高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第十二章課后習(xí)題答案

1、習(xí)題12-：第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì).1 寫(xiě)出卜列級(jí)數(shù)的前五項(xiàng): TOC o 1-5 h z l+l1+21 + 3! +4I +5I * I2I +22I -f 321+4?1 +5?LL121 3 51 35 71 3 5 7 92 2 -4 +2-4*6 2 4-6 8 2 4 6 8 10 .2.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定卜.列級(jí)數(shù)的收斂件:解設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為$.=(./? - I ) (73 - /?) + + ( Jn + I - Jn)lims= 所以根據(jù)定義“【知級(jí)數(shù)+ _J）發(fā)散第十二章無(wú)窮圾數(shù) 第十二章無(wú)窮圾數(shù) # 一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)題全解所以根據(jù)

2、定義可知級(jí)數(shù)收斂. 7T . nir 入in mii - 1262sin n2n - 1 2n + Icos -cos r- .從而2sin 工12I tt 2n f I 11 122s，nT2因?yàn)楫?dāng) y時(shí),.（）sf 的極限不存住,所以”的極限不存在.即級(jí)數(shù)發(fā)散. + In= In (n內(nèi)1加 二8 .故級(jí)數(shù)發(fā)散. R3.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性: TOC o 1-5 h z 一、882屋9/9.，+T萬(wàn)小 3 A 3?3(4)2 W 卜（小乂解(D此級(jí)數(shù)為公比g =-5的等比級(jí)數(shù).因| 1 ,故該級(jí)數(shù)發(fā)散.(5)此級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)% =3.二注意到與上分別是公比”;與q二;的等比級(jí)數(shù).而|q| V

3、p w zn I n+2 n 3+于是,當(dāng)P為奇數(shù)時(shí).I -I =二】- (*-白)-出) 廣當(dāng)P為偶數(shù)時(shí)，3 7 IL)(_1!_)-!-n + I 1+2 n +3/ n + p - 2 n + p - 1 / n +p n + 1因此,對(duì)任意給定的正數(shù),取正整數(shù),VM .則當(dāng)、時(shí)對(duì)任何正整數(shù)p. 都有.1 I力” -$ F 7 內(nèi)外是3的倍數(shù)1當(dāng) =3時(shí).就行 -)1 0 根據(jù)柯西收斂原理知,級(jí)數(shù)發(fā)散. 注 柯西收斂原理是這樣敘述的：級(jí)數(shù)收斂的充理西件為時(shí)任一給定的 一 1正數(shù),總存在正整數(shù)川,使得當(dāng) 、時(shí),對(duì)任意的正倍數(shù)八加 I.，- | I/，W此按柯西收斂原理,判別級(jí)數(shù)發(fā)散的充要條

4、(1就是對(duì)I述梟件的一定即r | 某個(gè)正數(shù)丹,不論N取什么正能數(shù),至少有個(gè)M A)”至少仃,.他 得 I -。I m . | -，| = | uM4l ”+ ”sin ( + I).、, sin ( + 2) 5in ( 卜第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)咫全解由此可知.對(duì)任意給定的正數(shù).取正整數(shù)A m 岫十,當(dāng) 投時(shí),對(duì)一切正整數(shù)p, 都有S-力 0).I a韶(1 )般法一七 = 1 -1 ( h = I .2 ,),由于級(jí)數(shù)二二發(fā) 2n - 1 2nUn a散,故各項(xiàng)乘;志的級(jí)數(shù)Ej也發(fā)放,由比較審斂法知原級(jí)數(shù)s二二? 發(fā)散.1解法二 因=1,而y 1發(fā)故.故由極限形式的比較

5、審斂法知原 I 21n級(jí)數(shù)發(fā)散(2) u = Lt： 二而f L發(fā)散.由比較審斂法知原級(jí)數(shù) 1 n2 n n2 n Sf”發(fā)散. (3)因瞥必_1 = | ,而y收斂.由極取心式的比較審斂法知I戊 Itn TOC o 1-5 h z J 級(jí)數(shù)收斂. . 7rksin -sin .(4)因lim= limn二=7T .而V,收斂.故由極限即式的比較市1 K占2”rr斂法知原級(jí)數(shù)收斂.(5)當(dāng)0 1時(shí)，一17 | J.；七 (n + 1- - 2 n + I 2數(shù)發(fā)散.(2)囚 lim = lim (n + )21 = lim； ( * J)? = ? I ,故級(jí)數(shù) 收斂.八“ r+ 1 )! 口

6、、! r ./2,“a”(j )囚 lim = Inn-T/一二 hni 2( I =I IInn : lim n tt n 2故級(jí)數(shù)收斂.Ea * 3 .川根俏市效法川足卜列級(jí)數(shù)的收斂件:士(七):X m7r(廿(4)( ，其中 T ( f 8 ) .4.6.a 均為正數(shù).小0解(1)因1而河=lim-5 = ； 1 ,故級(jí)數(shù)收斂. v 2n 12(2)因 lim 河=lim ； - - - - = 0 I .故級(jí)數(shù)收斂.v -ln( n 1 )2*72W lim 河 =(打 1 ,故級(jí)數(shù)收斂.lim */J7 = lim -=. an a當(dāng)時(shí).因！吧工； I ,故級(jí)數(shù)發(fā)敝;當(dāng)右=。時(shí).級(jí)數(shù)

