競(jìng)賽考題分類匯編2：方程與不等式(溫州十七中學(xué))

1、競(jìng)賽考題分類匯編2：方程和不等式（溫州十七中學(xué)） 競(jìng)賽考題分類匯編2：方程和不等式（溫州十七中學(xué)）一、填空題（共8小題，每小題4分，滿分32分）1（4分）已知關(guān)于x的方程（a1）x2+2xa1=0的根都是一整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有_個(gè)2（4分）某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)率增加了8個(gè)百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤(rùn)率是_%（注：利潤(rùn)率=100%）3（4分）正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米甲，乙兩人分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿ABCDEA方向繞廣場(chǎng)行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過_分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條

2、邊上4（4分）某商店出售A、B、C三種生日賀卡，已知A種賀卡每張0.5元，B種賀卡每張1元，C種賀卡每張2.5元營(yíng)業(yè)員統(tǒng)計(jì)3月份的經(jīng)營(yíng)情況如下：三種賀卡共售出150張，營(yíng)業(yè)收入合計(jì)180元?jiǎng)t該商店3月份售出的C種賀卡至少有_張5（4分）實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的最大值是_6（4分）設(shè)m是整數(shù)，且方程3x2+mx2=0的兩根都大于而小于，則m=_7（4分）=7x，則x=_8（4分）已知方程a2x2（3a28a）x+2a213a+15=0（其中a為非負(fù)整數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根那么a=_二、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分）9（3分）滿足等式的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)

3、是（）A1B2C3D410（3分）已知b24ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則ab的取值范圍為（）AabBabCabDab11（3分）在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時(shí)付郵費(fèi)0.80元，超過20g不超過40g付郵費(fèi)1.60元，依此類推，每增加20g增加郵費(fèi)0.80元（信的質(zhì)量在100g以內(nèi)），如果某人所寄信的質(zhì)量為72.5g，那么應(yīng)付郵費(fèi)（）A2.4元B2.8元C3元D3.2元12（3分）如果方程x2+px+1=0（p0）有實(shí)數(shù)根且它的兩根之差是1，那么p的值為（）A2B4CD13（3分）如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b的有

4、序數(shù)對(duì)（a、b）共有（）A17個(gè)B64個(gè)C72個(gè)D81個(gè)14（3分）已知實(shí)數(shù)ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2，則的值為（）A23B23C2D1315（3分）如果x、y是非零實(shí)數(shù)，使得，那么x+y等于（）A3BCD三、解答題（共10小題，滿分97分）16（9分）已知b，c為整數(shù)，方程5x2+bx+c=0的兩根都大于1且小于0求b和c的值17（9分）某班參加一次智力競(jìng)賽，共a，b，c三題，每題或者得滿分或者得0分其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為25分競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的有15人，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b

5、的人數(shù)之和為29，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為25，答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20，問這個(gè)班的平均成績(jī)是多少分？18（9分）已知a、b是實(shí)數(shù)，關(guān)于x、y的方程組有整數(shù)解（x，y），求a，b滿足的關(guān)系式19（10分）已知p，q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程x2（8p10q）x+5pq=0至少有一個(gè)正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(duì)（p，q）20（10分）8個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機(jī)）其中一輛小氣車在距火車站10km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有28分鐘這時(shí)唯一可以利用的交通工具是另一輛小氣車，已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平

6、均速度是60km/h人步行的平均速度是5km/h試設(shè)計(jì)一種方案，通過計(jì)算說明這8人能夠在停止檢票前趕到火車站21（10分）已知方程x26x4n232n=0的根都是整數(shù)求整數(shù)n的值22（10分）設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值23（10分）求所有的正整數(shù)a，b，c，使得關(guān)于x的方程x23ax+2b=0，x23bx+2c=0，x23cx+2a=0的所有的根都是正整數(shù)24（10分）試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx2+（r+2）x+r1=0有根且只有整數(shù)根25（10分）a、

