第三章離散時間信號的傅里葉變換(共40頁)

1、第三章 離散時間(shjin)信號的傅里葉變換課程(kchng)：數(shù)字(shz)信號處理目 錄 TOC o 1-6 h z u HYPERLINK l _Toc372575563 第三章 離散(lsn)時間信號的傅里葉變換 PAGEREF _Toc372575563 h 2 HYPERLINK l _Toc372575564 教學(xué)(jio xu)目標 PAGEREF _Toc372575564 h 2 HYPERLINK l _Toc372575565 3.1引言(ynyn) PAGEREF _Toc372575565 h 2 HYPERLINK l _Toc372575566 3.2傅里葉級

2、數(shù)CFS PAGEREF _Toc372575566 h 3 HYPERLINK l _Toc372575567 3.2.1傅里葉級數(shù)CFS定義 PAGEREF _Toc372575567 h 3 HYPERLINK l _Toc372575568 3.2.2傅里葉級數(shù)CFS性質(zhì) PAGEREF _Toc372575568 h 5 HYPERLINK l _Toc372575569 3.3傅里葉變換CFT PAGEREF _Toc372575569 h 6 HYPERLINK l _Toc372575570 3.3.1傅里葉變換CFT定義 PAGEREF _Toc372575570 h 6 H

3、YPERLINK l _Toc372575571 3.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì) PAGEREF _Toc372575571 h 7 HYPERLINK l _Toc372575572 3.4離散時間信號傅里葉變換DTFT PAGEREF _Toc372575572 h 8 HYPERLINK l _Toc372575573 3.4.1離散時間信號傅里葉變換DTFT定義 PAGEREF _Toc372575573 h 8 HYPERLINK l _Toc372575574 3.4.2離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì) PAGEREF _Toc372575574 h 8 HYPERLINK l _T

4、oc372575575 3.5周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS) PAGEREF _Toc372575575 h 12 HYPERLINK l _Toc372575576 3.5.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)的定義 PAGEREF _Toc372575576 h 13 HYPERLINK l _Toc372575577 3.5.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì) PAGEREF _Toc372575577 h 17 HYPERLINK l _Toc372575578 3.6離散傅里葉變換(DFT) PAGEREF _Toc372575578 h 19 HYPERLINK l _Toc372575

5、579 3.6.1離散傅里葉變換(DFT) PAGEREF _Toc372575579 h 19 HYPERLINK l _Toc372575580 3.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì) PAGEREF _Toc372575580 h 21 HYPERLINK l _Toc372575581 3.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系 PAGEREF _Toc372575581 h 23 HYPERLINK l _Toc372575582 3.8用DFT計算模擬信號的傅里葉分析 PAGEREF _Toc372575582 h 25 HYPERLINK l _Toc372575583

6、3.9實驗 PAGEREF _Toc372575583 h 28 HYPERLINK l _Toc372575584 本章小結(jié) PAGEREF _Toc372575584 h 30 HYPERLINK l _Toc372575585 習(xí)題 PAGEREF _Toc372575585 h 31 HYPERLINK l _Toc372575586 參考文獻： PAGEREF _Toc372575586 h 34第三章 離散時間(shjin)信號的傅里葉變換教學(xué)(jio xu)目標本章講解由時域到頻域的傅里葉變換，頻域觀察信號有助于進一步揭示系統(tǒng)的本質(zhì)，對于某些系統(tǒng)可以極大的簡化(jinhu)其設(shè)計

7、和分析過程。通過本章的學(xué)習(xí)，要理解連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的和離散時間信號基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用；了解一些典型信號的傅里葉變換；理解連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)(CFS)、連續(xù)時間信號的傅里葉變換(CFT)、離散時間傅里葉變換(DTFT)、離散時間傅里葉級數(shù)(DTFS)和離散傅里葉變換(DFT)它們相互間的區(qū)別與聯(lián)系；掌握傅里葉變換的參數(shù)選擇，以及這些參數(shù)對傅里葉變換性能的影響；了解信號處理中其它算法（卷積、相關(guān)等）可以通過離散傅里葉變換(DFT)來實現(xiàn)。引言一束白光透過三棱鏡，可以分解為不同顏色的光，這些光再通過三棱鏡，就會得到白光。傅里葉指出，一個“任意”周期函數(shù)都可以分解為無窮多個

