幾種常見概率分布律

1、關(guān)于幾種常見的概率分布律第一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 二項(xiàng)分布3.1.1 貝努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布的概率函數(shù) 最早被研究的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，只有兩種可能的試驗(yàn)結(jié)果。如擲錢幣可能正面，也可能反面；抽驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品可能合格，也可能不合格等。它概括了最簡單、也是最常用的一類隨機(jī)現(xiàn)象。因瑞士數(shù)學(xué)家雅科布貝努利首先研究而得名。 第二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 這是一個(gè)生產(chǎn)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的家屬, Bernoulli一家在歐洲享有盛譽(yù)，有一個(gè)傳說，講的是Daniel Bernoulli（他是John Bernoulli的兒子）有一次正在做穿過歐洲的旅行，他與一個(gè)陌生人聊天，

2、他很謙虛的自我介紹：“我是Daniel Bernoulli。”那個(gè)人當(dāng)時(shí)就怒了，說：“我是還是Issac Newton（牛頓）呢?！盌aniel從此之后在很多的場合深情的回憶起這一次經(jīng)歷， 把它當(dāng)作自己曾經(jīng)聽過的最衷心的 贊揚(yáng)。 第三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn) ，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件A與 之一， 在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0p1) ， 因而出現(xiàn)對(duì)立事件 的概率是1-p=q，則 稱 這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)(Bernoulli trials )。 第四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 貝努里試驗(yàn)具有

3、如下屬性試驗(yàn)包含了n 個(gè)相同的試驗(yàn)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率 p 對(duì)每次試驗(yàn)結(jié)果是相同的；“失敗”的概率 q 也相同，且 p + q = 1試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)“成功”或“失敗”可以計(jì)數(shù)第五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 在生物學(xué)研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機(jī)變量，如入孵n枚種蛋的出雛數(shù)、n頭病畜治療后的治愈數(shù)、n 尾魚苗的成活數(shù)等，可用貝努利試驗(yàn)來概括。 在n重貝努利試驗(yàn)中，事件 A 可能發(fā)生0，1，2，n次，現(xiàn)在我們來求事件 A 恰好發(fā)生k(0kn)次的概率Pn(k)。 先取n=4，k=2來討論。在4次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生2次的方式有

4、以下 種： 第六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗(yàn)發(fā)生； (k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗(yàn)不發(fā)生。由于試驗(yàn)是獨(dú)立的，按概率的乘法法則，于是有 P( )=P( )= P( )= P( )P( )P( )P( )= 又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按概率的加法法則，在4 次試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生2次的概率為 第七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 P4(2) = P( ) + P( ) + + P( )= 一般，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為 K=0,1,2，n (4 -1

5、4) 若把(4-14)式與二項(xiàng)展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于 展開式中的第k+1項(xiàng)，所以作二項(xiàng)概率函數(shù) 。第八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二項(xiàng)分布的意義及性質(zhì) 二項(xiàng)分布定義如下： 設(shè)隨機(jī)變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,，n，且有 = k=0,1,2，n 其中p0，q0，p+q=1，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布 (binomial distribution),記為 xB(n,p)。第九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。參數(shù)n稱為離散參數(shù) ， 只能取正整數(shù)； p 是連

6、續(xù)參數(shù)，它能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù))。 容易驗(yàn)證，二項(xiàng)分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即： 1、P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,，n) 2、二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即第十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3、 (4-15)4、 (4-16)5、 （m1m2） (4-17) 二項(xiàng)分布由n和p兩個(gè)參數(shù)決定： 1、當(dāng)p值較小且n不大時(shí) ，分 布 是偏倚的。但隨著n的增大 ，分布逐漸趨于對(duì)稱。 第十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 2、當(dāng) p 值 趨 于 0.5 時(shí) ，分 布 趨于對(duì)稱。 3、對(duì)于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí)，Pn(k)先隨之增

7、加并達(dá)到其極大值，以后又下降。 此外 ，在n較大，np、nq 較接近時(shí) ，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)n時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。第十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二項(xiàng)分布圖當(dāng)n=20時(shí)，不同p值的曲線。第十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及應(yīng)用條件 【例3.1】 純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾遺傳理論 ， 子二代中白豬與黑豬的比率為31。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。 根據(jù)題意，n=10，p=34=0.75，q=14=0.25。設(shè)10頭仔豬中白色的為x頭，則x為服從二項(xiàng)分布B(10，0.75)的隨機(jī)變量。于是窩產(chǎn)10頭仔豬中有7頭是白