7、b、c為實(shí)數(shù)，ac0，且，證明：一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根競(jìng)賽考題分類匯編2：方程和不等式（溫州十七中學(xué)）參考答案與試題解析一、填空題（共8小題，每小題4分，滿分32分）1（4分）已知關(guān)于x的方程（a1）x2+2xa1=0的根都是一整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有5個(gè)考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根。1302574分析：首先利用當(dāng)a=1時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，直接得出根，當(dāng)a1，把x=1，代入方程，得出a的取值解答：解：當(dāng)a=1時(shí)，x=1；當(dāng)a1時(shí)，易知x=1是方程的一個(gè)整數(shù)根，再由1+x=且x是整數(shù)，知1a=1或2，a=1，0，2，3；由、得符合條件的整數(shù)a有5個(gè)故填

8、：5點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方程整數(shù)解的求法，從特殊解入手求解，比較簡(jiǎn)單2（4分）某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)率增加了8個(gè)百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤(rùn)率是17%（注：利潤(rùn)率=100%）考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。1302574專題：應(yīng)用題；經(jīng)濟(jì)問題。分析：本題可設(shè)原利潤(rùn)率是x，進(jìn)價(jià)為a，則售價(jià)為a（1+x），由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)增加了8個(gè)百分點(diǎn)，據(jù)此可得出方程解之即可求解解答：解：設(shè)原利潤(rùn)率是x，進(jìn)價(jià)為a，則售價(jià)為a（1+x），根據(jù)題意得：x=8%，解之得：x=0.17所以原來的利潤(rùn)率是17%點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析數(shù)量關(guān)系，根據(jù)利潤(rùn)

9、率的計(jì)算公式表示出現(xiàn)在的利潤(rùn)率，根據(jù)題意列方程即可解決問題3（4分）正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米甲，乙兩人分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿ABCDEA方向繞廣場(chǎng)行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分那么出發(fā)后經(jīng)過104分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類。1302574分析：由正五邊形廣場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米，可得其邊長(zhǎng)為400米；甲、乙兩人分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)時(shí)距離是800米，若甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上時(shí)，極有可能此時(shí)距離為一條邊長(zhǎng)400米，此時(shí)時(shí)間為400（5046）=100分而就在此時(shí)，甲、乙分別在CD、ED中點(diǎn)處，不再同

10、一條邊上，需繼續(xù)前行，則甲至少還需走200米，即4分，此時(shí)甲在點(diǎn)D，乙在邊DE上，也就是說出發(fā)后經(jīng)過104分鐘，甲乙兩人第一次行走在同一條邊上解答：解：因?yàn)檎暹呅螐V場(chǎng)ABCDE的周長(zhǎng)為2000米，則其邊長(zhǎng)為400米，甲，乙兩人分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)時(shí)距離是4002即800米，若甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上時(shí)，極有可能此時(shí)距離為一條邊長(zhǎng)400米，此時(shí)時(shí)間為400（5046）=100分而就在此時(shí)，甲、乙分別在CD、ED中點(diǎn)處，不再同一條邊上，需繼續(xù)前行，則甲至少還需走200米，即4分，此時(shí)甲在點(diǎn)D，乙在邊DE上，也就是說出發(fā)后經(jīng)過104分鐘，甲乙兩人第一次行走在同一條邊上點(diǎn)評(píng)：這是一道發(fā)散

11、性的題注意反證思想的應(yīng)用此題屬于追及問題與正五邊形知識(shí)的綜合應(yīng)用4（4分）某商店出售A、B、C三種生日賀卡，已知A種賀卡每張0.5元，B種賀卡每張1元，C種賀卡每張2.5元營(yíng)業(yè)員統(tǒng)計(jì)3月份的經(jīng)營(yíng)情況如下：三種賀卡共售出150張，營(yíng)業(yè)收入合計(jì)180元?jiǎng)t該商店3月份售出的C種賀卡至少有20張考點(diǎn)：三元一次方程組的應(yīng)用。1302574專題：應(yīng)用題。分析：首先假設(shè)A、B、C三種賀卡售出的張數(shù)分別為x，y，z根據(jù)題意列方程組得：，然后通過加減消元法得到0.5x=1.5z30，根據(jù)x的取值判定z的最小值解答：解：設(shè)A、B、C三種賀卡售出的張數(shù)分別為x，y，z，則由題意得，由得，0.5x1.5z=30，即0

