人口發(fā)展模型

1、八十年代以來我國人口發(fā)展的數(shù)學(xué)模型和展望摘要以LESLIE矩陣構(gòu)建人口的動力學(xué)方程，建立了 80年以來中國人口的數(shù)學(xué)模 型，并用人口普查的數(shù)據(jù)驗證了該模型的有效性及所含假設(shè)的合理性。利用該模型 可推算82年至98年的逐年的以歲為單位的年齡構(gòu)成。通過調(diào)整模型中有關(guān)參數(shù) 及輸入的條件，定量地分析了“夫妻雙方均為獨(dú)生子女可生兩胎”這一政策將在 未來15年內(nèi)對我國人口的影響。所建模型有很好的移植性，理論上來講可推測很長一段時期內(nèi)任一年的年齡 結(jié)構(gòu)，并可通過調(diào)整參量定量分析一部分人口政策及社會因素對人口發(fā)展的影響， 可供有關(guān)研究及政策制定部門參考。社會經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域的規(guī)劃都必須考慮人口這一重要因素。而人

2、口普查只能 為我們提供某幾個時間點(diǎn)的橫截面數(shù)值，但在現(xiàn)實生活中，人們常常需要其他時 間點(diǎn)的人口總數(shù)及其構(gòu)成。于是一個迫切的任務(wù)就是如何用少數(shù)的幾個時點(diǎn)的信 息比較準(zhǔn)確的得到較詳盡的其他時點(diǎn)的人口數(shù)據(jù)。同時我們知道，人口與政策密 切相關(guān)，這一點(diǎn)對于自80年起實施“一對夫婦只生一個孩子”的中國更是如此。 為了定量分析政策對它的影響，也需要建立一個現(xiàn)實的，可靠的模型。這兩方面 的原因促使作者從人口發(fā)展的動力學(xué)機(jī)制出發(fā)，建立一個含多方面參量包括政策 參量的數(shù)學(xué)模型。本文由五部分構(gòu)成：第一部分介紹人口學(xué)中部分專業(yè)詞匯的定義；第二部分 模型的建立和檢驗。第三.四部分為該模型的兩個應(yīng)用，針對缺乏相關(guān)參量的直

3、接 統(tǒng)計數(shù)據(jù)是兩種不同的處理方法。第五部分為總結(jié)和討論。0.數(shù)據(jù)定義這部分介紹本文中出現(xiàn)的人口學(xué)名詞并加以簡單分析。年齡別生育率：某年的某年齡婦女生的孩子數(shù)與該年齡婦女總數(shù)之比?？偤蜕剩耗衬旮髂挲g組婦女生育率的合計數(shù)。即總和生育率=各年齡組婦女生育率之和我們可以把年齡別生育率看作一個婦女在該年齡時平均生的孩子，于是各個 不同年齡段的生育率分布可以看成一個婦女處在不同年齡段生育孩子數(shù)的分布。 我們把這一分布稱為生育模式。而總和生育率等于每個婦女一生中一共生育的孩 子數(shù)。出生率：某年的出生人數(shù)與該年總?cè)藬?shù)之比。年齡別死亡率：某年的某年齡死亡的人數(shù)與該年齡總?cè)藬?shù)之比。模型的建立(一).LESLI

4、E 矩陣(一).LESLIE 矩陣首先，我們要找到描述人口變化的方程。目前我國的移民現(xiàn)象很少見，我們 可以認(rèn)為中國人口是一個封閉的系統(tǒng)。定義氣(i)為第n年i歲的人數(shù)，d (i)為第 n年年齡為i的人的死亡率，b (i)為第n年年齡為i的婦女生的孩子數(shù)與該年齡婦女?dāng)?shù)的比例，即i歲的婦女的生育率。則當(dāng)i 1時，A 1(/) = A (/ - 1) * 1 - d (1)。我國人口男女比大約1.05，我們在這里忽略這種 差別，近似為1，則A (0) = Z 1/2 * A (i) * b (i)。用矩陣來表示上述關(guān)系，得nb (0)/2b (1) / 2.,.b (i)/21 - d (0)0.0

5、01 - d (1) .0 0.0. 1 - d (i).A (1).A (i).T，An +1其中，A =Ia (0)到由于80歲以上的老人所占比重很小且對于人口的增長已經(jīng)沒有影響(他們 不可能再生育)，在本文的模型中，常常只考慮80歲以下的人的情況。其實，的維度只要大于一定值就可以了，在問題處理過程中是可以變化的。(二).參量的確定LESLIE矩陣本身是普適的人口動力學(xué)方程，而不同歷史，社會條件下的人口 發(fā)展模式特點(diǎn)是由其中的參量來描述的，也就是b (i)和dn (i)。它們都是隨時間 變化的量，是諸多因素共同作用的結(jié)果。我們不可能找到這些參量每年的精確數(shù) 值，因此作一些假設(shè)和近似是必要的

