(江蘇專用)2015屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測(cè)29空間向量解決立體幾何問(wèn)題兩妙招

1、2 321 12 2 .word29 空間向量解決立體幾何問(wèn)題兩妙招“選基底”與“建系” 1已知正方體 ABCDA1B1C1D1 中，點(diǎn)y 的值分別為 _答案1 1，2 2 E為上底面 A1C1 的中心，若 AEAA1xAByAD，則 x， 解析 如圖， AEAA1A1E1 AA1 A1C12 1 AA1 (ABAD)，所以 x ， y2給出下列命題： C D 0；| a| | b| | a b| 是 a， b 共線的充要條件；若 a 與 b 共面，則 a 與 b 所在的直線在同一平面內(nèi)； 若 P A B，則 P， A， B三點(diǎn)共線其中正確命題的序號(hào)是答案 _解析 由向量的運(yùn)算法則知正確；只有

2、當(dāng)向量 a， b 共線反向且 | a| b| 時(shí)成立， 故不正確；當(dāng) a 與 b 共面時(shí)，向量 a 與 b 所在的直線平行、相交或異面，故不正確；由知，三點(diǎn)不共線，故不正確綜上可得正確3 (2014 某某模擬 )如圖，1 1 11 / 13BMBD DM2 BMBD2_word已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各條棱長(zhǎng)都相等， M是側(cè)棱 CC1 的中點(diǎn)，則異面直線 AB1 和 BM所成的角的大小是 答案解析角設(shè)三90方法一 延長(zhǎng) A1B1 至 D，使 A1B1 B1D，則 AB1 BD， MBD就是直線 AB1 和 BM所成的棱柱的各條棱長(zhǎng)為 2，則 BM 5， BD2 2，2 2 2 16

3、 4 24 12.2 2 2C1 D A1D A1C1 2A1D A1C1cos 60 DMC1 D C1 M 13，2 2 2cos DBM 0， DBM90.方法二 不妨設(shè)棱長(zhǎng)為 2，選擇基向量 C， ， 1 則AB1 BB1 BA， BMBC BB1，( BB1 A) ( C BB1)cos ， 2 2 50 2 2 0 0，故 AB1， BM 90.2 2 54 P 是二面角 AB 棱上的一點(diǎn)，分別在平面 、 上引射線 PM、 PN，如果 BPM BPN45， MPN60，那么二面角 AB 的大小為 _答案 90解析不妨設(shè) PMa， PNb，如圖，作 MEAB于 E， NFAB于 F，

4、 EPM FPN45，2 / 131112 2 2 213612 211ab ab ab ab2 2 2 2wordPE 2 a， PF 2 b， ( ME) (F) PM PNPM PFPE PNPE PFabcos 60 a 2 bcos 45 2 abcos 45 2 a 2 b 0，MN，二面角 AB 的大小為 90.5. 如圖所示，正四面體 VABC的高 VD的中點(diǎn)為 O， VC的中點(diǎn)為 M.(1) 求證： AO、 BO、 CO兩兩垂直；(2) 求 DM， AO (1) 證明 設(shè) VAa， VBb， Cc，正四面體的棱長(zhǎng)為 1，則3( a b c)，O 6( bc 5a)，O 6(

5、a c 5b)，O6( a b 5c)，AO O36( b c 5a) (ac 5b)36(18 a b 9| a| 2) (18 1 1 cos 60 9) 0.O， AO BO，同理 AOCO， BOCO， AO、 BO、 CO兩兩垂直(2) 解 M M ( abc) c ( 2a 2bc )| M| ( 2a 2bc) 3 / 132 2 ，1，1 1 1| BD1| C| 6612 2 21 1 16word| AO| ( bc 5a ) 2O6( 2a 2bc) 6( b c 5a) 4，1cos M， O4 2222 2 M， O 0 ， ， M， O45.6如圖所示，平行六面體

6、ABCDA1B1C1 D1 中，以頂點(diǎn) A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為 1，且兩兩夾角為 60.(1) 求 AC1 的長(zhǎng)；(2) 求 BD1 與 AC夾角的余弦值 解 記Ba， Db， AA1 c，則| a| | b| | c| 1，a， b b， c c， a 60，a b b c c a 2.(1)| AC1| 2 ( abc) 2a2 b2 c2 2( a b b c c a)1 1 1 2( ) 6，| AC1| 6，即 AC1 的長(zhǎng)為 6.(2) bc a， Ca b，| BD1| 2， | C| 3， C( bc a) (ab) b2 a2a c b c 1. cos ， C AC與 B