7、的收斂性不能確定（例如,6 = 1，,=V I發(fā)散；乂如.6 =（打盤(pán)外斂）dl判定卜.列級(jí)數(shù)的收斂性：吟）1心（打解（I ） lim - R -1- = lim - 1 = ： 1 ,由比仙市效法知級(jí)數(shù)收斂 ”一 * n 44lim = lim（n 、2七in ；-3。 Vt = 0 （5） W limu。= |而（1= 1*0 .故級(jí)數(shù)發(fā)散.（6）因lim1/ 1 = lim1 , = L而級(jí)數(shù)V 發(fā)散.故由極限形式的 TOC o 1-5 h z no +， , b a比較南效法知原級(jí)數(shù)發(fā)散.&5.判定下列級(jí)數(shù)是否收斂.如果是收斂的.是絕對(duì)收斂還是條件收斂？八、.1 I I （ - I）”

8、（1）1+ +；萬(wàn)4 n（2）（一）合；.11 II II II,1 I（3）T-T-T-2 + 3 ,2 - 3 4十（T） L ：Z/1X I I I 1 z t IIn2 In3 In4 In5ln（ + 1）,（5） （一1）”“與.Jn!解（i）, = - -1?. 是發(fā)散的；又是交錯(cuò)級(jí)數(shù).干1|：滿(mǎn)足|%.J且limu, = 0 .故由萊布尼茨定理知原級(jí)數(shù)收斂且條件收斂.（2） = lim p + 1 = 1.由比值市斂法知級(jí)數(shù)三 % |收放.故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.（3）% = W ，因 E Ml = 七足公比“ =；（kl ,； 而曰心發(fā)笊的他山 比較審效法知級(jí)數(shù)V |/發(fā)放.乂、“

9、止文用次數(shù).滿(mǎn)足|小| Ik. II Ilim%=。.故由萊布城淡定理知崢茨定收斂II梟件收斂. #一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下野習(xí)箜全解 一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下野習(xí)箜全解第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) （_ ）-12M. 9n 22*（5） % =（一、|uj =由于 2c A（* = 1.n JI 2n2 故 JI .即原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)un當(dāng)n- 8時(shí)不趨于零，故該級(jí)數(shù) 發(fā)散.幕級(jí)數(shù)習(xí)題12 Mxi片】求下列哥級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：(1 )工 2/ + 3x + nx，x ；) X2. . 0 X*1 - x 7 (- 1 ) -7 ；22/T TOC o 1-5 h z 211子罰;中.解(|)|加早上? =

10、1而9 = 1 .故收斂半徑為1.收斂區(qū)間是(-1/). an |n/INI 起：吟! = !/4= ()? ./ lim 畢邛=1 .故收斂 lJ (n + I)2/ n2 Vn 4- 1/I I半徑為I,收斂區(qū)間為（-1 J）.lim % = lim = 0 ,故收斂半在為+8，收斂區(qū)間是（-8 , 8 ）. 14 |2（門(mén) I）lim 卜“J = lim - 3二.故收斂半徑為3 .收斂區(qū)間為（-3 ,3）.| 0。|3 + 13lim1工=lim 2匕?一 = 2，故收斂華祿為;，收斂區(qū)間為 |七|（ 1尸+12-T-T)-（6）這是陽(yáng)偶次晌項(xiàng)的級(jí)數(shù)，把（一）.葛視為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)“

11、由于明72n + I ：lim ：= lim x = .V .%2n + 3當(dāng)X I時(shí).坦般項(xiàng)，一01 - X).級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂半徑為1 .收斂區(qū)間為(7)這是缺(奇次嘉)項(xiàng)的級(jí)數(shù).解法一與(6)類(lèi)似.將它按數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)處理.用比值法確定收斂半徑F1UZ?； 區(qū)間.解法二 令1 =了.先討論V 出二的收斂區(qū)間. 一 力.a - i. I 2n 1 I故該級(jí)數(shù)的收斂半徑為2.因此.原級(jí)數(shù)的收斂半徑為J .收效區(qū)間為i -、.2 .(8)1而，: = lim二=I ,故收斂步徑為L(zhǎng)當(dāng)i - 1時(shí).級(jí)數(shù)發(fā)散.故級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(4.6).2.利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分求下列級(jí)數(shù)的和函故：.(4) V

12、 (n 2)/“ I斛(I)容易求出此級(jí)數(shù)的收斂半年為1.當(dāng)-1 ,)=，= I、 在上式兩端對(duì)“求導(dǎo)洱三n”1 = K( 1 - v V乂原級(jí)數(shù)在.* = I處發(fā)放.收它的和函數(shù), 、(- 1 (I - (2)不難求出此級(jí)求的收斂數(shù)的為1. “i - I t-1 III.第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解在上式兩端分別從。至.，枳分.芹由于士葛在X=處收斂于。,故得2* arcian x - x乂原級(jí)數(shù)住.* = 1處均發(fā)散,故它的和函數(shù), 】+1 z .、 才)=In + arctan x - r ( - 1 x 1).4 I - x 2 2n-l記級(jí)虬為二E 其收斂半徑