12、.5x=1.5z302得，y+4z=210，即y=2104z由1.5z300，得z20由2104z0，得z52.520z52故答案為20點(diǎn)評(píng)：通過加減消元法得到x與z，y與z的關(guān)系，根據(jù)x0、y0判定z的最小值5（4分）實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的最大值是考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式。1302574專題：計(jì)算題。分析：把x，y看成是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式得到z的取值范圍，求出z的最大值解答：解：x+y=5z，xy=3z（x+y）=3z（5z）=z25z+3，x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2（5z）t+z2

13、5z+3=0的兩實(shí)根=（5z）24（z25z+3）0，即3z210z130，（3z13）（z+1）01，當(dāng)時(shí)，故z的最大值為故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式求出z的取值范圍，確定z的最大值6（4分）設(shè)m是整數(shù)，且方程3x2+mx2=0的兩根都大于而小于，則m=4考點(diǎn)：一元二次方程的解；解二元一次方程組。1302574專題：方程思想。分析：因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根都大于而小于，可以得到不等式組，解不等式組，得到m的取值范圍，再根據(jù)m是整數(shù)確定m的值解答：解：由題設(shè)可知，解得因?yàn)閙是整數(shù)，所以m=4故答案為4點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程

14、的解，由題意得到的是不等式組，解不等式組，然后確定m的值7（4分）=7x，則x=考點(diǎn)：分母有理化。1302574專題：常規(guī)題型。分析：解題時(shí)首先把=7x進(jìn)行分子有理化，然后求出x的值解答：解：分子有理化得：，x0，兩邊平方化簡(jiǎn)得：再平方化簡(jiǎn)得：點(diǎn)評(píng)：主要考查二次根式的有理化根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同8（4分）已知方程a2x2（3a28a）x+2a213a+15=0（其中a為非負(fù)整數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根那么a=1，3或5考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)

15、根與有理根；解一元二次方程-公式法；根的判別式。1302574專題：常規(guī)題型。分析：利用根的判別式得出關(guān)于a的式子，然后求出兩根，利用倍數(shù)與約數(shù)求出a的值解答：解：顯然a0故原方程為關(guān)于x的二次方程=（3a28a）24a2（2a213a+15），=a（a+2）2是完全平方式故x=即x1=2，x2=1從而，由倍數(shù)約數(shù)分析法知a=1，3或5點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及方程根的求法和數(shù)據(jù)的倍數(shù)與約數(shù)二、選擇題（共7小題，每小題3分，滿分21分）9（3分）滿足等式的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算；質(zhì)數(shù)與合數(shù)。1302574專題：計(jì)算題。分析：先將已知等

16、式變形，（）（+）=0，由+0，則=0，從而求得x，y的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)解答：解：由可得，（）（+）=0，+0，=0，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，以及質(zhì)數(shù)和合數(shù)，是一道綜合題難度較大10（3分）已知b24ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則ab的取值范圍為（）AabBabCabDab考點(diǎn)：解一元二次方程-公式法。1302574專題：計(jì)算題。分析：設(shè)u=，利用求根公式得到關(guān)于u的兩個(gè)一元二次方程，并且這兩個(gè)方程都有實(shí)根，所以由判別式大于或等于0即可得到ab解答：解：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，故b24ac0由題意有：=b24ac或=b24ac，設(shè)u=，則有2au2u+