8、不同頻率正弦信號的和，這即是傅里葉級數(shù)。求解傅里葉系數(shù)的過程就是傅里葉變換。傅里葉級數(shù)和傅里葉變換又統(tǒng)稱為傅里葉分析。傅里葉分析方法相當于三棱鏡，信號即是那束白光。傅里葉的兩個最主要的貢獻：1、周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和；2、非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示。傅里葉變換源自對HYPERLINK /wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0 o 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的研究。在對傅里葉級數(shù)的研究中，復(fù)雜的 HYPERLINK /wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0 o 周

9、期函數(shù) 周期函數(shù)可以用一系列簡單的 HYPERLINK /wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6 o 正弦 正弦、 HYPERLINK /wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6 o 余弦 余弦波之和表示。傅里葉變換是對傅里葉級數(shù)的擴展，由它表示的函數(shù)的周期趨近于無窮。 根據(jù)信號的周期性、連續(xù)性，可以劃分為四種重要的傅里葉變換。周期信號（不管離散與否）都可以用傅里葉級數(shù)（Fourier Series）表示：如果輸入信號為周期連續(xù)時間信號，則有連續(xù)時間傅里葉級數(shù)（continuous-time Fourier series, CTFS），如果輸入信號為周期離散時間信號，則有離散時間

10、傅里葉級數(shù)（discrete-time Fourier series，DTFS）。非周期信號（不管離散與否）都可以用傅里葉變換（Fourier transform）表示：連續(xù)非周期的輸入信號則有連續(xù)時間傅里葉變換（continuous-time Fourier transform, CTFT），離散非周期輸入信號則有離散時間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform，DTFT）。基礎(chǔ)知識一、周期函數(shù)(zhu q hn sh)先從周期函數(shù)開始(kish)討論。設(shè)一個函數(shù)ft是周期(zhuq)性的，周期為T，如果有一個T0，ft=ft+nT, n=0,1,2,( A

11、UTONUM )使等式成立，則稱T=20，T為的最小正周期。二、三角函數(shù)時間周期的經(jīng)典例子是諧振蕩器，先從該系統(tǒng)的狀態(tài)是由一個單一的正弦波的形式說起：xat=Asin(2ft+)( AUTONUM )在這個表達式中，參數(shù)A是振幅，頻率是f，相位是。如果將上式采樣，即：xn=xanTs=Asin2fTsn+=AsinTsn+( AUTONUM )f為模擬頻率，單位Hz，Ts為采樣周期，單位秒s，=2f，為模擬角頻率。關(guān)系表達式如下：=2fTs=2f/fs=Ts=/fs( AUTONUM )三、復(fù)指數(shù)函數(shù)歐拉公式，因為：ej=cosx+jsinx ( AUTONUM )所以正弦信號的復(fù)數(shù)形式數(shù)學(xué)定

12、義如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)( AUTONUM )傅里葉級數(shù)CFS3.2.1傅里葉級數(shù)CFS定義傅里葉的思想是，所有的周期函數(shù)都可以表示為正弦信號的加權(quán)和8，即：xt=a0+k=0ancosk0t+bnsin(k0t)( AUTONUM )a0是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用復(fù)指數(shù)的形式可表示為：xt=k=-Xkejk0t( AUTONUM )兩邊同時乘以e-jn0t，并從0到T積分，得到80Txte-jn0tdt=0Tk=-Xkej(k-n)0tdt=k=-Xk0Tej(k-n)0tdt ( AUTONUM )再看：0Te-j(n-k)0tdt=0T

13、cosn-k0t-jsinn-k0tdt( AUTONUM )這是一個(y )周期為|Tn-k|的函數(shù)(hnsh)9，當n=k時，結(jié)果(ji gu)為1,，因此式（10）可以寫成：0Txte-jn0tdt=XkTX(k)=1T0Txte-jk0tdt當nk時等式（10）的結(jié)果為0。因此傅里葉系數(shù)Fourier coefficients可以寫成：X(k)=1T0Txte-jk0tdt( AUTONUM )故，其傅里葉變換對可以寫為10Xk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdt ( AUTONUM )xt=k=-+Xkej2kft( AUTONUM )正交基和向量理解為了便于對傅里葉

