Wigner—Ville分布

1、第七章 Wigner Ville分布問題STFT和WT在時(shí)頻分析方面的缺陷 一時(shí)頻分辨率低提高時(shí)頻分辨率方法一引入時(shí)頻能量密度一WVDWVD發(fā)展史1932 Wigner為計(jì)算量子相關(guān)性1947 Ville 為引入特征函數(shù)1980 Claassen等全面研究WVD優(yōu)勢(shì)(分辨率高，許多優(yōu)良性質(zhì))與缺陷(交叉相干擾)WVD與STFT, WT關(guān)系Hilbert變換對(duì)WVD的影響WVD的數(shù)學(xué)離散實(shí)現(xiàn)WVD一.WVD引入.定義：WVDs(t,w) = i-S(t -)S*(t -)e-jw d2.說明：WVD為雙線性時(shí)頻表示(信號(hào)在計(jì)算式中出現(xiàn)兩次)WVD具有相移不變性WVD結(jié)果是實(shí)數(shù).舉例Eg.7.1高

2、斯信號(hào)的 WVDaWVD聚集在原點(diǎn)附近b.久越大，時(shí)域聚集度好，頻域聚集度差1c.按1峰值可截止到一時(shí)頻面橢圓，其面積包為 兀 ed.時(shí)頻分辨率固定，無窗效應(yīng)e.滿足時(shí)間邊緣條件(Eg. 7.7)和頻率邊緣條件(Eg. 7.8)f.WVD具有能量保持性，故 WVD可認(rèn)為是時(shí)頻密度函數(shù)t2 土Example 7.2 圖斯 Chirp 信號(hào)的 WVD S(t) =4- e 2 e 2a式(7.10)功率譜不能反應(yīng)時(shí)頻特性 b.其平均瞬時(shí)頻率即為瞬時(shí)相位微分40w WVDS(t,w)dw4=*WVDS(t,w)dw)高斯型函數(shù)的WVD表示特點(diǎn)一WVD非負(fù).WVD的頻域表示推導(dǎo)：令S( S(w)=S(

3、t .),ejwt S(w)2ej2wtS(2w)S(t -萬卜 2e-j2wtS(-2w)=S*(t -) 2S*(2w)e2wt=WVD = S(t )S*(t -)ew d. 二二 22j 2wtj 2wt=2e S(2w)-2S* (2w)e JA -He一 人、，=_ S(2： ) *S* (2w -2： )ej(4- w)td：-一一 ；t_S(w )S*(w-)ej d1.1二.WVD的時(shí)頻分析性能.對(duì)單一時(shí)間成分或頻率成分信號(hào)， WVD具有很優(yōu)良的時(shí)頻定位特性.對(duì)含多時(shí)間成分或頻率成分信號(hào)，存在交叉項(xiàng)干擾，時(shí)頻定位性能變差7.2 WVD性質(zhì)全部可根據(jù)定義得證一.邊緣屬性1.時(shí)間

4、邊緣條件(沿頻率軸積分)112 WVDS(t,w)dw = S(t).頻率邊緣條件(沿時(shí)間軸積分)-2WVDS(t,w)dt = S(w).意義：WVD具有能量保持性，故可作為時(shí)頻密度函數(shù)4.說明：滿足邊緣屬性的二維t,w函數(shù)，不一定是 WVD (式7.33,34).平均瞬時(shí)頻率即為相位導(dǎo)數(shù)fao-bo_w WVDS(t,w)dww WVDS(t,w)dwWVDS(t,w)dw2兀 S(t)=飛)1原式=2：ejit 1-=0X復(fù)建w S(w )S* (w - )dwd.1二二、22S(t)2證明思路：利用微分信號(hào)的時(shí)頻關(guān)系利用時(shí)間域內(nèi)積與頻域內(nèi)積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，E 1利用2 二 ej2d、(t_