7、D1 夾角的余弦值為 .7 (2014 課標(biāo)全國(guó) )4 / 13word如圖，三棱柱 ABCA1B1C1 中，側(cè)面 BB1C1C為菱形，(1) 證明： ACAB1；(2) 若 ACAB1， CBB160， ABBC，求二面角(1) 證明 連結(jié) BC1 ，交 B1C于點(diǎn) O，連結(jié) AO.因?yàn)閭?cè)面 BB1C1 C為菱形，所以 B1CBC1，且 O為 B1C 及 BC1 的中點(diǎn)ABB1C.AA1B1 C1 的余弦值又 ABB1C， ABBOB，所以 B1C平面 ABO.由于 AO? 平面 ABO， 故 B1CAO.又 B1OCO， 故 ACAB1 .(2) 解 因?yàn)?ACAB1，且 O為 B1C的中

8、點(diǎn)，所以 AOCO. 又因?yàn)?ABBC，所以 BO BOC，故 OAOB， 從而 OA， OB， OB1兩兩互相垂直以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB、 OB1、 A的方向?yàn)?x 軸、 圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Oxyz .y 軸、 z 軸的正方向， | B| 為單位長(zhǎng)，建立如因?yàn)?CBB160，所以 CBB1為等邊三角形又 ABBC， OC OA， 則 A(0,0 ， 33)， B(1,0,0) ， B1(0， 33，3 33 ， 3 )，設(shè) n ( x， y， 3A1B1AB(1,0 ， 3 )， C ( 1，z) 是平面 AA1B1 的法向量，5 / 130)， C(0 ， 33， 0)， AB1

9、(0，33 ， 0)則3 3337.wordn 0，n A1B1 0，y z 0，3 3即x z 0.所以可取平面 AA1B1 的一個(gè)法向量設(shè) m是平面 A1B1C1 的法向量，則n (1， 3， 3)m1 0，m 0.同理可取平面 A1B1C1 的一個(gè)法向量 m(1 ， 3， 3)則 cos n，所以二面角m 1AA1B1 C1 的余弦值為8 (2014 某某 ) 如圖，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD是等腰梯形， DAB60，AB 2CD2， M是線段 AB的中點(diǎn)(1) 求證： C1 M平面 A1ADD1；(2) 若 CD1 垂直于平面 ABCD且 CD1 3，求平面

10、 C1D1M和平面 ABCD所成的角 ( 銳角) 的余弦值(1) 證明因?yàn)樗倪呅?ABCD是等腰梯形，且 AB2CD，所以 ABDC.又由 M是 AB的中點(diǎn)，因此 CDMA且 CDMA.連結(jié) AD1，如圖 (1) 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，因?yàn)?CDC1D1， CDC1D1，6 / 132 23)，3 1word可得 C1 D1 MA， C1D1 MA，所以四邊形 AMC1D1 為平行四邊形，因此 C1 MD1A.又 C1 M?平面 A1ADD1，D1A? 平面 A1ADD1，所以 C1 M平面 A1ADD1.(2) 解 方法一如圖 (2) ，連結(jié) AC， MC.由(1) 知 C

11、DAM且 CDAM，所以四邊形 AMCD為平行四邊形，可得 BCADMC，由題意 ABC DAB60，所以 MBC為正三角形，因此 AB2BC2， CA 3，因此 CACB.以 C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖 (2) 所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz，所以 A( 3， 0,0) ， B(0,1,0) ， D1(0,0 ，因此 M ， ， 0 ，2 2所以 MD1 3， 1， 3 ， 3 1D1C1 MB ， ， 0 .2 2設(shè)平面 C1D1 M的一個(gè)法向量為 n ( x，n D1C1 0， 3x y 0，由 得n D10， 3xy 2可得平面 C1D1 M的一個(gè)法向量 n (1，y， z)，3z 0，3

12、， 1)7 / 13CD1 n 5，5| | n| 5 .52word又CD1 (0,0 ， 3) 為平面 ABCD的一個(gè)法向量，因此 cos CD1， n 所以平面 C1D1 M和平面 ABCD所成的角 (銳角 )的余弦值為 5 .方法二由(1) 知平面 D1C1 M平面 ABCDAB，過(guò)點(diǎn) C向 AB引垂線交 AB于點(diǎn) N，連結(jié) D1 N，如圖 (3) 由 CD1平面 ABCD，可得 D1 NAB，因此 D1 NC為二面角 C1 ABC的平面角在 RtBNC中， BC1，3NBC60，可得 .2 2所以 ND1 CD1 152 .在 RtD1 中，cos D1NCD1N32 15255所以

13、平面 C1D1 M和平面 ABCD所成的角 (銳角 )的余弦值為 5 .9. 如圖所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， CA4， CB4， CC1 2 2， ACB90，點(diǎn) M在線段 A1B1 上8 / 131由 得| | M| 24 26word(1) 若 A1M3MB1，求異面直線 AM和 A1C 所成角的余弦值；(2) 若直線 AM與平面 ABC1所成角為 30，試確定點(diǎn) M的位置解 方法一 ( 坐標(biāo)法 )以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 CA， CB， CC1 所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 C(0,0,0) ， A(4,0,0) ， A1(4