14、變換的理解，就要借用向量。首先復(fù)習(xí)幾個概念。內(nèi)積：對于兩個向量，他們的內(nèi)積就是各個分量相乘再求和。正交是內(nèi)積為0的情況，在二維空間上可以理解為垂直。例如，在三角函數(shù)系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意兩個不同元素的內(nèi)積都為零，因此這個集合成為正交集合?？臻g：如果該空間的任意元素進行加法和乘法計算后的結(jié)果仍然屬于該空間，那就組成一個向量空間。如果空間內(nèi)有一個子集合，子集合的元素兩兩正交，那該子集合就是向量空間的基。上面用于展開傅里葉級數(shù)的e-jk0可以看成是一組正交的基。所以對于傅里葉展開來說，任何正交的空間，都可以作為展開的基函數(shù)，三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)只是其中一類

15、基函數(shù)。簡單地說傅里葉變換就是把信號投影到基上。對于任意的實信號，我們都可以看做是一些不同頻率的正弦波和余弦波的疊加。這時候，我們求這個信號和傅里葉基內(nèi)積4：=0Txte-jk0tdt( AUTONUM )就得到了傅里葉變換的定義。頻域的圖像表達以矩形波的傅里葉變換來描述信號在頻域上的圖像表示方法：縱坐標 Xk為復(fù)諧波函數(shù)ej2kFt幅度，橫坐標k為諧波序號10。復(fù)諧波函數(shù)之和即形成原函數(shù)。 【例3.2.1】圖3.2.1是一周期矩形(jxng)信號，周期為T；顯然(xinrn)，它滿足狄利克雷條件(tiojin)。由(3.2.3)式可知，其傅里葉系數(shù)是一離散sinc函數(shù)，其中=0.2T，T=1

16、，A=5，0=2PI/T。圖3.2.1 周期方波信號及其傅里葉系數(shù)Figure 3.2.1 Periodic square wave signal and its Fourier coefficients3.2.2傅里葉級數(shù)CFS性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FSXk+Yk( AUTONUM )2. 時移：xt-t0FSe-j2kf0t0Xk( AUTONUM )3. 時間反轉(zhuǎn): x-tFSX-k( AUTONUM )4. 時間尺度變換：zt=x(at)( AUTONUM )a. TF=T0a( AUTONUM )Zk=Xk( AUTONUM )zt=xat=k=-Zkej2akf0t( AU

17、TONUM )b. TF=T0( AUTONUM )Zk=Xka ka是整數(shù) 0 其他( AUTONUM )zt=xat=k=-Zkej2kf0t時域微分(wi fn)：ddtxtFSj2kf0Xk0( AUTONUM )時域積分(jfn)：-tx()dFSj2kf0Xk( AUTONUM )乘積(chngj)-卷積對偶性: xtytFSXk*Yk ( AUTONUM ) x(t)周期卷積ytFST0XkYk( AUTONUM )共軛：x*tFSX*-k( AUTONUM )帕塞瓦爾定理: 1T0T0 x(t)2dt=k=-X(k)2( AUTONUM )傅里葉變換CFT3.3.1傅里葉變換C

18、FT定義上節(jié)討論了周期信號的傅里葉級數(shù)，接下來我們要從傅立葉級數(shù)過渡到傅立葉變換。我們可以將非周期信號看成周期為無窮大的周期信號。首先建立一個簡單的、特殊的并且很重要的信號矩形波，并且讓這個信號為周期信號，周期為T：TT2T1xt=1, &|t|T10, &T1|t|T2我們可以算出此信號的傅里葉系數(shù)X(k)=1T-T2T2e-jk0t 1 dt=1nsin(2kTT)在T時，建立(jinl)函數(shù)9xt=xt, &|t|T2X(k)=1T-T2T2e-jk0t xt dtX(k)=1T-e-jk0t xtdtTX(k)=-e-jk0t xtdt根據(jù)上面傅里葉變換(binhun)對的公式可以得到

19、xt=k=-+1T-e-jk0t xtdtejk0t因為(yn wi)T=20，上式可以寫成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0t0當T,00，則limTx(t)=xt=12-e-jk0t XdX=-e-jk0t xtdt其傅里葉變換對為：Xf=-+x(t)e-j2ftdt ( AUTONUM )xt=12-+X(f)ej2ftdw ( AUTONUM )特別強調(diào)的是信號還需滿足如下的狄利克雷(Dirichlet)條件：信號絕對可積。在同一個周期內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；3.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)線性：xt+y(t)FX(f)+Y(f) xt+y(t)