13、為L(zhǎng)當(dāng)T J I時(shí),在上式兩端分別從。至.枳分并注意到/三在、=。處收斂于。.故得乂辦級(jí)數(shù) I= I處均發(fā)散，故它的和國(guó)數(shù)（4）容易求得此級(jí)數(shù)的收斂半徑為I ,收斂域?yàn)椋?1,1）.當(dāng)（ -1.1）時(shí),（“+2/ 一（沙），其中=二一二七.乂）=與三.故原級(jí)數(shù)的和函數(shù)函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù).求雨數(shù)/（X）= ” 的泰勒級(jí)數(shù),并臉證它在除個(gè)數(shù)軸.收斂于這個(gè)函數(shù) 蝌在定點(diǎn)j處.閃/，（%） =（4 + m ）（”二。.1 .2）故/()的泰勒級(jí)數(shù)為(宜 7Zrr;, e ( - 8 . + c6(2n - I)!將上式兩端從。至“積分并逐項(xiàng)枳分.稅( 2 .3 (-1)“(2幻2”“sin x = I

14、(ftin x) -rr-|小力力 (2 - I) !（5）解法一因?yàn)?I * x)ln( 1 1) = ln( I + x) +1 = 1 + 名 將上式兩端從。至x枳分并逐項(xiàng)枳分得（1 乂）ln（ 1 *） = x ，=-2 7ST. % w ( - I J ) ,T (n - I )n乂在 1處J式6端的挈級(jí)數(shù)收斂,且函數(shù)(I *x)ln(l “)連續(xù)故(I x)ln( I ”)= x+ - x W (-I.1L( -I )解法二利川ln(l x) = V( 一e ( - I J I ,得 rrr n(I x) ln( I 4- x) = ln( I f x) 4- xn( I %)=i

15、 yH w #一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)逾全解 一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)逾全解112 + 3.-5 M - 1)(6)斛法一利用 / I + x = I +2-4-6-1,并因?yàn)?=J1 + / - ,以小替換上面一級(jí)數(shù)中的3得dx =，】 x2 - 1L，一二21 -324.1. I 3 , 5(2 3)2-4-6(2n)在（-1.1）內(nèi)將L式兩端對(duì)力求導(dǎo)得13 J -3,5 r卬”I 3 5(2 - 3) % . (2 -2)1 3 5 (2/i -3)2-4-6(2n- 2)一。篇出r作x 二文1處L式右流的級(jí)數(shù)均收斂“函數(shù)/I連續(xù),故vI 4 X2解法二將小杵換展開(kāi)式“ 2(2)

16、!(！)2/I中的得存7。嗡苗二；,八從而得. I)。1 3 5 1 4?2*4*6(2”)18a 3.將卜列函數(shù)屐開(kāi)成一 I的耶級(jí)秋,“求展心式成。的M間:當(dāng)， 時(shí).崗第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、高等數(shù)學(xué)）（第七版）下冊(cè)習(xí)雅全解(I () 二 I +1 * +2!n而G = ： 1 + (% - 1)：3住以上二項(xiàng)展開(kāi)式中取m=y JWHx-l替換發(fā)中的得3(-1廣1 35(2n-1)2G=1 +% -D V (-1) /0(2)揮 in(i +x)= y(- Tt將1式中的I換成X-1,得)4.將函數(shù)/( x ) = cu x展開(kāi)成x ； 解 cos x = cos ( x y ) - y 將*

17、 號(hào)替換以卜兩式2)!”(=， - 川/(M)S，2)2 共 2 1x-D .利用-1 尸T , x e ( - 1 J. n嚴(yán)1 (七 1 二 x g (0.2. n1的取級(jí)數(shù).卜為。8卜+舅+冬加卜+1).的1)2*1+ D!Av (rl)a 1叫 i2 工、(2/i l)!(x + 3)“+8(工 Fl. XI”).(2/i 1)!3 / J片工將函數(shù)/(“)展開(kāi)成-3的補(bǔ)級(jí)數(shù).。6.將函數(shù)/（%）=展開(kāi)成的舜級(jí)數(shù)x2 + 3% + 2習(xí)題12函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用匕1利川函數(shù)的林級(jí)數(shù)展開(kāi)式求卜列各教的近似他:（I） - 3（誤差不超過(guò)0.000 I）：（2）萬(wàn)（識(shí)并不超過(guò)0.001）

18、；（3）溝T（誤差不超過(guò)0.000 01）；（4）。謳2。（誤您不超過(guò)0.000 I ）.9 ： I ) In =. + +， + )，x e (一I/).I - x 35 2n - i /令了=3 .可得，=!.從而 TOC o 1-5 h z 1 - x21,7.2.( I II!1In 3 = In 1= 2 + r + T zr A L1 _ 1 I 23 - 25 5 25(2 - 1)2t1一2| (2n * 1)2204 + (2/ + 3)220，2 r +1)2力川+ (2n + 2以”(2 1)231 + + 3)2”“ + +5)2”(2/1 4 1)224,12:24/

19、2I _ I(2n + 1 )22nl , , _ - 3(2n + !)22-2,0. ()00 12 .故取n =6.則In 3 - 2( 4-+ 二t),考慮到禽人誤差，計(jì)算時(shí)應(yīng)取五 23-21 5 - 25 II 2n/位小數(shù),從而得In 3-1.098 6./xn(2 )1 = 1 + * +/ + +；令 .1 W ( - 8 , + 8 )2！2一、高等數(shù)學(xué)乂第七版）下冊(cè)習(xí)題全第一、高等數(shù)學(xué)乂第七版）下冊(cè)習(xí)題全第n 0. 0(X)5 10-5! 24故取 =4 .計(jì)算時(shí)取四位小數(shù)可得(3) ?52l =+ 1()= 2( 1 + ,因八V m I(川-1 )，(1 -)= 1 一