8、色的概率為：第十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【例3.2】 設(shè)在家畜中感染某種疾病的概率為20，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A 注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B 注射 15頭家畜后有1頭感染。設(shè)各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應(yīng)該如何評(píng)價(jià)這兩種疫苗? 假設(shè)疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20，則15 頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概率為 第十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 同理，如果疫苗B完全無效，則15頭家畜中最多有1頭感染的概率為 由計(jì)算可知 ， 注射 A 疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認(rèn)為A疫苗是有效的

9、，但不能認(rèn)為B疫苗也是有效的。 第十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【3.3】 仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20，求5 頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應(yīng)的概率。 設(shè)5頭病豬中死亡頭數(shù)為x，則x服從二項(xiàng)分布B(5,0.2)，其所有可能取值為0，1，5，按(4-6)式計(jì)算概率，用分布列表示如下： 0 1 2 3 4 5 0.3277 0.4096 0.2048 0.0512 0.0064 0.0003第十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 大豆子葉顏色由2對(duì)隱性重疊基因控制，在其F2代黃子葉表現(xiàn)為顯性，黃和青以3:1比例分離。（以二粒莢為例來說明）。全部可能的結(jié)果有四種：

10、 兩粒都是黃的（YY） 3/43/4=9/16 第一次是青的第二次是黃的（GY）1/43/4=3/16 第一次是黃的第二次是青的（YG）3/41/4=3/16 兩粒都是青的（GG） 1/41/4=1/16假設(shè)y(黃子葉粒數(shù)）為變量，黃色子葉的概率為0.75，青色子葉的概率為0.25。那么其概率分別為（見上面）。第十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 如果一粒豆莢中有三粒種子，那么就有8種可能的情況。 全部是青子葉 （GGG） 1/64 僅有一粒黃子葉種子（GGY、GYG、YGG）9/64 具有兩粒黃了葉種子（YYG、YGY、GYY） 27/64 全部是黃子葉種子 （YYY） 27/6

11、4數(shù)學(xué)上的組合公式為n相當(dāng)于豆莢內(nèi)種子數(shù)，y相當(dāng)于黃子葉種子數(shù)。因此由此可以推知二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為：第十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為40%，即p=0.4，現(xiàn)對(duì)這種害蟲用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽樣10頭為一組治療。試問如新藥無療效，則在10頭中死3頭、2頭、1頭以及全部愈好的概率為多少？按照上面的公式進(jìn)行計(jì)算： 7頭愈好，3頭死去的概率為： 8頭愈好，2頭死去的概率為： 9頭愈好，1頭死去的概率為： 10頭全部愈好的概率為： 第二十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月受害株數(shù)概率函數(shù)P（y）P(y)F(y)nP(y)P（0）0.11600.1

12、16046.40P（1）0.31240.4284124.96P（2）0.33640.7648134.56P（3）0.18110.954972.44P（4）0.04880.994719.52P（5）0.00531.00002.12如果每次抽5個(gè)單株，抽n=400次，則理論上我們能夠得到y(tǒng)=2的次數(shù)應(yīng)為：理論次數(shù)=400P（2）=4000.3364=134.56（次）對(duì)于任意y，其理論次數(shù)為：理論次數(shù)=nP(y)。 第二十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件有三： （1）各觀察單位 只具有互相對(duì)立 的一種結(jié)果，如陽性或陰

13、性， 生存或死亡等， 屬于二項(xiàng)分類資料； （2）已知發(fā)生某一結(jié)果 (如死亡) 的概率為p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為1-P=q，實(shí)際中要求p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值； （3）n個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果互相獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會(huì)影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。第二十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù) 對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)式總體，如果p=q，二項(xiàng)式分布呈對(duì)稱形狀，如果pq，二項(xiàng)式分布則表現(xiàn)偏斜形狀。但如果n時(shí)，即使pq，二項(xiàng)式總體分布的情況也趨于對(duì)稱形狀，所以二項(xiàng)分布的形狀是由n和p兩個(gè)參數(shù)決定的。二項(xiàng)總體的平均數(shù)、方差2和標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：=np，2=npq