20、FX(j)+Y(j)時移：xt-t0Fe-j2ft0X(f) xt-t0Fe-jt0X(j)頻移：x(t)ej2f0tFX(f-f0) x(t)ej0tFX(j(-0)時間尺度變換(binhun)： x(at)F1aX(fa) x(at)F1aX(ja)頻率(pnl)尺度變換： 1ax(ta)FX(af) 1ax(ta)FX(ja)共軛變換(binhun)：x*tFX*(-f) x*tFX*(-j)乘積 - 卷積對偶性： x(t)*y(t)FX(f)Y(f) x(t)*y(t)FX(j)Y(j) x(t)y(t)FX(f)*Y(f) x(t)y(t)FX(j)*Y(j)微分性質(zhì)：ddtxtFj

21、2fX(f) ddtxtFjX(j)調(diào)制： xtcos2f0tF12Xf-f0+Xf+f0 xtcos0tF12X(j-0)+X(j+0) 周期信號變換：xt=k=-Xke-j2kfFtFXf=k=-Xk(f-kf0) xt=k=-Xke-jkFtFXf=2k=-Xk(-k0)帕塞瓦爾定理：-x(t)2dt=-X(f)2df -x(t)2dt=12-X(j)2df12. 沖擊函數(shù)的定義：-e-2xydy=(x) 13. 對偶性： X(t)Fx(-f) X(-t)Fx(f) X(jt)F2x(-) X(-jt)F2x()14. 利用傅里葉變換得到總面積: X0=-xtdt x0=-X(f)df1

22、5. 積分：-tx()dFX(f)j2f+12X(0)(f) -tx()dFX(j)j+X(0)()離散時間(shjin)信號傅里葉變換DTFT3.4.1離散時間信號(xnho)傅里葉變換DTFT定義(dngy)在第二章討論過序列的傅里葉變換對5，即Xejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散時間信號指在離散時間變量時有定義的信號。如果把序列看成模擬信號的抽樣，抽樣時間間隔為T，抽樣頻率為fs=1T，s=2T,則離散信號可以表示為xn=xanTs=xaT|t=nTs( AUTONUM )表明離散信號僅在t=nTs有值，在其他時刻沒有。3.4.2離散時間信號傅里葉變

23、換的性質(zhì)本節(jié)討論DTFT的一些性質(zhì)，xn和yn是兩個離散時間信號，其離散傅里葉變換是X(F)和Y(F)，那么一下的性質(zhì)成立。線性令的DTFT分別是，并令則( AUTONUM )xt+ytFXj+Y(j)( AUTONUM )時移令，則，即 x(t-t0)FX(j)e-jt0( AUTONUM )奇、偶、虛、實對稱性質(zhì)設(shè)x(n)為一復(fù)信號，將x(n),都分別寫成實部和虛部的形式即( AUTONUM )由DTFT正，反定義(dngy)的定義可得( AUTONUM )如果(rgu)x(n)是實信號(xnho)，即=0，由于，分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，可得下述結(jié)論。的實部是的偶函數(shù)，即( AUTONUM

24、 )的虛部是的奇函數(shù)，即( AUTONUM )把上面兩式結(jié)合起來，可得實信號DTFT的Hermitian對稱性，即的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)，即( AUTONUM )式中，。的相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)，即( AUTONUM )由于，都是的偶函數(shù)，且，有( AUTONUM )即積分只要從0到即可。若x(n)再是偶函數(shù)，那么 ( AUTONUM )以上(yshng)三式說明，若x(n)是以n=0為對稱(duchn)的實偶信號，那么其頻譜為實值，其相頻響應(yīng)恒為0，因此(ync)，x(n)可有上式的簡單形式來恢復(fù)，當然，如果x(n)不是以n=0為對稱，那么將具有一線性相位。若x(n)是實的奇函數(shù)，則 ( AUTO

25、NUM )時域卷積定理若，則( AUTONUM )證明：因為所以。頻域卷積定理若，則( AUTONUM )證明：因為變換積分與求和的次序，有所以(suy)。時域相關(guān)(xinggun)定理若y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)(xinggun)函數(shù)，即，則( AUTONUM )證明：因為所以Parseval(巴塞伐)定理(3.4.20)( AUTONUM )Wiener-Khinchin(維納-辛欽)定理若x(n)是功率信號，其傅里葉變換( AUTONUM )若上式右邊極限存在，則稱該極限為功率信號x(n)的功率譜，即( AUTONUM )此式稱為確定信號的維納-辛欽定理，它說明功率信號x(n)的

26、自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一堆傅里葉變換?！纠?.4.1】 求下面離散時間傅里葉變換的逆變換。XF=rect50F-14+rect50F+14*comb(F)【解】：先查表Fsincn= rect(F)*comb(F)F150sincn50=rect(50F)*comb(F)對應(yīng)上式的頻移性質(zhì)，F(xiàn)ej2F0nxn=X(F-F0)Fejnn150sincn50=rect(50(F-14)*comb(F)Fe-jnn150sincn50=rect(50(F+14)*comb(F)最后將上面的兩個(lin )式子合并并簡化：原式子(sh zi)的反傅里葉變換是sinc(n50)cos(n2)25【例3.