14、,0,2 2)， B1 (0,4 ， 2 2)(1) 因?yàn)?A1M3 MB1，所以 M(1,3,2 2) 所以 CA1 (4,0,2 2)， M( 3,3,2 2) CA1 AM 4所以 cos ， AM 3939 .39所以異面直線 AM和 A1C所成角的余弦值為 .39(2) 由 A(4,0,0) ， B(0,4,0) ， C1 (0,0,2 2)，知( 4,4,0) ， ( 4,0,2 2)設(shè)平面 ABC1 的法向量為 n ( a， b， c)，n B0， 4a4b 0，n AC10， 4a 2 2c 0，令 a 1，則 b 1， c 2，所以平面 ABC1的一個(gè)法向量為 n(1,1 ，

15、 2)因?yàn)辄c(diǎn) M在線段 A1B1 上，所以可設(shè) M(x, 4 x, 2 2)， 4,4 x, 2 2)所以 AM(x因?yàn)橹本€所以 |cosAM與平面 ABC1所成角為 30，n， M | sin 30 2.由| n M| | n| M|cos n， M | ，得|1 ( x 4) 1 (4 x) 2 2 2|9 / 13 24 42139 39 . 3 3 3 3word2 ( x 4) 2(4 x) 2 8，解得 x 2 或 x 6.因?yàn)辄c(diǎn) M在線段 A1B1 上，所以 x 2，即點(diǎn) M(2,2,2 2) 是線段 A1B1 的中點(diǎn)方法二 (選基底法 )由題意 CC1CA， CACB， CC1

16、CB取A， B， CC1作為一組基底，則有 | A| | B| 4， | | 2 2，且A B B CC1 ACC1 0.(1) 由M3B1，則A1M A1B1 AB CB CA，4 4 4 4M 3B3A，且| M| 26，A1C A，且 | C| 2 6， AM A1C4，cos M， 6 26 即異面直線 AM與 A1C所成角的余弦值為(2) 設(shè) A1M A1B1，則 M B A. 又ABCBCA， AC1 CC1CA， 設(shè)平面 ABC1 的法向量為 n xCAyCBz，則 n AC1 8z 16x 0， n B16y 16x 0，不妨取 x y 1， z 2，則 n AB2CC1且|

17、n| 8，| AM| 32 2 8， M n 16，又 AM與面AM n| M| nABC1所成的角為 30，則應(yīng)有16 18 32 2 8 2，得 ，即 M為 A1B1 的中點(diǎn)10 / 13由4z2 0.BC1 ?word10 (2013 )如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1 中， AA1C1C是邊長(zhǎng)為 4 的正方形平面 ABC平面AA1 C1 C， AB 3， BC5.(1) 求證： AA1平面 ABC；(2) 求二面角 A1 BC1 B1 的余弦值；BD(3) 證明：在線段 BC1 上存在點(diǎn) D，使得 ADA1B，并求 的值方法一 (坐標(biāo)法 )(1) 證明 在正方形 AA1C1C中， A

18、1AAC.又平面 ABC平面 AA1C1 C，且平面 ABC平面 AA1C1 CAC，AA1平面 ABC.(2) 解 在 ABC中， AC4， AB3， BC5，BC2 AC2 AB2， ABAC，以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 Axyz.A1(0,0,4) ， B(0,3,0) ， C1(4,0,4) ， B1(0,3,4) ， A1C1 (4,0,0) ， A1B(0,3 ，4)， B1C1 (4， 3,0) ， (0,0,4) 設(shè)平面 A1BC1 的法向量 n1( x 1， y 1， z 1) ，平面 B1BC1 的法向量 n2 (x2， y2， z2)A1C1 n1 0，

19、 4x 1 0，A1B n1 0 3y 1 4z1 0.取平面 A1BC1 的一個(gè)法向量 n1 (0,4,3) B1C1 n2 0，BB1 n2 04x2 3y2 0，?11 / 132BD BC1 . 25 .25 BC1 25word取平面 B1BC1 的一個(gè)法向量 n2 (3,4,0) cos n1，由題知二面角n2 2nA1 BC1 B1 為銳角，16所以二面角 A1 BC1 B1 的余弦值為(3) 證明 設(shè) D( x， y， z) 是直線 BC1 上一點(diǎn)，且( x， y 3， z) (4 ， 3,4) ，解得 x 4， y 3 3 ， z 4 .AD(4 ， 3 3 ， 4 )又 ADA1B， 0 3(3 3 ) 16 09