20、21m( rw - 1)小 - + 1 ) u-X* .(-I V 1 ). HYPERLINK l bookmark20 o Current Document ！.1/ -0、坨“b ”I 10/110 Z 9/ 10枚./522 = 21 f- = 2-福、，/ 一.1 .式右端從第2項(xiàng)起為交錯(cuò)級(jí)數(shù).故右8I，3 I W 4 =:收3項(xiàng).并在計(jì)算時(shí)取六位小數(shù),可得12 210291()2V 2. ()04 30.ros -9()I二式是交錯(cuò)級(jí)數(shù),上/W HI故取2項(xiàng)）|（ ”糕時(shí)取八位小數(shù).可用 *ris 2。* I - （副 v 0. 9*MH.第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下

21、冊(cè)習(xí)題全第.利用被枳函數(shù)的扉級(jí)數(shù)展開(kāi)式求卜列定積分的近似值：(1 )， j-dx (誤差不超過(guò) 0.0001)；(2)4對(duì)三也(誤差不超過(guò)Q.001).上式右端為一交錯(cuò)級(jí)數(shù),有勺 W A = *=0.000 009 10-故取3項(xiàng).并在計(jì)算時(shí)取八位小數(shù),可得(2 )因 arrlan x = x 4(一) r ( - 1 x .- + 92325254927由于I W j M 4 R 0 000 2 * + xy y =0；(I=/ 一解(I)設(shè)方性的制為y = 。 產(chǎn)+(為仔急常數(shù))， 代人方程,則行如卜堅(jiān)大(注意對(duì)齊同次一項(xiàng))不難求出E&產(chǎn)”與戶(hù) 的收斂域都是（-g./）.故 4m（2）設(shè)）

22、=，%.一是方程的斛.其中與,勺出任意常數(shù)則 0( +2)(/1 I代入方程/ + * + =0 .相可見(jiàn).當(dāng) =2仆-1）時(shí).與(-1).=k2k當(dāng) n = 2 - 1 時(shí),(-高眄1=(一 2F7T)( -T)a,|(- i)A=(21 1)!由于252。與嘰”一”的收斂域均為(8 + 8 ) 故y = i# = 。2/ 。27 口 |.0 =(2) (I 7)/ +y = I fL.o = 0. TOC o 1-5 h z 解 3)因M-0 =；，故設(shè)方程的特解為 =；，則 一“ 1代人方程.有+1 J。.-y %= o (/ 4).依次解得”, =”3 = . n4 = 1.48163

23、2坨，Q 9故 =?+ 丁 + A + x .L4o IO M(2)閃”=。:。,故次】=型方程的特幗.則/ =一代 u方程.仃第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)篇全解或?qū)懗缮?：(。 I)4“ * ( 1 - n)an = I 比較系數(shù)得。,= .az；0T = : J；*(”才2) .或?qū)懗?/I2)(4-3)1/1 ( - 1) 3(n N 3).1(n - 1)5.依證函數(shù) (“)二】WZ7 J! o -x x *8 )7兩足微分方程 r3n+ .，并利用此結(jié)果求林級(jí)匕(,小的和函數(shù).解(I)因?yàn)閁l，=，5!(3)！- 1(3n-l)!以上：式相加得 yr(x) + /(

24、x)=彳=(1)滿(mǎn)足微分方程)+ )= 0的特征方程為 八r + 1 =0.根為，一;斗,因此齊次方程的通解為設(shè)II齊次微分力ft?的特觥為 =&J,代人方程)j /J! 4= ； .是;.“ II齊次微分方程的通耕為)= ) = ，( C), ；x + Czi +山(I )知，*級(jí)數(shù)的和函數(shù)，(滿(mǎn)足：)(。)=1,(0)=0.由此定出卜式中的 TOC o 1-5 h z y(0) = 1 = +g,r(o)=。=+吳+:，耐得G = ； j;2 =0.于是由微分方程初值問(wèn)題解的唯一性,可得所求總級(jí)數(shù)的和函數(shù)為2/y( x) = ； e 7cos ； * + e” ( - x x + x ).

25、J4，臼6利用歐拉公式將函數(shù)B%OS X展開(kāi)成K的標(biāo)級(jí)數(shù).解由歐拉公式=COS x + isin x知 cos x = Re( e,a ) t 故e*cos x = Ke( eu ) = Kr( 1 - eIM) = K, J.因?yàn)?、 *( +i)。=:卜斗?。捍ǎ航?TOC o 1-5 h z v* / HIT .z、=、I cos + ibin 12 , xe (-x,+x), S；144 / M所以excos x = Rr( e( 1 0,), J三宣xn.、= cos 23 t x w ( - 8 . * oc ).*習(xí)題12-P-4n函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)2