27、7.3】根據(jù)(gnj)累加性質(zhì)和沖激函數(shù)的離散時間傅里葉變換，求xn=rectNn的傅里葉變換?！窘狻浚簒n的一階后向差分是xn-xn-1=n+N-n-(N+1)因為Fn+N-n-N+1=ej2FN-e-j2F(N+1)根據(jù)離散時間傅里葉變換的積分性質(zhì)和矩形脈沖信號的一階差分序列的和為零的事實，有Fxn=ej2FN-e-j2F(N+1)1-e-j2F=e-j2Fe-j2FejF(2N+1)-e-jF(2N+1)Fxn=sin(F(2N+1)sin(F)=2N+1drcl(F,2N+1)【例3.7.4】求如下離散時間余弦函數(shù)的傅里葉變換。xn=Acos(n2)【解】：根據(jù)定義XF=n=-xne-

28、j2Fn=n=-Acosn2e-j2Fn=A2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2FnXF=A2n=-(ej2(14-F)n+ej2(-14-F)n)或Xj=An=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根據(jù)n=-ej2xn=comb(x)并考慮到梳狀函數(shù)是偶函數(shù)，有XF=A2combF-14+combF+14或者根據(jù)梳狀函數(shù)尺度變換的性質(zhì)，Xj=Acomb-2+comb(+2)因為xn是周期性的，所以可以得到它的離散時間傅里葉級數(shù)的諧波函數(shù)Xk=1N0n=xne-j2(kF0)n=A4n=cos(n2)e-j(kn2)Xk=A21-e-jk=A4e-jk2(ejk2-e-jk2)Xk=jA

29、4e-jk2sin(k2)當k是偶數(shù)(u sh)時，表達式為0，當k是奇數(shù)(j sh)時表達式值為A4，這些值剛好(gngho)是沖擊函數(shù)XF在-34,-14,14,34時的沖激強度。這個結(jié)果顯示了離散時間傅里葉級數(shù)其實只是離散時間傅里葉變換的特例，就像連續(xù)時間的傅里葉級數(shù)是連續(xù)時間傅里葉變換的特例一樣。如果一個離散時間信號時周期性的，他的傅里葉就相當于由一些沖激組成，這些沖激的強度等于它的離散時間傅里葉變換諧波函數(shù)在諧波頻率上的值。周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS)當用數(shù)字計算機對信號進行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而計算機輸出所得到的頻譜值也是離散的。計算機無法處理周期信號

30、，而上面介紹的幾種傅里葉變換形式中，或者信號的時域是連續(xù)的，或者信號的頻譜是連續(xù)的，均不適合計算機進行計算。若要使用這幾種形式計算機進行計算，必須針對每種情況，或者在頻域取樣，或者在時域取樣。其最后結(jié)果都將使原時間函數(shù)和頻率函數(shù)二者都成為周期離散的函數(shù)。因此，他們都可以變成一種形式離散傅里葉級數(shù)1。3.5.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)的定義回顧一下，對于周期信號，通常都可以用傅里葉級數(shù)來描述，可用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)來表示，即xn=k=-+X(k)ejkt (51)可以看成信號被分解成不同次諧波的疊加，每個諧波都有一個幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中K任意整數(shù)k=0k；0基頻角頻率，0=2/

31、T；X(k)傅里葉系數(shù)。我們在x(n)上加以表示周期性的上標，周期為N的周期序列，其有如下性質(zhì)：=（r為任意整數(shù)） (52)用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示應(yīng)該為= (53)其中(qzhng)0=2/N，是基頻分量(fn ling)的角頻率，基頻序列為。下面來分析(fnx)一下第(K+rN)次諧波和第(k)次諧波之間的關(guān)系。將0=2/N，代入表達式中，得到=（r為任意整數(shù)） (54)這說明第(K+rN)次諧波能夠被第(k)次諧波表示，也就是說，在所有的諧波成分中，只有N個是獨立的，用N個諧波就可完全的表示出.因此，對于離散傅里葉級數(shù)，我們只取K=0到k=N-1的N個獨立諧波分量，即= (55)式中是

