利用上述結論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導性。四、在某點存在左右導數(shù)時原函數(shù)的性質（1）設在處存在左、右導數(shù)，若相等則在處可導；若不等，則在連續(xù)。（2）如果在內連續(xù)，且設則在處必可導且。若沒有如果在內連續(xù)的條件，即設，則得不到任何結論。例11，顯然設，但，

6、因此極限不存在，從而在處不連續(xù)不可導。第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用一、若若，不妨設，則，再由微分中值定理同理，當時，若，再由微分中值定理 同理可證時，必有第八章 多元函數(shù)微分法及其應用8.1多元函數(shù)的基本概念1. ,使得當,且時,有,那么成立了嗎?成立,與原來的極限差異只是描述動點與定點的接近程度的方法不一樣,這里采用的是點的矩形鄰域, ,而不是常用的圓鄰域,事實上這兩種定義是等價的.2. 若上題條件中的條件略去,函數(shù)就在連續(xù)嗎?為什么? 如果條件沒有,說明有定義,并且包含在該點的任何鄰域內,由此對,都有,從而,因此我們得到,即函數(shù)在點連續(xù).3. 多元函數(shù)的極限計算可以用洛必塔法則嗎?為什

7、么? 不可以,因為洛必塔法則的理論基礎是柯西中值定理.8.2 偏導數(shù)1. 已知,求 令,那么解出,得,所以或者8.3全微分極其應用1.寫出多元函數(shù)連續(xù),偏導存在,可微之間的關系偏導數(shù), 連續(xù)Z可微 連續(xù) 極限存在偏導數(shù), 連續(xù)偏導數(shù), 存在2. 判斷二元函數(shù)在原點處是否可微.對于函數(shù),先計算兩個偏導數(shù):又令,則上式為因而在原點處可微.8.4多元復合函數(shù)的求導法則1. 設,可微,求.8.5隱函數(shù)的求導設,都是由方程所確定的具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù),證明.對于方程,如果他滿足隱函數(shù)條件.例如,具有連續(xù)偏導數(shù)且,則由方程可以確定函數(shù),即是,的函數(shù),而,是自變量,此時具有偏導數(shù),同理, ,所以.8.6多元

8、函數(shù)的極值及其求法1.設在點處具有偏導數(shù),若,則函數(shù)在該點取得極值,命題是否正確? 不正確,見多元函數(shù)極值存在的充分必要條件.2.如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內有惟一的極小值點，且無極大值，那么該函數(shù)是否在該點取得最小值？ 不一定，對于一元函數(shù)來說上述結論是成立的，但對于多元函數(shù)，情況較為復雜，一般來說結論不能簡單的推廣。 例如，二元函數(shù)，由二元函數(shù)極值判別法： ，解得 ， 解得 故得駐點， 由于 ，以及，所以，是函數(shù)的惟一極小值點，但是，故不是在D上的最小值.線性代數(shù)部分知識點、難點關于 是考研題中一個常見的已知條件，對于應當有兩種思路：設是矩陣，是矩陣，若，則（1）的列向量是齊次方程組的解

9、（2）2、關于 也是考研中常見的一種題型，也是考生比較畏懼的一種題型，他的特點是題干簡單，已知較少，所以考生有時候覺得無從下手，其實所有的題都是由基本東西轉換而來的，考生只要掌握其基本思路，就不會覺得太難了。下面僅舉兩例以示說明：設是階非0矩陣，滿足，且，證明行列式?！咀C法一】（用秩）據(jù)已知有，那么因為，即，那么秩從而秩，故?！咀C法二】（用有非零解）據(jù)已知有，即的列向量是齊次方程組的解，又因，所以有非零解，從而。設A為階矩陣，滿足，證明。【證明】因為所以 又因于是故必有 3、代數(shù)余子式求和一般這類題，出題者絕對不會考察考生的計算求余子式的能力，而是重點考察對代數(shù)余子式的理解和其基本性質的應用，

10、所以考生一定要靈活掌握，掌握基本思想。下面請看一例：設行列式 則第4行元素余子式之和的值為_【分析】4、伴隨矩陣伴隨矩陣是現(xiàn)代中比較重要的概念，也是一個?？嫉狞c，出題點一般是結合逆矩陣來求解的，所以考生在深刻掌握伴隨矩陣概念的同時，也應該熟記一些和伴隨有關的公式定理，這類型題一般解法較多比較靈活，所以關鍵還是它的定義和基本性質，考生因該以不變應萬變，一個典型例題就是證明：5、初等變換 初等變換是一個非常重要的概念，它可以簡化許多問題，但是考生在應用初等變換上還不是很熟練，有時候根本就不知道初等變換是用來干什么的。首先建議學員一定要弄清楚概念，它具有什么性質。知道行變換就是左乘初等矩陣，列變換就