6、。1.生育率b (i)如第一部分?jǐn)?shù)據(jù)分析中分析的那樣，我們把某個時點(diǎn)的婦女的生育年齡分布 同時看作一個婦女一生中生育孩子數(shù)的分布.于是某個時點(diǎn)的綜合生育率等于一 個婦女一生中生育的孩子數(shù)?？疾斐鞘泻腿丝诘纳哪挲g結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)兩者 有很大的不同。250市村城農(nóng)50 -圖一 98年中國城鄉(xiāng)婦女生育率年齡分布從圖中, F們發(fā)現(xiàn)農(nóng)村婦女的總和生育率明顯高于城市婦否，伺時她們的 生育高峰也比城市婦女早一些，且計劃生育政策及其執(zhí)行情況也有很大的不同， 所以本文中將把這兩種情況分開討論。即A (0) =Ar u(0) Au r0) = Z bru (i)Al-ru (i)乎 Z buri)Anur EM

7、 2n +1n +1n +1nnnnii知道了 A ( i )，我們可以用城鄉(xiāng)人口比來得到A ( i )和A心(i )。受到生理條件的限制，生育率關(guān)于年齡的相對分布應(yīng)該是一個變化緩慢的量。 我們假定在沒有政策性變化時(如限制生育年齡，或允許多育)，它是恒定的。于 是如果知道某年的總和生育率，結(jié)合圖一給出的98年的分布，便可得到當(dāng)年的具 體分布：b98(i)/Z b98(i)* z bn (i)i如果我們把總和生育率Z b (i)表示為B，則ib (i)=b (i)/B *Bn98而總和生育率B是比較容易獲得的。2.年齡別死亡率dn( i)年齡別死亡率分布數(shù)據(jù)很少，事實上， 假定死亡率不變。而通

8、過后面的計算發(fā)現(xiàn)， 合的很好。即使在未來的很長一段時間內(nèi)，98 n作者只找到了 89年一例，于是只能先 這個假設(shè)和我國80年至今的情況符只要沒有醫(yī)學(xué)上大的革命，這個量的變化將很小。因此，本文中把它當(dāng)成常量處理。所用數(shù)據(jù)為89年的統(tǒng)計（中國統(tǒng) 計局?jǐn)?shù)據(jù)服務(wù)DUS2-42），如圖所示（三）.82年一90年的人口變化及假設(shè)的驗證對于80年代的人口，我們掌握的材料比較充分，如逐年的城鄉(xiāng)總和生育率， 82年和89年的人口年齡結(jié)構(gòu)，歷年城鄉(xiāng)人口比例等。我們用82年的數(shù)值作為初 始條件，用上述模型推算至90年的分布，再和普查數(shù)據(jù)比較，以此檢驗我們的 模型及相關(guān)假設(shè)。結(jié)果如以下圖所示。圖三：90年中國人口年齡

9、分布比較兩條曲線，發(fā)現(xiàn)它們吻合的相當(dāng)不錯，尤其是10歲以后的曲線，差別非 常小。由于這部分人口的發(fā)展只受死亡率的影響，說明我們把（/）作為常量處理 是合理的。（這也說明我國二十年來醫(yī)療技術(shù)的進(jìn)步還沒有對人口產(chǎn)生大的影響） 而10歲以前的曲線也基本吻合，最大誤差在5%以內(nèi)。由此，關(guān)于生育率的年齡 的相對分布的假設(shè)也是合理的。至此，模型的有效性得到了證明。9098年的人口發(fā)展和上一階段不同，這一時期的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)不夠充分，尤其是總和生育率的 數(shù)據(jù)的缺乏，使這一階段的處理方法和90年以前不同。a（,）對, 1的情況仍可 按剛才的方法處理，但對于A （0），在沒有總和生育率時，就不能得到8 （），也

10、就不能用LESLIE矩陣法了。作者用第n年的出生率x人口總數(shù)二第n+1年的0歲 的人數(shù)得到a 1（0）。而人口總數(shù)和總出生率都是比較容易獲得的數(shù)據(jù)。用上述方 法可以得到90-98年逐年的年齡構(gòu)成，98年的分布見下圖這種處理方法只能用來求過去的時點(diǎn)的年齡結(jié)構(gòu)，而不能用與人口的預(yù)測， 因為將來的時點(diǎn)的人口總數(shù)和出生率也是未知的。而LESLIE矩陣則從人口發(fā)展的 動力學(xué)機(jī)制出發(fā)，因而可以用來預(yù)測未來的情況。第四部分就是一個例子。2015年人口分布的預(yù)測這一部分主要采用本文第一部分闡述的方法分析“夫婦雙方均為獨(dú)生子女可 生育兩個孩子”這一政策將給我國人口造成的影響。我國農(nóng)村婦女的總和生育率 在計劃生育