32、一個常用的常數(shù)，選取它是為下面表達式的成立的需要，是K次諧波的系數(shù)。下面我們根據(jù)來求解，這需要用到一下的性質(zhì)，即復(fù)指數(shù)的正交性： (56)注意該表達式是對n求和，而表達式的結(jié)果取決于(k-r)的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 (57) 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出： (58)將變量r換成k，則有= (59)從的表達式可以看出也是周期為N的周期序列，即= (60)則有周期序列的傅里葉級數(shù)對， (61)在上面(shng min)的傅里葉級數(shù)對中，n和k的范圍(fnwi)是從(- )。為了(wi le)表示的方便，一般書上常采用一下符號（N表示周期） (6

33、2)則(62)可以表示成正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk (63)反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk (64) DFS表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級數(shù)反變換。針對上面的級數(shù)對，討論如下內(nèi)容：，以N為周期。，；只對序列的一個周期的值進行求和，但求出的或卻是無限長的；由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；對于周期序列=，因為Z變換不收斂，所以不能用Z變換，但若取的一個周期，則Z變換是收斂的。，當取時，而，當時，=，這相當于在=0到=2的范圍內(nèi)，在N個等間隔的頻率上以2/N為間隔對

34、傅里葉變換進行采樣。引入主值序列的概念，即序列在0N-1區(qū)間的序列稱為主值序列?！纠?.5.1】 求的DFS系數(shù)?！窘狻浚涸O(shè)為周期沖激串=，對于0nN-1，=，可以求出=1，即對于所有的k值，均相同。表示成級數(shù)形式為=。(65)又設(shè)的周期(zhuq)為N=10，在主值區(qū)間(q jin)內(nèi)，0n4時，=1，在5n9時，=0。畫出的圖形(txng)，則=，畫出的幅值圖。(0)=5，(1)=3.23，(2)=0，(3)=1.24，(4)=0，(5)=1，(6)=0，(7)=1.24，(8)=0，(9)=3.23，這是一個周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個周期(在主值周期外隨便取一

35、周期)，計算傅里葉級數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計算有限長序列=的傅里葉變換。=， (66)如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個周期圖如下所示：圖3.5.1幅度的周期圖Figure 3.5.1 Period graph of the amplitude可以看出相當于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個等間隔的頻率上對傅里葉變換進行采樣?！纠?.5.2】 從例題3.5.1中得到這樣一個結(jié)論，對于以N為周期的周期序列，任取一個周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間(n=0N-1)中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN

36、+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明(zhngmng)：=(令n-m=rN或m=n-rN)=(后一個(y )分量作變量m-N=n)=?！纠?.5.3】設(shè)一序列的周期(zhuq)為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試利用求的DFS系數(shù)。解：= =，所以=。用k替換上式中的r，即Xk=Nx(-k)3.5.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)離散傅里葉級數(shù)很多性質(zhì)和Z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以它們存在一些重要差別。另外，在DFS表達式中時域和頻域之間存在著完全的對偶性，而在序列的傅里葉變換和Z變換的表示式中這一點不存在?？紤]兩個(lin )周期序列、，其周期(

37、zhuq)均為N，若，線性a+ba+b，周期(zhuq)也為N。由定義式證明。序列的移位 ，那么。證明： = 調(diào)制特性因為周期序列的傅里葉級數(shù)的系數(shù)序列也是一個周期序列，所以有類似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。對稱性給出幾個定義：共扼對稱序列滿足的序列。共扼反對稱序列滿足=的序列。偶對稱序列、奇對稱序列若和為實序列，且滿足=和=，則被稱作偶對稱序列和奇對稱序列。任何一個序列都可表示成一個共扼對稱序列和一個共扼反對稱序列之和(對實序列，就是偶對稱序列和奇對稱序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面為對稱性： ；=(+)/2 證明(zhngmng)：=(任意一個(y )周期的DFS