11、是右乘初等矩陣，然后就可以化簡計算。初等矩陣均可逆，且其逆是同類型的初等矩陣。例如：即 例4，設，則 答案：【分析】利用初等矩陣。矩陣A的一、二兩行互換后再二、三兩行互換，然后一、二兩列互換后再二、三兩列互換，即是矩陣B，即可見6、線性相關性線性相關性是考察的重點之一。而且多以證明題的形式出現(xiàn)，通常在選擇題中出現(xiàn)較多，對于這塊內容，應用定義去證明線性相關性是考生的難點，同時也是考察的重點。解題的方法也比較單一，多用定義證明。所以考生一定要在深刻理解定義的基礎上去靈活運用，通過練習掌握這塊僅有的一點方法。例5，設是階矩陣，是維列向量，若，證明向量組， ，線性無關【證】（用定義、同乘）設 （1）由

12、于知，用左乘（1）式兩端，并把，代入，有 因為，故=0把代入（1）式，可知 從而類似可得，所以， ，線性無關。例6，設4維列向量線性無關，且與4維列向量均正交，證明線性相關?！咀C】（用秩）構造矩陣 則矩陣A是秩為3的矩陣，由于 所以均是齊次方程組的解。那么，從而線性相關。7、線性表出 線性表出也是?？嫉靡活愵}型，考察的形式多結合線性相關，線性無關。應結合他們的定義與線性表出的概念，以及他們之間的聯(lián)系來解題。這類題多用反正法，考生應熟練掌握這部分的題型，負責可能拿到手后根本沒有思路，當遇到這種情況時，建議從最基本的定義和概念出發(fā)，一步步往結論處求證。有些題可以利用線性相關、五官、向量組得知、極大

13、線性無關組等概念之間的關系直觀的得出結論。例7，設是維向量組，則（ ）不正確。如果，則任何維向量都可以用線性表示；如果任何維向量都可以用線性表示，則；如果，則任何維向量都可以用唯一線性表示；如果，則存在維向量不能用線性表示?！痉治觥坷谩坝弥扰袛嗑€性表示”的有關性質。當時，任何維向量添加進時，秩不會增大，從而（A）正確。如果（B）的條件成立，則任何維向量組都可以用線性表示，從而如果取是一個階可逆矩陣的列向量組，則得到，從而（B）正確。（D）是（B）的逆否命題，也正確。當時，不能保證任何維向量可用線性表示（如時），因此（C）不正確。8、過渡矩陣過渡矩陣是考試所要求的考點之一，但不是每年都出題的。

14、所以考生在復習時容易忽略這個考點，其實考察的東西很簡單，只要考生抓住概念就可以了，出題也只會考察它的概念，不會出很深的知識點。【定義】設和都是V的基，并設在中的坐標為稱矩陣 為到的過渡矩陣。此時，如果V中的向量在中德坐標為，在中的坐標為，則有坐標變換公式 兩個規(guī)范正交基之間的過渡矩陣是正交矩陣。9、關于基礎解系 基礎解系是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，對于這塊內容的考察也是一個重點，但是我們在答疑或者是改卷過程中發(fā)現(xiàn)還是有很多同學概念混淆，所以由必要在此強調?！径x】設是的解向量，如果（1）線性無關；（2）的任一個解向量可由線性表示，則稱是的一個基礎解系。10、如何確定自由變量并賦值？很多考生

15、在這塊也容易犯錯誤，因為不同的賦值方法可能得到不同的結果，所以考生只要概念理解清楚，按照步驟就一定能得到正確答案，下面介紹確定自由變量并賦值的基本步驟：對系數(shù)矩陣作初等行變換化其為階梯形由秩確定自由變量的個數(shù)找出一個秩為的矩陣，則其余的列對應的就是自由變量每次給一個自由變量賦值為1，其余的自由變量賦值為0（注意共需賦值次）。 對階梯形方程組由下往上依次求解，就可以得到方程組得解。11、關于公共解 公共解也是一個考點，公共解的求解一般有固定的方法，考生針對題型掌握其中的一兩種就可以了，下面以例題形式介紹公共解的幾種處理方法：例8，設有兩個4元齊次線性方程組 （） （）求線性方程組（）的基礎解系；試問方程組（）和（）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。關于公共解，有以下