17、b=0或2au2+u+b=0，（a0）因?yàn)橐陨详P(guān)于u的兩個(gè)一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以兩個(gè)方程的判別式都大于或等于0，即得到18ab0，所以ab故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的求根公式：x=（b24ac0）11（3分）在本埠投寄平信，每封信質(zhì)量不超過20g時(shí)付郵費(fèi)0.80元，超過20g不超過40g付郵費(fèi)1.60元，依此類推，每增加20g增加郵費(fèi)0.80元（信的質(zhì)量在100g以內(nèi)），如果某人所寄信的質(zhì)量為72.5g，那么應(yīng)付郵費(fèi)（）A2.4元B2.8元C3元D3.2元考點(diǎn)：有理數(shù)的乘法。1302574分析：將72.5表示為203+12.5，再根據(jù)題

18、意可得出答案解答：解：由分析可得應(yīng)付郵費(fèi)：0.83+0.8=3.2元故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查有理數(shù)的計(jì)算，分清72.5g在哪個(gè)階段是關(guān)鍵12（3分）如果方程x2+px+1=0（p0）有實(shí)數(shù)根且它的兩根之差是1，那么p的值為（）A2B4CD考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式。1302574專題：計(jì)算題。分析：先根據(jù)判別式求出p的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案解答：解：由=p240及p2，設(shè)x1，x2為方程的兩根，那么有x1+x2=p，x1x2=l，又由（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2，得：1=（p）24，解得：p2=5，p=（p2）故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式

19、，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=p，x1x2=q13（3分）如果不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)a、b的有序數(shù)對(duì)（a、b）共有（）A17個(gè)B64個(gè)C72個(gè)D81個(gè)考點(diǎn)：一元一次不等式組的整數(shù)解。1302574專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合。分析：首先解不等式組，則不等式組的解集即可利用a，b表示，根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3即可確定a，b的范圍，即可確定a，b的整數(shù)解，即可求解解答：解：由原不等式組可得：x在數(shù)軸上畫出這個(gè)不等式組解集的可能區(qū)間，如下圖根據(jù)數(shù)軸可得：01，34由01，得0a9，a=1，2，39，共9個(gè)由34

20、得38b48，b=38+1，38+2，38+3，38+8共8個(gè)98=72（個(gè)）故選C點(diǎn)評(píng)：注意各個(gè)不等式的解集的公式部分就是這個(gè)不等式組的解集但本題是要求整數(shù)解的，所以要找出在這范圍內(nèi)的整數(shù)14（3分）已知實(shí)數(shù)ab，且滿足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2，則的值為（）A23B23C2D13考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解。1302574專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2，把a(bǔ)、b可看成是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）3=0的兩個(gè)根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解解答：解：a、b是關(guān)于x的方程（x+1）2+3

21、（x+1）3=0的兩個(gè)根，整理此方程，得x2+5x+1=0，=2540，a+b=5，ab=1故a、b均為負(fù)數(shù)因此故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件把a(bǔ)、b看成是關(guān)于x的方程（x+1）2+3（x+1）3=0的兩個(gè)根15（3分）如果x、y是非零實(shí)數(shù)，使得，那么x+y等于（）A3BCD考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用。1302574分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義，可知分為兩種情況來討論，即x0和x0來完成我題目，解化簡(jiǎn)后的一元二次方程即可得出答案解答：解：將y=3|x|代入|x|y+x3=0，得x3x2+3|x|=0（1）當(dāng)x0時(shí)，x3x2+3x=0，方程x2x+3=0無實(shí)根；（2

22、）當(dāng)x0時(shí)，x3x23x=0，得方程x2x3=0解得，正根舍去，從而于是故故選D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和解一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)性題目，要求學(xué)生能夠熟練掌握并加以運(yùn)用三、解答題（共10小題，滿分97分）16（9分）已知b，c為整數(shù)，方程5x2+bx+c=0的兩根都大于1且小于0求b和c的值考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；根的判別式。1302574專題：數(shù)形結(jié)合。分析：根據(jù)方程5x2+bx+c=0的兩根都大于1且小于0可知二次函數(shù)y=5x2+bx+c的圖象x=0、x=1時(shí)，y0，再結(jié)合函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求出b、c的取值范圍，再由0可列出b、c的不等式，根據(jù)b，c為整數(shù)即可求出b