38、系數(shù)(xsh)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的)=；=， (67)+=，(68)周期卷積如果=，則=， (69)這是一個卷積和公式，但與線性卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個周期內(nèi)進行求和；對于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期地重復(fù)。周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：周期卷積中參與運算的兩個序列都是周期為N的周期序列；周期卷積只限于一個周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；周期卷積的計算結(jié)果也是一個周期為N的周期序列。離散傅里葉變換(DFT)3.6.1離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉級數(shù)變換是周期序列，但是在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析及其他方面的處理工作時，對信號的要

39、求是：在時域和頻域都應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長。離散傅里葉級數(shù)雖然是周期序列卻只有N個獨立的復(fù)值，只要知道它一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也就知道了。即把長度為N的有限序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個周期，這樣利用離散傅里葉級數(shù)計算周期序列的一個周期，也就是計算了有限長序列2。設(shè)為有限(yuxin)長序列，長度為N，即只在n=0,1,N-1時有值，其他(qt)n時，=0。我們(w men)把它看做是周期為N的周期序列的一個周期，而把看成是以N為周期的周期延拓，表達式為 xn=xn (0nN-1)0 (n為其他值)或 xn=xnRN(n)式中RNn=1 (0nN-1)0 (n為其他值)為矩形

40、截斷序列，而=(-nN，則將序列截短為N點序列，再作N點的DFT；（2） 若序列x的長度MN，則將序列截短為N點序列，再作N點的IDFT；（2） 若序列x的長度MN， 則將原序列補零至N點，然后計算N點的IDFT； 對于函數(shù)fft(x,N)和ifft(x,N)，如果N為2的正整數(shù)冪，則得到高速的基2FFT算法，在后面的章節(jié)中介紹快速傅里葉變換（FFT）時還會提到。 例3.13 已知一長度為16的有限長序列xn=sin(0.25n)，試利用Matlab計算序列想x(n)的16點和512點的DFT。 解： % 計算16點和512點的DFT的程序 n=0:15； x=sin(0.25*pi*n)；

41、% 序列(n) dft_16=fft(x)； % 16點DFT dft_512=fft(x,512)； % 求512點的DFT L=0:511； plot(L/512,abs(dft_512)； % 畫512點的DFT hold on； plot(K/16,abs(dft_16),o)； % using o tu represent 16 points DFT grid on； % 在圖上畫網(wǎng)格 xlabel(Normalized frequency)； ylabel(Magnitude)； hold off 從圖3.10可以看出，512點的DFT比16點的DFT可以獲得更多的頻譜函數(shù)更多的細

42、節(jié)，即說明了512的DFT比16點的DFT具有更高的頻率分辨率，這與3.3.3節(jié)中得到的結(jié)論一致。本章(bn zhn)小結(jié)本章先簡要復(fù)習(xí)了連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換(binhun)，再著重討論了離散時間(shjin)信號的傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，接著介紹了離散傅里葉級數(shù)，然后導(dǎo)出在時域和頻域都取有限離散值的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)。DFT是數(shù)字信號處理中最基本，也是最重要的運算，除了譜分析之外，卷積、相關(guān)等都可以通過DFT在計算機上實現(xiàn)。但是DFT運算時間復(fù)雜度非

43、常高，需要有效的算法來降低計算復(fù)雜度，在后續(xù)會講解快速Fourier變換FFT算法。Fourier變換已經(jīng)有很長歷史，從頻域分析和研究信號已經(jīng)成為一種經(jīng)典的方法。但是Fourier變換是一種全局變換，無法表征信號的時頻局部特性，在后續(xù)會講解時頻變換的一些知識。習(xí)題(xt)求下列序列(xli)的傅里葉變換,并分別(fnbi)給出其幅頻特性和相頻特性. 求下述兩個序列的傅里葉變換。試求序列的DTFT，式中為單位階躍序列。已知理想低通和高通數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)分別是 求，所對應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)，。令是的DTFT，已知，求。是一實的有限長序列， ，其傅里葉變換是，自相關(guān)函數(shù)是。令是其自相關(guān)函數(shù)(hnsh)的傅里葉變換，試證明已知序列(xli)，其中(qzhng)，而N=12。求x(n)的DTFT；求x(n)的DFT；若在x(n)后補N個零得x1(n)，即x1(n)為2N點序列，再求x1(n)的DFT 信號x(n)的長度為N=1000，抽樣頻率fs =20kHz，其DFT是；。求k=150和k=700時分別對應(yīng)的實際頻率是多少？求圓周率是多少？令x(n)是一純正弦信號，幅度等于A，頻率等于。將x(n)截短