5、a)利用分步積分.群時(shí)延特性S(t)= A(t)ej -S(w)= B(w) ej， (w)*he_t WVDS(t,w)dt_t WVDS(t,w)dt-he_WVDs(t,w)dt條件平均時(shí)間=群時(shí)延四.時(shí)移不變性與調(diào)制不變性2S(w)三-2二彳(w)S(t),WV DS(t,w)S(t -t0 卜 WVDs(t -t0, w)時(shí)移不變性S(t)ejw0tL WVQ(t,w0)調(diào)制不變性舉例一高斯信號(hào)五.啟示.WVD大多數(shù)有用性質(zhì)都通過積分可得.WVD的平緩部分對(duì)優(yōu)良性質(zhì)貢獻(xiàn)大，振蕩部分則貢獻(xiàn)小.對(duì)WVD作低通處理可消除交叉項(xiàng)干擾7.3多成分信號(hào)的WVD一.WVD的交叉項(xiàng)干擾S(t)=G(

6、t) S2(t)n WVDS(t, w) =WVDS1(t, w) +WVD S2(t,w) + 2 ReWVDS1,S2(t, w).WVD包括自項(xiàng)和交叉項(xiàng)兩部分.自項(xiàng)相對(duì)平緩變化，交叉項(xiàng)高頻振蕩.交叉項(xiàng)幅值為相應(yīng)自項(xiàng)的兩倍.舉例S(t) =ejw0t - 2二二(w - w0)S(t) = ejw1t . ejw2t2二 (w - w1) 2二, (w - w2) 4二(w - w)C o sww1 w2w j = wd = w1 - w2說明a交叉項(xiàng)振蕩位置處于兩自項(xiàng)中間b .交叉項(xiàng)振蕩頻率由兩自項(xiàng)頻率差值決定例7.4由兩個(gè)具有不同時(shí)間中心和調(diào)制頻率成分的高斯信號(hào)的WVDa.交叉項(xiàng)位于兩

7、自項(xiàng)中間b.交叉項(xiàng)在時(shí)間域和頻率域兩個(gè)方向上均有振蕩c.頻域振蕩程度由兩自項(xiàng)時(shí)間差決定(w - wj)td時(shí)域振蕩程度由兩自項(xiàng)頻率差決定wd (t -t 1)二.交叉項(xiàng)識(shí)別與消除.若信號(hào)有N種成分，則存在Cn2二皿尸個(gè)交叉項(xiàng), 難以識(shí)別(Fig7-8).交叉項(xiàng)干擾是WVD研究最核心的問題平滑方法:分解為級(jí)數(shù)7.4 平滑WVD.用二維低通濾波消除交叉項(xiàng)WVDs(t，W)r Mw)SWVDS(t, w)二維 LPF.定義：二維卷積關(guān)系SWVDS(t,w)= 二(x, y) WVDS(t - x,w - y)dxdy.抑制交叉相干擾與分辨率是矛盾的.*(t,w)的選擇二維可分離高斯函數(shù)6(t,w)=

8、e32.2優(yōu)點(diǎn)：%P可控制平滑擴(kuò)散程度sP之1 ,可保證WVD非負(fù)“P =1 , SWVD 退化為 STFT二.WVD與STFT關(guān)系1.STFT:信號(hào)的WVD與分析函數(shù)的 WVD的二維卷積的結(jié)果2 .乜.乜STFTS(t,w) f WVDy(x,y)WVDS(t -x,w-y)dxdy *0j l*0證明思路代入WVD定義利用Jacobian行列式進(jìn)行變量替代.說明解釋了 STFT分辨率為什么不如WVD平滑后的STFT不再具備WVD的許多優(yōu)良屬性平滑后的STFT完全消除了交叉相干擾.推廣依據(jù)$(t,w)不同，可得不同雙線性時(shí)頻分布 一Cohen類CS(t,w)!WVD$(x,y) c(t -

9、x, w-y)dxdy 二 SWVDs(Lw)反過來,WVDS(t,w)= CS(x, y)h(t-x, w-y)dxdy三.WVD與小波變換關(guān)系SCAL(a,b):信號(hào)WVD與母小波做t)的WVD進(jìn)行仿射相關(guān)的結(jié)果一/ _2x - bSCAL(a,b) = CWT(a, b) = i- i-WVDS (x, y)WVD (, ay)dxdya證明：代入 WVD定義利用Jacobian行列式進(jìn)行變量替代STFsUw)2.- WVD(t,w)-管絲T CWJ(a,b)2WVD Y(t,w)WVD甲(t,w)5解析信號(hào)的二維格納分布一.解析信號(hào)原實(shí)信號(hào)S(t)與解析信號(hào)Sa(t)的關(guān)系.頻域關(guān)系2S(w), wSa(w)= S(w), w = 00,w -2w(0