26、 1已知函數(shù)序列、（*） = sin （n = 1 ,2.3,）在（-x .+8 ） |收斂J 0. n（I）問(wèn)、（.”）取多大，能使當(dāng)n、時(shí).“（）與其極限之河的絕財(cái)侑小J il 數(shù)?（2）訐明行）在任一有限M間“/，I二一致收斂.解（D由rl（x）- o| = sin - w 1 ,因此對(duì)r正數(shù)取、id， n n、1 .則當(dāng)N時(shí),就仃 | （、）- 0 | W e. nif （ 2 ）汜 M = max L u | . |，| I ,則 Vie Y時(shí),級(jí)數(shù)的余項(xiàng)勺的絕對(duì)值小于正數(shù)；(3)分別討論級(jí)數(shù)在區(qū)間0.1 ,山上的致收斂性.蛹(1)設(shè)該級(jí)數(shù)的和函數(shù)為$(”),當(dāng).yOnhs(O) =

27、0；當(dāng)X/0時(shí),該級(jí)數(shù)是公比為一二的等比級(jí)數(shù),目K I .(1/)“ I f x2 ( I + /)2 J當(dāng)x=o時(shí)/ =0, Vi? 0 ,取/V = 1 ,則當(dāng)n %時(shí)，就有I。(、)i 0(不妨設(shè) n IIn -Ml.)則當(dāng)n /V時(shí),第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)題全第（3）該級(jí)數(shù)的各項(xiàng).（x）=匚一（ =0/，2,）在區(qū)間0J上是連續(xù)（ + “）*的.如果%,（、）住o,i I： 致收斂則由定理1知和函數(shù)$（在0/Lil -0續(xù).今H1）在0,1有間斷點(diǎn)x=o.的此推知該級(jí)數(shù)在0上不致收斂.在區(qū)間；l上,因?yàn)樗?，Vs 0 ,取N = 1咚： +1 ,當(dāng) V時(shí)，對(duì)切K

28、 E 1 力 I /）（；）.即級(jí)數(shù)在y,l上一致收斂.23.按定義討論下列級(jí)數(shù)在所給區(qū)間上的一致收斂性:（2） 2（ I - *）.0 x 1. 0 ,取 N =十時(shí),對(duì)切.1 W ( - 8 . + 8 ) ,行即該級(jí)數(shù)在(-8 , + 8 )上一致收斂. (2)、(i -1)針=y(X7)北部分和函數(shù) 。-0s.(x)= ( I - X)+(*-./)，+ (* 一/)=I .布和函數(shù)、(.) = liin sn( ) = lim( I -二 l. I e (0.1 ). n.I rn(x) | = Isjx) - A )I = I1, i 七(0 J ).i取列L =()(=1.2eJ

29、 UN入：:.卜論 &么大.總行J 6 （0）.使得因此.該級(jí)數(shù)企開(kāi)區(qū)間（0.1）內(nèi)不一致收斂.4.利用魏爾妍特拉研判別法證明F列級(jí)數(shù)在所給區(qū)間上的一致收斂性:Vco nx.- x f x ； *(3)、3二0 S X v X ； S(7)丁-二二一. K rr x(I ) Vxe(-x.+8),因?yàn)?I Cie W 1 ,所以,? nx I2n 2。而級(jí)數(shù)V 1收斂.從而原級(jí)數(shù)在(-a . + x )上一致收斂. H T(2 ) V X w ( - 8 . 8 ) .因?yàn)?1 sin nx W 】所以而級(jí)數(shù)=:收斂.從而螳級(jí)數(shù)作（-x ,，8 ）上一致收斂. 父丁弋3二V 丁，山當(dāng)工w【0,

30、 8 ）時(shí). 7向級(jí)數(shù)y彳收斂.故摩級(jí)數(shù)&（）. x）卜一一致收斂Vx（ -10.10）. r , 8 ,1 ,而級(jí)數(shù)!9收斂（收斂 JV 7 I ft! n!r-T w!故原級(jí)數(shù)在（IOO）I.僅收斂Vx w !。. + oo ）.| ro -* I ,故-ft*而級(jí)數(shù)幺外數(shù),從而原級(jí)敕詼。,上一致收斂.傅里葉級(jí)數(shù)為1.下列周期函數(shù)/(1)的周期為2”，試將/(.r)展開(kāi)成博里葉級(jí)數(shù).如果/(i) a 上的表達(dá)式為：(1 ) /( x) = 3” +1(-rWi 7T );(2)/(x) =。2(-/ w x n)；小 f x , 一&*()(3)/() = lax, 0 W x 0).解(

31、In = W (3x2 + I )d.t = 2(儲(chǔ) 1 ), K Jra. = J (3x2 1 ) cos nxdx I 2 廣，. 1= I( Ax + I ) sin nxI ixsin /nd v Iit n,n n J-vIill于(3 J + 1 ) sin nx是價(jià)函數(shù).故因?yàn)?()滿(mǎn)足收斂定理的條件且在(b , 8 )內(nèi)連續(xù).故/(x) = f + I + 12、 cos n.v. e ( - x . f x k)M()F產(chǎn)2tt2( - 1尸(-產(chǎn))=1.2.)用分部枳分法得=1.2,).b = f r:,sin nxdx =-=“ TT J-w2J(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件

32、.而在x = (2A 1)17 Z)處不連續(xù)，故(3)e2w - /(x)=-(2cos nx - nsin nx ) j ,TTbxdx + ( atdx) = 5( - &),on = -J 6xcos nxdx . ( 在上式行端第一個(gè)積分中令x =-，axcos nxdxj ,nxdx =故cos TT -同理.J ( - b /cos( ( - Axcos nx)dx.(a - A)xros nxdx = 1 xsin nxnir sin nxdx1 - (- DM (n = 1.2.) n it6xsin nxdx I xsin nxdx(n + b )xsin nx ( - n.

