概率論第六章習(xí)題

1、概率論第六章習(xí)題第六章 大數(shù)定理和中心極限定理一、大綱要求(1)了解契比雪夫不等式；(2)了解辛欽大數(shù)定律,伯努利大數(shù)定律成立的條件及結(jié)論；(3)了解獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫佛拉普拉斯中心極限定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）的條件和結(jié)論,并會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率.二、重點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 契比雪夫不等式柯西-施瓦茨不等式伯努利大數(shù)定律 辛欽大數(shù)定律 林德伯格-列維定理(獨(dú)立同分布中心極限定理) 棣莫佛-拉普拉斯定理三、基本知識(shí)1. 馬爾科夫不等式若為只取非負(fù)值的隨機(jī)變量,則對(duì)任意常數(shù),有.2. 契比雪夫不等式若存在,則.3. 辛欽大數(shù)定律定理 1 設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序

2、列，且具有有限的數(shù)學(xué)期望，則對(duì)任意的,有4. 伯努利大數(shù)定律定理2 設(shè)，其中n=1,2, ，0p0，有5獨(dú)立同分布的中心極限定理定理3 (林德伯格-列維定理) 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,則對(duì)任意實(shí)數(shù)有式中,是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),即6. 棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理) 設(shè)獨(dú)立同分布,的分布是則對(duì)任意實(shí)數(shù),有四、典型例題例1 設(shè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為-0.5,則根據(jù)契比雪夫不等式.解 因?yàn)?根據(jù)契比雪夫不等式所以 例2 某保險(xiǎn)公司經(jīng)多年資料統(tǒng)計(jì)表明,在索賠戶中被盜戶占20%,在隨意抽查的100家索賠戶中以被盜的索賠戶數(shù)為隨

3、機(jī)變量,利用中心極限定理,求被盜的索賠戶大于14戶且小于30戶的概率近似值.分析本題的隨機(jī)變量服從參數(shù)的二項(xiàng)分布.如果要精確計(jì)算,就要用伯努利二項(xiàng)公式:.如果求近似值,可用契比雪夫不等式估計(jì).解 由于,所以因此被盜的索賠戶大于14戶且小于30戶的概率近似值為0.927.例3 某車間有200臺(tái)機(jī)床,它們彼此工作獨(dú)立,開(kāi)工率都為0.6，工作時(shí)耗電都為1kW,問(wèn)供電所至少給這個(gè)車間多少度電，才能以99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).解 用表示工作的機(jī)床臺(tái)數(shù),則.設(shè)要向車間供電kW,則有由棣莫佛-拉普拉斯定理得即 因此 例4 用契比雪夫不等式確定當(dāng)擲一均勻硬幣時(shí),需擲多少次,才能保證

4、使得出現(xiàn)正面的頻率在0.40.6之間的概率不小于90%,并用正態(tài)逼近計(jì)算同一個(gè)問(wèn)題.解 設(shè)需擲次，用表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，則，有契比雪夫不等式得所以.由棣莫佛-拉普拉斯定理得即,查表得,故.例5 假設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,且,證明當(dāng)充分大時(shí),隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù).證 由是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列可知,獨(dú)立同分布,且有, , 由林德伯格-列維定理可知,對(duì)任意有即近似服從正態(tài)分布.例6 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的長(zhǎng)度超過(guò)3m，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問(wèn)其中至少有30根短于3m的概率是多少？解 設(shè) 則,記,則.由棣莫佛-拉普拉斯定理得例7 假設(shè)男嬰的出生率為

5、,某地區(qū)有7000多名產(chǎn)婦,試估計(jì)她們的生育情況.分析重伯努利實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率依概率收斂于它的概率，當(dāng)很大時(shí)，有.解 設(shè) 顯然,獨(dú)立同分布且均服從分布,表示7000名產(chǎn)婦中生男嬰的人數(shù),有伯努利大數(shù)定理得由于已是足夠大,因此即該地區(qū)估計(jì)有3581名男嬰出生.例8 某電視機(jī)廠每月生產(chǎn)10000臺(tái)電視機(jī),但它的顯像管車間的正品率為0.8，為了以0.997的概率保證出廠的電視機(jī)都裝上正品的顯像管,該車間每月應(yīng)生產(chǎn)多少只顯像管?解 設(shè)顯像管正品數(shù)為,月總產(chǎn)量為,則有,從而, 為了使電視機(jī)都裝上正品的顯像管,則每月至少生產(chǎn)10000只正品顯像管,即所求為由棣莫佛-拉普拉斯定理得即由題意可知, ,且較大,