14、， 。例如上述棉田受害調(diào)查結(jié)果，n=5,p=0.35，所以可求得總體參數(shù)為：=np=50.35=1.75株， 株。 第二十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3.1.2 二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的特征數(shù) 統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量之平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與參數(shù)n、p有如下關(guān)系： 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生次數(shù)k表示時(shí) =np (4-18) = (4-19) 第二十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【例3.4】 求【例3.3】平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 以p=0.2,n=5代入 (4-18)和(4-19) 式得： 平均死亡豬數(shù) =50.20=1.0(頭) 標(biāo)準(zhǔn)差 = =

15、 =0.894(頭)第二十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率kn表示時(shí) (4-20) (4-21) 也稱為總體百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng) p 未 知時(shí)，常以樣本百分?jǐn)?shù) 來估計(jì)。此時(shí) (4-21) 式改寫為： = (4-22) 稱為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。 第二十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 泊松分布 泊松分布是一種 可以用來描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或 時(shí)間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大 。 在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見的。如， 一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)， 畜群中

16、遺傳的畸形怪胎數(shù)， 每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)， 單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)等，都是服從泊松分布的。 第二十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、泊松分布的意義 若隨機(jī)變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，且其概率分布為 ，k=0，1， (3-23) 其中0；e=2.7182 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則 稱 x 服 從 參 數(shù) 為 的 泊 松分布(Poissons distribution)，記 為 xP()。 第二十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 泊松分布重要的特征： 平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)，即 =2= 【例3.5】 調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔

17、豬畸形數(shù)，共記錄200窩， 畸形仔豬數(shù)的分布情況如表4-3所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從泊松分布。 第三十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 表3-1 畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計(jì)分布 樣本均數(shù)和方差S2計(jì)算結(jié)果如下： =fk/n =(1200+621 +152+23+14)/200 =0.51 第三十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 =0.51，S2=0.52,這兩個(gè)數(shù)是相當(dāng)接近的 ， 因此可以認(rèn)為畸形仔豬數(shù)服從泊松分布。 第三十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。 值愈小分布愈偏倚，隨著的增大 ，分 布趨于對(duì)稱。當(dāng)= 20時(shí)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)

18、=50時(shí)， 可以認(rèn) 為泊松分布呈正態(tài)分布。 所以在實(shí)際工作中，當(dāng) 20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。 第三十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 二、泊松分布的概率計(jì)算 由(4-23)式可知，泊松分布的概率計(jì)算，依賴于參數(shù) 的確定，只要參數(shù)確定了 ，把k=0，1，2， 代入(4-23)式即可求得各項(xiàng)的概率。 但是在大多數(shù)服從泊松分布的實(shí)例中，分布參數(shù)往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為 的 估計(jì)值，將其代替(4-23)式中的，計(jì)算出 k = 0，1，2， 時(shí)的各項(xiàng)概率。 第三十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 如【例3.5】中已判

19、斷畸形仔豬數(shù)服從泊松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將0.51代替公式（4-23）中的得： (K=0,1,2,) 因?yàn)閑-0.51=1.6653，所以畸形仔豬數(shù)各項(xiàng)的概率為： P(x=0)=0.510(0!1.6653)=0.6005P(x=1)=0.511(1!1.6653)=0.3063P(x=2)=0.512(2!1.6653)=0.0781 第三十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月P(x=3)=0.513(3!1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514(4!1.6653)=0.0017 把上面各項(xiàng)概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各項(xiàng)按泊松分布的理論窩數(shù)。第三

20、十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月表3-2 畸形仔豬數(shù)的泊松分布 將實(shí)際計(jì)算得的頻率與根據(jù)=0.51的泊松分布計(jì)算的概率相比較 ，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與 =0.51 的 泊松分布是吻合得很好的 。這進(jìn)一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從泊松分布的。第三十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【例3.6】 為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù) ， 共得400個(gè)記錄如下： 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從泊松分布。若服從，按泊松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與泊松分布作直觀比較。 第三十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 經(jīng)計(jì)算得