33、 it ).,rX;2Mli NX . X e ( - 7T.1T ).9n2 - I（2）設(shè)W”） S/（X）經(jīng)周期延拓而得的函數(shù),它在（-n.“）內(nèi)連續(xù)，、=TT。 MX）的間斷點(diǎn).乂 C （滿(mǎn)足收斂定理的條件.故在（-F）內(nèi)它的博甲葉級(jí)收收 斂上/（1）.d3.將函數(shù)/(“)= COSy( - P W X W IT)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù).解 /(x) = cos；是偶函數(shù),故 bn = 0(n = 1.2.-)cosnxilxTIE。-抒(n+7)xdxsin ( jir sin2 ( - COS /ITT COS nit , _ | J I 2 / _ I1it 1 2n - 1 + 2

34、+ it 2n - I 2n 4 I77( 4/I2 - I )01，2,).因/()滿(mǎn)足收斂定理的條件.口在-7TE：上連續(xù)，故/(x) = j W-lCOS nx, X G ; - TT,F 4zT - I上&設(shè)/(*)是周期為2宣的周期函數(shù)，它在：-宣E)上的表達(dá)式為：- -nr C x )=IT1T一彳,將/()展開(kāi)成博里葉級(jí)數(shù).n nxdxj解 /( X )是會(huì)函數(shù),故c =0( = 0,1 .2./ = /(x)sin zixdx = j xsn axx =4 二空S7T I n -J com nxdx j + 卜 in nxdxHIT 、“TT TOC o 1-5 h z -，,

35、、 Zsm - cos e - cos /itt222+; 二2 . ( - I ) (1=sin - -f( = I .)N TT 2nWf(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件.而條* =(2k l)ir(* 6 Z)處間斷.故 #、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)箱全簿 、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)箱全簿為5將函數(shù)/(“)=W”)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù).解作/(1).X 6 (O.TF .)是/(X)的奇延拓.令例4)是的周期延拓,則SC)滿(mǎn)足收斂定理的條件. 而在X = 2kk e Z)處間斷,又在(Of .0(.r)三/( x) ,因此必”)的傅里葉級(jí) 數(shù)在(Oe上收斂于/(4).s 0(n = 0/，2.)，L

36、2 fW IT - X .2 X - 7TI”on = -I -sin nxax = I - cos xrsiti nx”力 27TI 2n2n2 lo=(n = 1 .2,)，故 I/(x) = sin nx. x g (O,tt rrT n26.將函數(shù)/()=2.J(OW、Wp)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解(I)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù).令(2x* . x e O.f ,-2x:. x e ( - ir.O)是/的奇延拓.乂中(.“是3(x)的周期延拓函我,則中(目滿(mǎn)足收斂定理的恭件. 而在N = (2k 4 1)”(A e Z)處間斷，又在【0,” 11 0(1).故它的傅甲.葉級(jí) ftft(

37、O.ir)上收斂于/(*). #一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解 一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)題全解或十二章無(wú)窮級(jí)數(shù) (2)展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).令夕(x) = 2xx w ( -是/()的偶延拓，又如工)是R”)的周期延拓南數(shù),則如.v)滿(mǎn)足收斂定理的條件且處處連續(xù).乂在0.口上“() =/(*),故它的 傅里葉級(jí)數(shù)在：0.付上收斂于/(*).勾=0 ( = 1.2.)=1.2,).%=Tlx2cos nxtx = ( - l 尸與nNn2/(x)&L設(shè)7期函數(shù)/U)的周期為2”.證明:(1)若/(，-不)=-/(x),則/(x)的傅里葉系數(shù)為=0, 2c S a =0(4=1 .2,)；(2)

38、若/(、-b)=/(x) .則/(”)的俾里葉系數(shù)。2.| = 0. 2&川=。/ 2.).=-y(x)dx 1 -/(x - -n):同.( I式第二個(gè)積分中令I(lǐng) - IT = ,則/(x)dx同理可湖f( X)CO5 J /( x ),os /ixdx cosnxiLi?nxdi j - /( x - TT ) | S nx、( fi it + nu ) d” J1 = 2k(kJHinxix - / /( m )nin( hit /Hi )lfjW N ) lb) 9(*b ( “a nu ) = i-os tut ,sin ( nit + nu ) = sin nu t=， ( f(

39、X ) IS 2kxix - J J( W ) VOH 2Aiilu 及b2k = 0 N* ).(2)與的做法類(lèi)似，4/( x ) *us nxcl.M +u ) ros ( hit + nu ) ilu j/( x) sin n.v(ix + J Ju) sin ( /itt nu ) du | = 2* 1 ( * w N )時(shí),cos ( rnr 4 nu ) = - cos nu t sin ( mtt ) = - sin nu .故彳=，= ( & W N)習(xí)題12-87一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)&1.將下列各周期函數(shù)展開(kāi)成傅里.葉級(jí)數(shù)(F面給出函數(shù)在個(gè)周期內(nèi)的友達(dá)式):(l)/(x