23、、c的對(duì)應(yīng)值解答：解：根據(jù)二次函數(shù)y=5x2+bx+c的圖象和題設(shè)條件知：當(dāng)x=0時(shí)，5x2+bx+c0，有c0；當(dāng)x=1時(shí)，5x2+bx+c0，有b5+c因拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足10，則0b10又因0，即b220c0，故b220c由、得100b220c，c5若c=1，則由、得0b6且b220，得b=5；若c=2，則0b7且b240，無整數(shù)解；若c=3，則0b8且b260，無整數(shù)解；若c=4，則0b9且b280，無整數(shù)解故答案為：b=5，c=1點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)及根的判別式，解答此類題目的關(guān)鍵是把二次函數(shù)的圖象與一元二次方程根的情況結(jié)合起來，利用數(shù)形結(jié)合解答17（9分）某班參

24、加一次智力競(jìng)賽，共a，b，c三題，每題或者得滿分或者得0分其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為25分競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的有15人，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為29，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為25，答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20，問這個(gè)班的平均成績(jī)是多少分？考點(diǎn)：三元一次方程組的應(yīng)用；算術(shù)平均數(shù)。1302574專題：應(yīng)用題。分析：假設(shè)xa、xb、xc分別表示答對(duì)題a、題b、題c的人數(shù)根據(jù)：答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題b的人數(shù)之和為29，答對(duì)題a的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為25，答對(duì)題b的人數(shù)與答對(duì)題c的人數(shù)之和為20，列

25、出三元一次方程組，求出方程組的解再根據(jù)：競(jìng)賽結(jié)果，每個(gè)學(xué)生至少答對(duì)了一題，三題全答對(duì)的有1人，答對(duì)其中兩道題的有15人，求得答對(duì)1題的人數(shù)，進(jìn)而求出該班總?cè)藬?shù)再根據(jù)每題分?jǐn)?shù)，求得平均成績(jī)解答：解：設(shè)xa、xb、xc分別表示答對(duì)題a、題b、題c的人數(shù)則有，由+得xa+xb+xc=37 由得xc=8同理可得xa=17，xb=12答對(duì)一題的人數(shù)為3713215=4，全班人數(shù)為1+4+15=20平均成績(jī)?yōu)?42答：這個(gè)班的平均成績(jī)是42分點(diǎn)評(píng)：本題解決以求分別表示答對(duì)題a、題b、題c的人數(shù)做為突破口，進(jìn)而求出全班人數(shù)，求得平均成績(jī)18（9分）已知a、b是實(shí)數(shù)，關(guān)于x、y的方程組有整數(shù)解（x，y），求a

26、，b滿足的關(guān)系式考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根。1302574專題：特定專題。分析：首先根據(jù)已知條件把a(bǔ)x+b代入y=x3ax2bx中消去未知數(shù)a，b，然后整理式子y=x3xy，使其變?yōu)橛煤瑇的代數(shù)式表示y，再根據(jù)x，y都是整數(shù)進(jìn)行分類討論，計(jì)算出x與y的值，再把x與y的值代入y=ax+b中即可解答：解：將y=ax+b代入y=x3ax2bx，消去a，b，得：y=x3xy，于是（x+1）y=x3，若x+1=0，即x=1，則上式左邊為0，右邊為1不可能，所以x+10，于是y=x2x+1x，y都是整數(shù)x+1=1即：x=2或x=0y=8或y=0故或當(dāng)時(shí)，代入y=ax+b得：2a+b=8，變形的2a