21、每毫升水中平均細(xì)菌數(shù) =0.500,方差S2=0.496。兩者很接近， 故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從泊松分布。以 = 0.500代替（4-23）式中的，得 (k=0,1,2)計(jì)算結(jié)果如表3-3所示。 第三十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月表3-3 細(xì)菌數(shù)的泊松分布 可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與=0.5的泊松分布是相當(dāng)吻合的 ， 進(jìn)一步說明用泊松分布描述單位容積(或面積)中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。 第四十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是泊松分布的應(yīng)用條件。比如二項(xiàng)分布要求n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，這也是泊松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)

22、，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會(huì)影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合泊松分布的應(yīng)用條件。對(duì)于在單位時(shí)間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的事物由于某些原因分布不隨機(jī)時(shí)，如細(xì)菌在牛奶中成集落存在時(shí)，亦不呈泊松分布。第四十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月超幾何分布第四十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月問題：假定一批供試驗(yàn)用小白鼠共100只，其中有5只不合格，隨機(jī)取出的10只小白鼠中，不合格數(shù)X的概率分布如何？變式：隨機(jī)的取出10件改為3件，情況又如何？問題：能否把這個(gè)結(jié)論推廣到一般形式， 建立一數(shù)學(xué)模型？第四十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地，若一個(gè)隨機(jī)變量X的

23、分布列為定義：記為H（r；n，M，N）并稱記為：xH(n,M,N),第四十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月問題推廣：第四十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第四節(jié) 正態(tài)分布 正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中 ， 均占有重要的地位。 第四十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3.4.1 正態(tài)分布的密度函數(shù)、分布函數(shù)及其特征 （一） 正態(tài)分布的定

24、義 若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為 (4-6) 其中為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normal distribution)， 記為xN(,2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為 (4-7) 第四十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 (二) 正態(tài)分布的特征 1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為x=； 2、f(x) 在 x = 處達(dá) 到 極 大 ， 極大值 ； 3、f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-至+； 下一張 主 頁 退 出 上一張 xf(x)CAB第四十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 4、曲線在x=處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-

25、,-)和(+,+) 區(qū)間上是下凸的，在-,+區(qū)間內(nèi)是上凸的； 5、正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。 第四十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月是位置參數(shù)，當(dāng)恒定時(shí)，越大，則曲線沿x軸愈向右；反之曲線沿x軸越向左。是變異度參數(shù)， 當(dāng)恒定時(shí)， 越大，表示 x 的取值越分散， 曲線越“胖”；越小，曲線越“瘦”。xf(x)CAB第五十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：abxf(x)第五十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 3.4.2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知 ，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)和2 (或) 的一簇 分布 ， 正

26、態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨和2的不同而不同 。 這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 需將一般的N(，2) 轉(zhuǎn) 換為 = 0,2=1的正態(tài)分布。第五十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 我們稱=0,2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作(u)和(u)，由 (4-6)及(4-7) 式得： (4-8) (4-9) 隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作uN(0，1) 。 第五十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正

27、態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第五十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月xms一般正態(tài)分布 =1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 第五十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換： u=(x-) (4-10) 將 其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u。 u 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)。 第五十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月三、正態(tài)分布的概率計(jì)算 （一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u 在u1, u2 ）內(nèi)取值的概率為： (u2)(u1)

28、 (4-11) 而(u1)與(u2)可由附表1查得。 第五十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 例如，u=1.75 ，1.7放在第一列0.05放在第一行 。 在附表1中 ， 1.7所在行與 0.05 所在列相交處的數(shù)值為0.95994，即 (1.75)=0.95994 有 時(shí) 會(huì) 遇 到 給 定 (u) 值 ， 例 如 (u)=0.284， 反過來查u值。這只要在附表1中找到與 0.284 最接近的值0.2843，對(duì)應(yīng)行的第一列數(shù) -0.5， 對(duì)應(yīng)列的第一行數(shù) 值 0.07 ，即相應(yīng)的u值為 u = - 0.57，即 (-0.57)=0.284 如果要求更精確的u值，可用線性插值法計(jì)

29、算。 第五十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 由(4-11) 式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率： P(0uu1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) (4-12) P(uu11-2(-u1) P(u1uu2)(u2)-(u1) 第五十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【例4.6】 已知uN(0，1)，試求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =? 第六十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6

30、月 利用(4-12)式，查附表1得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389第六十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P（-1u1）=0.6826 P（-2u2）=0.9545 P（-3u3）=0.9973 P（-1.96u1.96）=0.95P (-2.58u2.58)=0.9