40、) = I - X2( - .T y)；“，-1 W x 0.(2)/(x) = x ；., I,-1 ,3 W N I ： /(X)= ： +1 , - 3 0.0 W 工 3.解(I)函數(shù)/(.)是半周期/ =；的偶函數(shù),枚o = j ( I - c)hT.sin ( 2witi) Sr/ir1二4 sin ( 2/iit.v )- 二”,ros( 2/ittaI 2/iw4 ir第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) 第十二童無(wú)窮級(jí)數(shù) #因/(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件且處處連續(xù).故有/( x)=號(hào)=?ros( 2mrx),mw(-8,+8).I in*(2)闕數(shù)數(shù)的半周期/ = I. = j /(x) di =

41、 J jdx + J)lx + J ( - 1 ) dx =-；zn = J /( x ) cos( mix )(lx= j xcos( nirx ) dx + (cos( nwx)d.v - (i cos( nirx)dxsin( mrx) * -cos( wttx )I IT，r pJsin( nirx)sin( nir.x=；* / I -(-1)* + 2 sin ( = 1 ,2,). n2ir2宣 2Ar = / f( x ) *in( fiirx )dx= J xsin( mtx )(lx ( sin( nirx ) dx - Jsin( /iirxjdx2nir1z c 2-

42、cos 三( n =,2 ).nir2np因/(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件.其間斷點(diǎn)為X = 24.2k y,* e Z.故有小)=-卜sin HITHTTl z 、1 / c ，E / cos(7i-7TX)I I - 2cos |sm(n7TX 2 Jntr2 /x R(2h24 + ； k w z|.(3)函數(shù)/小)的半周期/ = 3.=；/ / *)dx = ： J J2x + I )dx + ( d4 = - . t . nirx .(2x I ) ros -打 Jf3 nirx+ J. cs -F小一(“】(bn = /(x)sin Wx - ，J2x + 1 )sin ylx + j

43、 sin 同HTTW/(x)滿(mǎn)足收斂定理的條件.其叫斷點(diǎn)為x = 3(2A + I) / Z故/ #一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)蹌全解 一、高等數(shù)學(xué)(第七版)下冊(cè)習(xí)蹌全解.、 I .三16. nirr z 、”“6 . 獷t/(“)= - k 、 -5y *1 - (- I )cos -z- +(-I )-sm 2 tri InF3mi 5 Jx R 3(2A- i I) I A 6 Z .a2.將卜則函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)：x. 0 W * )=1.2,).= 0. ( n = I ,2 ,).故、416k(-1)c,、/(%)=三+。；-co、k， x e 0,2 .&*3.設(shè)/

44、(%)是周期為2的周期函數(shù).它在-l.l) I的表達(dá)式為=.試將 /(”)展開(kāi)成熨數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù).解/()滿(mǎn)足收斂定理的條件.且除廣點(diǎn)1=21 1( A e Z)外處處連續(xù).j =,=力，心-(I *fni i 1 IJ -I=_ 上2 1(”)“l(fā) - p i r cos n it - e 1 ros n tt1 (nir):2/(X)= y (-心,X 6 Ri24 I ”仁 Z .Q*4.設(shè)(f)是周期為7的周期函數(shù),已知它的傅里葉級(jí)數(shù)的熨數(shù)形式為(修間7節(jié) 例題)試寫(xiě)出(/)的傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)數(shù)形式(即三例形式),解由題設(shè)知 = sin T ( n = I . 2 . ).nir 7

45、(“二可見(jiàn)= Re(2 ) . b. = lm(2 cn).而Q為實(shí)數(shù).故% = &in 寫(xiě)( = 0 (。= 1 ,2,), ZI1T /故,八 hi2h 31. “itT2nrrfz、) = - 一 一sin - cos ( - oc / + x ),rtt rr;n 7/總習(xí)題十N-Lm空:(I )對(duì)級(jí)數(shù)=lim = 0是它收斂的條件.不是它收斂的角 1條件；(2)部分和數(shù)列/界是正項(xiàng)級(jí)數(shù) a收斂的 條件；* zl(3)若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)；%必定;若級(jí)數(shù)條件收 IC I4I斂,則級(jí)數(shù)士 I必定. it解(1)必要，充分；(2)充要；(3)收斂,發(fā)帆 2.卜題中給出了四個(gè)結(jié)果,從中選出

46、一個(gè)正確的結(jié)果 TOC o 1-5 h z 設(shè)/(,)是以2行為周期的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為I x | ,則/(x) 的傅里葉級(jí)數(shù)為().(. cns x + cos 3% + os 5x + rcos( 2 - I )x + 2 k! 3252(2l)zJ(B) 身 i“ 2x + ；*ir】4x + r、in 6* + + sin 2nx + -1 irl 22426-(2n).14 ( I - I -I(,is x -os 3r + 、(“、5x + +)*( Zn - I ) .rttL 3252(2n-l)2) * cos 2.x 4r 4x U os 6x ; /( x ) d

47、x = ； Jj 工小=k / 0.所以扣除,從而選(A).R3.判定下列級(jí)數(shù)的收斂性:nr os(3)S 解 因lim： = limj = 1,而級(jí)數(shù)寧1發(fā)微.故由極限形式的n A a -S父n(n - 1)!= ,-比較市斂法知原級(jí)數(shù)發(fā)散.I-+ 8TX ) ,由F 般項(xiàng)不趨上零.故級(jí)教發(fā)散.2 H7T n c oh -3 一 W 2八.而級(jí)數(shù) -T! 2二是收斂的(巾實(shí)上中？產(chǎn)=.。 I lini 一卜3 L據(jù)比值審斂法知撲斂),故由比較審斂法知原級(jí)數(shù)收斂4 =乩.因子 =忘= 8 而級(jí)數(shù)發(fā)放故由極限形式的比較市斂法如原級(jí)數(shù)發(fā)散.I 10 TOC o 1-5 h z 注求報(bào)限lim ;4

