從Cantor集步入分形

1、從Cantor集步入分形前言物理學(xué)家Wheeler曾說過誰不知道熵概念就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人， 將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識，由此可見分形的重要性。本文將 從Cantor集過渡到分形，主要對分形作簡要介紹。Cantor集到分形我們先來看一下什么是Cantor集：取一條長度為1的直線段，將它三等分， 去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段， 剩下更短的四段，將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分 割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下， 得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為Cantor集。很容易看出來本質(zhì)就是通過一個(gè)簡單的

2、 遞歸來構(gòu)造Cantor集。Cantor集和Koch雪花有著類似的性質(zhì)，只是兩者在不 同的維度上，那就是：雖然Cantor集的線段數(shù)目趨于無窮，但是其極限圖形長 度趨于0，也即才目當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)集。利用Hausdorff維數(shù)方法計(jì)算Cantor集的維 度，可知操作n次后：邊長r=(1/3),邊數(shù)N(r)=2，根據(jù)公式D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631即得康托爾點(diǎn)集分?jǐn)?shù)維是0.631。通過對Cantor集的簡單介紹，我們發(fā)現(xiàn)Cantor集的維度是小數(shù)維，且其任 意一部分都和整體的相似，Mandelbrot就把具有這種性質(zhì)的形體叫做分形?，F(xiàn) 在我們來具體看一下

3、分形的科學(xué)概念：分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每 一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀，即具有自相似的性質(zhì)。接下來對 這個(gè)概念進(jìn)行簡要的解讀。粗糙、零碎的幾何形狀對于粗糙或零碎的幾何形狀的理解，我們可以聯(lián)想：彎彎曲曲的海岸線、起 伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò) 的血管，令人眼花繚亂的滿天繁星等。而這些又是傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描 述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象。也就是自然界的一些分形，可以說分形無處不 在，這或許在某種程度上也驗(yàn)證了 Wheeler的那句話。非整數(shù)維生活在三維世界

4、的我們接觸的都是整數(shù)維的形體，對于小數(shù)維可能無法理 解，但它確實(shí)是存在的。我們利用之前提到的Koch曲線簡單介紹一下分維Koch 曲線整體是一條無限長的線折疊而成，顯然用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而 用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個(gè)與Koch曲線維 數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能 是小數(shù)（即分?jǐn)?shù)）了，也就是分維。至于維度的計(jì)算方法，可以利用上面提到的Hausdorff維數(shù)法計(jì)算。Koch 曲線的每一部分都由4個(gè)跟它自身比例為1:3的形狀相同的小曲線組成，那么我 們可計(jì)算其維度為 d=log（4）/log（3）=1.261859

5、50714.。那么在某種意義上我們是不是就可以構(gòu)造任意維數(shù)的圖形，我們猜測維數(shù)是 連續(xù)的。而事實(shí)確實(shí)這樣，Mandelbrot就曾提出：我們之所以無法用幾何語言去 描述這些怪物，是因?yàn)槲覀兪窃诰S數(shù)為整數(shù)的空間中，用維數(shù)同樣是整數(shù)的尺子對其丈量、描述。而維數(shù)不應(yīng)該僅僅是整數(shù)，可以是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)。只有 在幾何對象對應(yīng)的維數(shù)空間中，才能對該幾何體進(jìn)行合理的整體或局部描述。以 Koch曲線為例，其維數(shù)約為1.26，我們應(yīng)用同樣為1.26維的尺子對其進(jìn)行描述， 比如取該曲線前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個(gè)幾何體，此幾何體長度為 4。也正是因其維數(shù)介于1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長度為無窮

6、大， 2維下面積為零。分形的類別分形主要有以下三種分類：逃逸時(shí)間系統(tǒng)：復(fù)迭代的收斂限界。例如:Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship 分形迭代函數(shù)系統(tǒng)：這些形狀一般可以用簡單的幾何替換來實(shí)現(xiàn)。例如：康托集 合、Koch雪花、謝爾賓斯基三角形、Peano曲線等等。吸引子：點(diǎn)在迭代的作用下得到的結(jié)構(gòu)。一般可以用微分方程確立。例 如:Lorenz吸引子。小結(jié)Cantor集是一個(gè)一維空間認(rèn)知的集合，數(shù)學(xué)家們在后續(xù)又發(fā)現(xiàn)了 Sierpinski 三角形及Menger海綿。在某種形式上，我們可以理解為Sierpinski三角形是 Cantor集在二維空間的推廣，而Menger海綿是Cantor集在三維空間的推廣。 Cantor集和它們的維數(shù)是非