31、9 第六十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個(gè)常用概率99.74%65.26%95.46%第六十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(u1)=2(-1)=1- P(-1u1) =1-0.6826=0.3174 P(u2)=2(-2) =1- P（-2u2） =1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01 第六十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 （二）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 正 態(tài) 分 布 密度

32、曲線和橫軸圍成的一個(gè)區(qū)域，其面積為1，這實(shí)際上表明了“隨機(jī)變量x取值在-與+之間”是一個(gè)必然事件，其概率為1。 若隨機(jī)變量 x服從正態(tài)分布N(,2)，則x的取值落在任意區(qū)間 x1, x2） 的概率 ，記作P(x1 x x2)，等于圖中陰影部分曲邊梯形面積。即：第六十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 (4-13) 對(duì) (4-13)式作變換u=(x-)，得dx=du，故有其中，第六十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 這表明服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量x 在 x1 ，x2 ）內(nèi)取值的概率 ， 等 于服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 u 在(x1-)/,

33、(x2-)/）內(nèi)取值的概率 。 因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)， 只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)， 就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。 第六十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布（實(shí)例）【例】設(shè)XN(5，32)，求以下概率 (1) P(X 10) ； (2) P(2X 10) 解： (1) (2)第六十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 【例】 設(shè)x服從=30.26,2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。 令 則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故 =P(-1.69u0.53) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551

34、 =0.6564 第六十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)化的例子 P(5 X 6.2) x =5=10一般正態(tài)分布6.2 =1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 00.12.0478第七十張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月標(biāo)準(zhǔn)化的例子P(2.9 X 7.1) 一般正態(tài)分布.1664.0832.0832標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第七十一張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個(gè)概率(即隨機(jī)變量x落在加減不同倍數(shù)區(qū)間的概率)是經(jīng)常用到的。 P(-x+)=0.6826 P(-2x+2) =0.9545 P (-3x+3) =0.9973 P (-1.96x+1.96) =0.95

35、P (-2.58x+2.58)=0.99第七十二張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 上述關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論，可用一實(shí)例來印證。 126頭 基礎(chǔ)母羊體重資料的次數(shù)分布接近正態(tài)分布 ，現(xiàn) 根據(jù) 其 平均數(shù) = 52.26 (kg) ，標(biāo) 準(zhǔn) 差S=5.10(kg) ，算出平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi) 所包括的次數(shù)與頻率 ，列于表42。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第七十三張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月頻率分布直方圖第七十四張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 表42 126頭基礎(chǔ)母羊體重在 kS 區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率 第七十五張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022

36、年6月 由表42可見，實(shí)際頻率與理論概率相當(dāng)接近，說明126 頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布 ，從而可推斷基礎(chǔ)母羊體重這一隨機(jī)變量很可能是服從正態(tài)分布的。 生物統(tǒng)計(jì)中，不僅注意隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間(-k,+k)之內(nèi)的概率而且 也很 關(guān)心 x落在此區(qū)間之外的概率。 我們把隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率(兩尾概率)，記作。第七十六張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機(jī)變量x小于-k或大于+k的概率，稱為單側(cè)概率(一尾概率),記作2。 例如，x落在(-1.96,+1.96)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單

37、側(cè)概率為0.025。即 P(x-1.96= P(x+1.96)=0.025 x落在(-2.58,+2.58)之外的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率 P(x-2.58)= P(x+2.58)=0.005 第七十七張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十八張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 附表3給出了滿足P (u )=的上側(cè)的分位數(shù)值。因此， 只要已知上側(cè)概率的值，由附表3就可直接查出對(duì)應(yīng)的上側(cè)分位數(shù) ，查法與附表2相同。 例如，已知uN(0,1)試求： (1) P(u- )+P(u )=0.10的 (2) P(- u =0.86的 因?yàn)楦奖?中的值是：第七十九張，PPT共八十八頁，創(chuàng)作于2022年6月所以 （1) P(u- )+ P(u ) =1- P(- u =0.10=由附表3查得： =1.645 (2) P (- u ) =0.86 ， =1- P (- u )=1-0.86=0.14 由附表3查得： =1.476 對(duì)于xN(,2)，只要將其轉(zhuǎn)換為uN(0,1),即可求得相應(yīng)的上側(cè)、下側(cè)或雙側(cè)分位數(shù)。 第八十張，PP