27、b+8=0當(dāng)時(shí)，代入y=ax+b得：b=0綜上所述，a，b滿足關(guān)系式是2ab+8=0或b=0，a是任意實(shí)數(shù)點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整體代入法消元和數(shù)學(xué)中的分類討論思想的運(yùn)用，做此題的關(guān)鍵是分類討論時(shí)要考慮全面，題目難度較大，綜合性較強(qiáng)19（10分）已知p，q都是質(zhì)數(shù)，且使得關(guān)于x的二次方程x2（8p10q）x+5pq=0至少有一個(gè)正整數(shù)根，求所有的質(zhì)數(shù)對(duì)（p，q）考點(diǎn)：質(zhì)數(shù)與合數(shù)；根與系數(shù)的關(guān)系。1302574專題：推理填空題；分類討論。分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的兩個(gè)根的積是5pq，而兩個(gè)根都是正整數(shù)，因而可以用p，q表示出方程的兩根，再根據(jù)兩根的和是8p10q即可求得p，q的

28、值解答：解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=8p10q，x1x2=5pq，質(zhì)數(shù)都是正整數(shù)所以5pq肯定是正整數(shù)，有一根是正整數(shù)，x1x2肯定都是正整數(shù)，可以知道有幾種可能，x1=5 x2=pq；x1=5p x2=q；x1=5q x2=p；x1=1，x2=5pq；將x1，x2代入 x1+x2=8p10q，5+pq=8p10q，（1）p（q8）+10（q8）+80+5=0，（q8）（p+10）=85=517=185，q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），5p+q=8p10q，11q=3p，（2）p=11，q=3，5q+p=8p10q，15q=7p，（3）p=15，q=7（舍去

29、），5pq+1=8p10q，（4）5q（p+2）8（p+2）+16+1=0，（p+2）（5q8）=17，p=15，q=（舍去），p=1，q=（舍去），q=，p=19（舍去），q=5，p=3（舍去），最后p=11，q=3，或p=7，q=3故存在兩對(duì)質(zhì)數(shù)（11，3）和（7，3）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，正確根據(jù)質(zhì)數(shù)的性質(zhì)利用p，q表示出方程的兩根，是解決本題的關(guān)鍵20（10分）8個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機(jī)）其中一輛小氣車在距火車站10km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有28分鐘這時(shí)唯一可以利用的交通工具是另一輛小氣車，已知包括

30、司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是60km/h人步行的平均速度是5km/h試設(shè)計(jì)一種方案，通過計(jì)算說明這8人能夠在停止檢票前趕到火車站考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。1302574專題：應(yīng)用題。分析：當(dāng)汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4人下車步行，另一輛車將自己車內(nèi)的4人送到車站再回來接步行的4人再送至火車站，此時(shí)可以設(shè)出現(xiàn)故障后乘這輛車的4人下車步行的距離為x，根據(jù)人走的時(shí)間和車返回時(shí)接的時(shí)間相同，可列出方程，得解后即可得出現(xiàn)故障后先步行的4人到達(dá)車站總共的用時(shí)，如果不超28分鐘則方案可行此題還可有其他方案，只要滿足出現(xiàn)故障后先步行的4人到達(dá)車站總共的用時(shí)，如果不超28分鐘則方案可行解答：解：

31、當(dāng)汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4人下車步行，另一輛車將自己車內(nèi)的4人送到車站再回來接步行的4人再送至火車站；設(shè)出現(xiàn)故障后乘這輛車的4人下車步行的距離為x，根據(jù)題意得：=，解得x=，則步行的4人到達(dá)車站的用時(shí)為：5+（10）60=（小時(shí)）=26（分鐘）；26分鐘28分鐘，此方案可行此題還可有其他方案，只要滿足出現(xiàn)故障后先步行的4人到達(dá)車站總共的用時(shí)，不超28分鐘則方案可行點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，設(shè)計(jì)合適的方案，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再求解判斷方案是否可行21（10分）已知方程x26x4n232n=0的根都是整數(shù)求整數(shù)n的值考點(diǎn)：一元二次方