6、即,所以查表得,故因此,每月至少要生產(chǎn)只顯像管才能以0.997的概率保證出廠的10000臺(tái)電視機(jī)都能裝上正品的顯像管.例9 一養(yǎng)雞場(chǎng)購(gòu)進(jìn)1萬(wàn)個(gè)良種雞蛋,已知每個(gè)雞蛋孵化成雛雞的概率為0.84，每只雛雞發(fā)育成種雞的概率為0.90，試計(jì)算這批雞蛋得到種雞不少于7500只的概率.解 設(shè), ,令 則諸獨(dú)立同分布,且顯然,表示10000個(gè)雞蛋育成的種雞數(shù),則,而根據(jù)棣莫佛-拉普拉斯定理可得于是,所求概率為因此,由這批雞蛋得到的種雞不少于7500只的概率為92%.五、課本習(xí)題全解6-1 設(shè),再對(duì)利用契比雪夫不等式:故服從大數(shù)定理.6-2 設(shè)出現(xiàn)7的次數(shù)為,則有由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-3 由中心極限定

7、理可知,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,所以6-4 設(shè)報(bào)各人數(shù)為,則.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-5 設(shè),則總保險(xiǎn)費(fèi)為(萬(wàn)元)(1) 當(dāng)死亡人數(shù)在達(dá)到人時(shí),保險(xiǎn)公司無(wú)收入.所以保險(xiǎn)公司賺錢概率為因而虧本的概率為.(2)若利潤(rùn)不少于40000，即死亡人數(shù)少于80人時(shí),若利潤(rùn)不少于60000，即死亡人數(shù)少于60人時(shí),若利潤(rùn)不少于80000，即死亡人數(shù)少于40人時(shí),6-6 設(shè)總機(jī)需備條外線才能有95%的把握保證每個(gè)分機(jī)外線不必等候,設(shè)隨機(jī)變量,則由中心極限定理可得6-7 密度函數(shù)為 故數(shù)學(xué)期望為 (1)設(shè)為第個(gè)數(shù)的誤差,則(2) (3) 6-8 (1)設(shè)為第個(gè)螺釘?shù)闹亓?則(2)設(shè),則6-9 設(shè)隨機(jī)變量,按

8、時(shí)進(jìn)入掩體的人數(shù)為,則,所以有設(shè)有k人按時(shí)進(jìn)入掩體，則所以至少有884人,至多有916.六、自測(cè)題及答案1.設(shè)隨機(jī)變量服從,則對(duì)區(qū)間,恒有2.一大批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品占一半,現(xiàn)每次抽取一個(gè),看后放回再抽,問(wèn)在100次抽取中取到優(yōu)質(zhì)品次數(shù)不超過(guò)45的概率等于3.相互獨(dú)立, ,則對(duì)任意給定的,有( ).4.設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,且服從參數(shù)為的泊松分布,則有( ).5.設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列,且服從服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則( ).6.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立, ,根據(jù)林德伯格-列維定理,當(dāng)充分大時(shí),近似服從正態(tài)分布,只要( )7.某校有1000名學(xué)生,每人以80%的概率去圖書(shū)館自習(xí),問(wèn)圖書(shū)館至少應(yīng)設(shè)多少個(gè)座位,才

9、能以99%的概率保證去上自習(xí)的同學(xué)都有座位坐?8.某種電子器件的壽命(小時(shí))具有數(shù)學(xué)期望(未知),方差.為了估計(jì),隨機(jī)地取只這種器件,在時(shí)刻投入測(cè)試(設(shè)測(cè)試是相互獨(dú)立的)直到失敗,測(cè)得壽命為,以作為的估計(jì),為了使,問(wèn)至少為多少?9.利用中心極限定理證明答案1. 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得2. 令表示100次抽取中取得優(yōu)質(zhì)品的次數(shù)則 那么 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得3.由題意可得 又因?yàn)?故(D)項(xiàng)正確.4.因?yàn)榉膮?shù)為的泊松分布,故,由林德伯格-列維定理得當(dāng)充分大時(shí),近似服從分布,故C項(xiàng)正確.5.由題意可知 由林德伯格-列維定理可得即 6.由于林德伯格-列維定理要求獨(dú)立同分布,且具有有限的數(shù)學(xué)期望與方差.因此C項(xiàng)正確.7.設(shè)表示同時(shí)去圖書(shū)館上自習(xí)的人數(shù),并設(shè)圖書(shū)館至少有個(gè)座位,才能以99%