11、實行后一直維持在1.5以上，而在80年代初有2.0左右，也就是說， 即使在2000年后，農(nóng)村獨(dú)生子女的比重很小，而夫妻均為獨(dú)生子女的概率更小， 于是可以認(rèn)為該政策對農(nóng)村的影響可以忽略，農(nóng)村生育模式不變。而城市的總和生 育率自80年代起非常接近1，我們認(rèn)為所有的80年以后的城市出生的都是獨(dú)生 子女，于是前述政策對城市的影響很大。下面是定量分析?？疾?8年我國農(nóng)村分 胎次的生育率年齡分布：180(丑氽什)51520253035404550年齡農(nóng)村每個婦女平均有0.457個二胎，而城市平均只有0.146個，但是它 們的相對分布確實非常相近的。事實上，從圖中可以看出，把城市婦女的第二胎 的生育年齡結(jié)構(gòu)

12、按比例（0.457/0.146）放大后和農(nóng)村婦女的相應(yīng)的分布形狀基本 相同。這是容易理解的，由于受到生理條件的限制，在沒有其他政策性引導(dǎo)的情況 下（如規(guī)定生第二胎的最早年齡），婦女生兩胎的年齡相對分布應(yīng)基本穩(wěn)定。另外, 我們還發(fā)現(xiàn)，在35歲后生育的概率很小，于是從最早的獨(dú)生子女開始生育到他們 35歲這一時期（即大約20002015），我國城市婦女的生育模式逐漸向兩胎過渡。 而她們的孩子這時還未到生育年齡，于是可以認(rèn)為生育年齡分布向兩胎變化，到 2015年完全達(dá)到。也就是說，到2015年，城市婦女的生育年齡結(jié)構(gòu)可看成第一 胎和第二胎的疊加。我們假定第一胎的生育模式不變（其實觀察上圖可知，圖形 應(yīng)

13、該變尖銳一些，且峰將提前，但鑒于變化過于復(fù)雜，本文不討論）。對于第二胎， 我們把98年農(nóng)村婦女的二胎的年齡分布按比例放大到總和生育率為1。這樣我們就得到了二胎完全普及的2015年中國城市的生育模式。從1998年到2015年，我們考慮最簡單的情況，即假定變化是線性的，可得各年的生育率，即(i)。同 n時，我們假定dn(i)和城鄉(xiāng)比不變。事實上，從80年到98年的數(shù)據(jù)來看，城鄉(xiāng)比 變化緩慢。而且，在1998-2015年這段時間內(nèi)，城市和農(nóng)村的總和生育率比較接 近，平均都在1.5左右，所以城鄉(xiāng)比有幾個百分點(diǎn)的差別并不會太影響結(jié)果。用上述方法得到的2015年的人口分布如圖。2.521.51_ 0 10

14、,20 _ 3040, 50_ 印八，70, 第0.5圖六：觀察上圖，我們發(fā)現(xiàn)，從82年到2015年我國人口的年齡分布變化是非常劇 烈的。但總的來說，曲線趨于平坦，也就是說，人口結(jié)構(gòu)慢慢由均勻化的趨勢。 雖然“實行二胎政策”將使我國2015年時0-10歲的人口增加10%左右，但從年 齡結(jié)構(gòu)均勻的角度來，這種增加卻是有益的。它有利于我國人口的發(fā)展趨向平衡?？偨Y(jié)本文以LESLIE矩陣為動力學(xué)方程，建立了我國八十年代以來人口發(fā)展的模 型。在用統(tǒng)計數(shù)據(jù)驗證了模型有效性的基礎(chǔ)上，介紹了兩個應(yīng)用，即90年至98 年我國人口的年齡結(jié)構(gòu)和實行“夫婦雙方均為獨(dú)生子女課生育兩個孩子”的影響 的定量分析。這兩個例子分別針對缺乏相關(guān)參量的直接統(tǒng)計數(shù)據(jù)的兩種不同的處 理方法：第一個例子用相同時點(diǎn)的其它人口量的數(shù)據(jù)來彌補(bǔ)這種缺失；第二個用 已知時點(diǎn)的參量數(shù)據(jù)推測所需時點(diǎn)的該參量的值。用該模型可以得到詳盡的逐年的人口年齡分布，為社會其它領(lǐng)域，如教育，商 業(yè)等的發(fā)展規(guī)劃提供必要的人口信息。用它做短期的人口預(yù)測是十分理想的。同 時，這一模型的應(yīng)用十分靈活的，通過調(diào)整模型的參量，可以定量的分析許多 因素對人口的影響，也可以通過觀察人口結(jié)構(gòu)的變化分析其它社會因素的影響的