32、程的整數(shù)根與有理根。1302574專題：計(jì)算題。分析：利用求根公式求得x的值，讓根的判別式為一個(gè)完全平方數(shù)，進(jìn)而整理為兩個(gè)因式的積為一個(gè)常數(shù)的形式，判斷整數(shù)解即可解答：解：原方程解得：因?yàn)榉匠痰母钦麛?shù)，所以4n2+32n+9是完全平方數(shù)設(shè)4n2+32n+9=m2（m0且為整數(shù)）（2n+8）255=m2（2n+8+m）（2n+8m）=55因55=155=（1）（55）=（5）（11）=511，解得：n=10、0、8、18點(diǎn)評(píng)：考查二次方程中系數(shù)的求法；一元二次方程的根均為整數(shù)，那么根的判別式為完全平方數(shù)；注意兩數(shù)的積為一個(gè)正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)22（10分）設(shè)m是不小于1的實(shí)數(shù)，

33、關(guān)于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系。1302574分析：（1）首先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出符合條件的m的值（2）把利用根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系式代入代數(shù)式，細(xì)心化簡(jiǎn)，結(jié)合m的取值范圍求出代數(shù)式的最大值解答：解：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=b24ac=4（m2）24（m23m+3）=4m+40，m1，結(jié)合題意知：1m1（1）x12+x22=（x1+x2）22x1x2=4（m2）22（m23m+3）=2m210m+10=6

34、，1m1，；（2）=（1m1）當(dāng)m=1時(shí)，式子取最大值為10點(diǎn)評(píng)：本題的計(jì)算量比較大，需要很細(xì)心的求解用到一元二次方程的根的判別式=b24ac來求出m的取值范圍；利用根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=，x1x2=來化簡(jiǎn)代數(shù)式的值23（10分）求所有的正整數(shù)a，b，c，使得關(guān)于x的方程x23ax+2b=0，x23bx+2c=0，x23cx+2a=0的所有的根都是正整數(shù)考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根；根與系數(shù)的關(guān)系。1302574專題：代數(shù)綜合題。分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系、及a，b，c均為正整數(shù)，得到9a28b0因?yàn)閤是正整數(shù)所以設(shè)9a28b=s2，將其變形為（3a+s）（3as）=8b再就因數(shù)的

35、積等于8b即（3a+s）（3as）=8b=18b=24b=42b=8b分8種情況討論a、b、c，的符合條件的取值，進(jìn)而求得x的取值解答：解：x23ax+2b=0可知a，=（3a）242b=9a28b0，因?yàn)閤是整數(shù)，所以設(shè)9a28b=s2，（3a+s）（3as）=8b=18b=24b=42b=8b，討論：（1）、（3a+s）（3as）=18b，3a+s=1 ，3as=8b ，+得 6a=1+8b，同理可得 6b=1+8c，6c=1+8a，a+b+c=0（不符合已知條件），（2）、（3a+s）（3as）=8b*1，3a+s=8b ，3as=1 ，+得 6a=1+8b，同理可得 6b=1+8c，6

36、c=1+8a，a+b+c=0（不符合已知條件），（3）、（3a+s）（3as）=24b，（3a+s）=4b ，（3as）=2 ，+得 6a=2+4b，即3a=1+2b，同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，解得 a=b=c=1，x=1，2，（4）、（3a+s）（3as）=24b，（3a+s）=2 ，（3as）=4b ，+得 6a=2+4b，即3a=1+2b，同理可得 3b=1+2c，3c=1+2a，解得a=b=c=1，x=1，2，（5）、（3a+s）（3as）=42b，3a+s=4 ，3as=2b ，+得 6a=4+2b，即3a=2+b，同理可得 3b=2+c，3c=2+a，解得 a=b=c=1，x=1，2，（6）、（3a+s）（3as）=42b，3a+s=2b ，3as=4 ，+得 6a=4+2b，即3a=2+b，同理可得 3b=2+c，3c=2+a，解得 a=b=c=1，x=1，2；（7）、（3a+s）（3as）=8b，3a+s=8 ，3as=b ，+得 6a=8+b，同理可得 6b=8+c，6c=8+a，a+b+c=，可見a、b、c至少一個(gè)不是整數(shù)，不符合已知條件；（8）、（3a+s）（3as）=8b，3a+s=b ，3as=8 ，+得 6a=8+b，同理可得 6b=8+c，6c=8+a，a+b+