48、r時(shí)，可芍慮極限lim -In n nu. r ln,ox 洛必達(dá)法則IOIn9x.10!。,故|內(nèi) 11m lim = =lim - X X xlim = 0.n從而lim 二 8 .% = . lim 1 = liinaf ) = a.n* ,一 由比侑市斂法知,當(dāng)u I時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)放.當(dāng)“ 二I時(shí).原級(jí)數(shù)成為: 由級(jí)數(shù)的結(jié)論4.巧、 I時(shí)級(jí)數(shù)收效 .?7i nS w I時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)放.匕4.設(shè)正頂級(jí)數(shù),八和七部收斂.計(jì)叫級(jí)數(shù)(%, 一 J 也收.證根據(jù)眄設(shè)條件知級(jí)數(shù)一收斂，故有PW。)=。.由極限定義知.“在正整數(shù).當(dāng) V時(shí)，有% 0.即行r. 0.于是,按正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較;審效法知%收斂,即Y

49、rn收斂.當(dāng)不是止項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)，可能不收斂.例如：若匕 = J n(-1)3 則收斂,且1加=limn rrf%氣二,=1,然而“發(fā)散.IT sin Z6.討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:一唱；(4)y邑4I當(dāng)P I時(shí)，X I 收斂；當(dāng)0 I時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂：當(dāng)0 p C I時(shí).級(jí)數(shù)條件收斂；* W。時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)(2) % I )1TsinI n ,而級(jí)數(shù)y) 收斂.由比較市效法知三|八|收斂.即原級(jí)數(shù)絕勸收斂.(3) u. =( -Dlri - t而級(jí)數(shù)士 ,發(fā)散.由極限形式的比較審斂法發(fā)I、|%|發(fā)散. rrt rrf而=”是交錯(cuò)級(jí)數(shù)ii滿(mǎn)足茉布尼茨定理的條件.因而收斂.故該級(jí)數(shù)條件收斂.

50、0 I由比值市斂法知t 1%1收斂.即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. I27.求卜.列極限：(1 ) lirn y 二八 4. f ；(2) 4、丁(2n)-. - E 3 1 k J解(I)由于、=卸；)是級(jí)數(shù)= *(1.；:的部分和.而加E頊級(jí)數(shù)的極值審斂法，當(dāng) T 8時(shí).因此級(jí)數(shù)二收斂.足部分和、有界.從而lirn = 0. nI I1214I ?（2） 2V 4， 8（2m）r = 2T 2 2r2r = 2T不為此,先求極限g少記/I將以I四式柑收.得于是lim2+ 4/ 8”(2n)= 2 = X y注 通過(guò)求黑級(jí)數(shù)V 三的和函數(shù)s.然后求出s也可求得lims-j一 8,求卜列制級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：

51、(3)= (一 I)。；(4) 福？nrt： 2故收斂W片為丈;；,收斂區(qū)間為(2) u. = ajJ。 = U + .因故收斂步行為 = : 收斂乂同為(3)令x + I =，.即x =，-1,先討論級(jí)數(shù)=，/的收斂區(qū)間. Ti囚(irvi= lirn = 1 ,故收效*帶A = I , 而”的收斂1間為 , ”的 tri(-1 .1),從而胡級(jí)數(shù)的收斂K間為( 2.0 ).(4)令1 =匕原級(jí)故成為”.由笫(3)爆知該級(jí)數(shù)的收斂M.何為(1/) 24 a I #一 ,高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)題全密 一 ,高等數(shù)學(xué)（第七版）下冊(cè)習(xí)題全密W A = 故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（匕9.求下列解級(jí)數(shù)的和

52、函數(shù)：（I） Y（2）V/二口！12061 2/1-1（3） y n（x - 1）。（4） V 7,汽.解 （I）“（X）=r 八.1（ *）. 2n t 1| x ?| x | 2!吧 M I = 市TT. F、一.當(dāng)1妻 I時(shí).原級(jí)數(shù)收斂：當(dāng)；.21時(shí),因級(jí)數(shù)的一股項(xiàng)（x） -O 一22R8 ） .故級(jí)數(shù)發(fā)散,因此原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? * 6 ( - yl.vl).2 - X-/(2 / A(2) t/.(x) =12n - Ilim 1 RII乙I當(dāng)1*1 V I時(shí)級(jí)效收斂；“i i I I時(shí).因級(jí)數(shù)舲項(xiàng).、）八0（故級(jí)數(shù)發(fā)散；為X = 1時(shí).級(jí)數(shù)V 1 ； 11 / V （- 1 ：止收魏的交錯(cuò)吸數(shù).因此r 2n - I2n - I原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?I J .設(shè)和函妝為、（、）.則II 5(0)=?。?LI）內(nèi)，I式兩/對(duì) 求導(dǎo)（第十_套無(wú)窮級(jí)數(shù) 第十_套無(wú)窮級(jí)數(shù) a-/(X)= V ( - 1 )Rx2a 1二。于是$(x) = s(x) - 3(0) = (s(x)dx =(又由于群級(jí)數(shù)在* = 1處收斂.且arclani在x = s( x ) = arclan x, x e -(3)令X-1 = r,