現(xiàn)代控制理論總復(fù)習(xí)課件

1、課程總復(fù)習(xí)第一章 一、基本概念 1）狀態(tài)空間表達(dá)式是由狀態(tài)方程和輸出方程組成；狀態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程組，主要描述系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)狀態(tài)的變化關(guān)系；輸出方程是一個(gè)代數(shù)方程，主要描述系統(tǒng)的輸出與狀態(tài)和輸入的關(guān)系。因此，狀態(tài)空間表達(dá)式反映了控制系統(tǒng)的全部信息； 2）對(duì)于不同的控制系統(tǒng)，根據(jù)相應(yīng)的物理和化學(xué)定理，可建立其系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式； 3）對(duì)于同一系統(tǒng)，由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式也不是惟一的。但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的，即所謂傳遞函數(shù)陣的不變性；沒有零極點(diǎn)對(duì)消的傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)稱為最小實(shí)現(xiàn)，即在所有實(shí)現(xiàn)中，它的階數(shù)最小。 4）由于狀態(tài)變量選擇的不惟一，對(duì)于同一系

2、統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式可能不同，但狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)； 5）微分方程、傳遞函數(shù)和方塊圖與狀態(tài)空間表達(dá)式之間可以相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可直接寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式描述且輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)，可先將其等效地轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后利用傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換方法來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，這種方法可大大簡化其求解過程； 6）狀態(tài)空間表達(dá)式經(jīng)線性變換可化系統(tǒng)矩陣A為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。若系統(tǒng)矩陣A的特征值互異，必存在非奇異變換陣，將系統(tǒng)矩陣A化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的特征值有重根時(shí)，一般來說，經(jīng)線性變換，可將A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；但在有些

3、情況下也能將A轉(zhuǎn)換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型； 7）線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的基本特征量，如線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的特征值、傳遞函數(shù)陣等； 二、要求 1）掌握根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的方法； 2）會(huì)用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖與模擬結(jié)構(gòu)圖來描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式； 3）掌握由系統(tǒng)的微分方程式建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的兩種方法； 4）掌握由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法； 5）掌握由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的三種方法； 6）掌握由系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣的方法； 7）掌握由組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣的方法； 8）利用線性變換可將狀態(tài)方程化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；實(shí)現(xiàn)實(shí)

4、現(xiàn)存在的條件：mn 當(dāng)mn時(shí)，d=0 當(dāng)m=n時(shí)，可以用長除法求得d =bm0，問題化為 輸出含有與輸入直接關(guān)聯(lián)的項(xiàng) 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（P25、 P26 ）（i=0，1，2，n-1）能控標(biāo)準(zhǔn)型能觀標(biāo)準(zhǔn)型 能控標(biāo)準(zhǔn)型 對(duì)偶例 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，試寫出其標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間描述。解：1）能控標(biāo)準(zhǔn)型 2）能觀標(biāo)準(zhǔn)型 能控標(biāo)準(zhǔn)型 狀態(tài)空間描述變換為標(biāo)準(zhǔn)形選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣T，使變換后的相似矩陣J為對(duì)角線型或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形（i=1，2，l） 特征值有重根求標(biāo)準(zhǔn)形（P38） A的特征根有q個(gè)1的重根，其余（n - q ）個(gè)互異根，則pq+1， ， pn求解方法同前。p1， ， pq例 系統(tǒng)矩陣如下，試求將其變換

5、成約當(dāng)型矩陣的變換矩陣T。解：第二章 一、基本概念1）線性定常連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解分為零輸入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移和零狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移；系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分組成。 2）線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解可表示為3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全部信息它可以完全表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 4）線性時(shí)變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解在形式 上類似于線性定常系統(tǒng)，即 式中， 為線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，與線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 有著顯著區(qū)別。 5）離散系統(tǒng)狀態(tài)方程可以采用迭代法和Z變換 法來求解。 6）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化，離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式為 式中 7）線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的離散化,離散化

6、的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中 二、基本要求1）熟練掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解方法、性質(zhì)、線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解2）熟練掌握線性定常連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0)的基本性質(zhì)1. (t,t0) 滿足自身的矩陣微分方程及初始條件 A和(t,t0)一般不能交換2. 傳遞性 3. 可逆性 例 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程,試確定該系統(tǒng)在輸入作用分別為單位脈沖函數(shù)、單位階躍輸入及單位斜坡函數(shù)時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)。 解：（1）單位脈沖響應(yīng)（2）單位階躍響應(yīng)（3）單位斜坡響應(yīng)一基本概念1） 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性（1）若線性連續(xù)定常系統(tǒng) 在有限時(shí)間間隔t0,tf內(nèi)存在無約束的分段連續(xù)輸入信號(hào)u(t)，能使系統(tǒng)以任

7、意初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終止?fàn)顟B(tài)x(tf)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。第三章（2）線性定常連續(xù)系統(tǒng)常用能控性判據(jù)： (a) rankM=rank 。 (b)當(dāng)A為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，輸入矩陣B中無全零行；當(dāng)A為約當(dāng)陣且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，B中與約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的行不全為零，且B中相異特征值對(duì)應(yīng)的行不全為零。 (c) 的行向量線性無關(guān)。 (d)單輸入單輸出系統(tǒng) 為能控標(biāo)準(zhǔn)型。 (e)單變量單輸出系統(tǒng)，由狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對(duì)消。 （3）連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化后的能控性：連續(xù)系統(tǒng)不能控，離散化后的系統(tǒng)一定不能控；連續(xù)系統(tǒng)能控，離散化后的系統(tǒng)也不一定能控（與采樣周

8、期的選擇有關(guān)）。2） 系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性（1）若線性連續(xù)定常系統(tǒng)能根據(jù)有限時(shí)間間隔t0,tf內(nèi)測(cè)量到的輸出y(t)，唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的。（2）線性定常連續(xù)系統(tǒng)常用能觀測(cè)性判據(jù)： (a) rankN=rank (b)當(dāng)A為對(duì)角陣且特征根互異時(shí)，C矩陣無全零列；當(dāng)A為約當(dāng)陣且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，C中與約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的列不全為零，C中相異特征值對(duì)應(yīng)的列不全為零。(c) 的列向量線性無關(guān)。(d)單輸入單輸出系統(tǒng) 為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。(e)單輸入單輸出系統(tǒng)，當(dāng)由狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對(duì)消。（3）連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化后的能觀測(cè)性：連續(xù)系統(tǒng)不能

9、觀測(cè)，離散化后的系統(tǒng)一定不能觀測(cè)；連續(xù)系統(tǒng)能觀測(cè)，離散化后的系統(tǒng)也不一定能觀測(cè)（與采樣周期的選擇有關(guān)）。3） 對(duì)偶原理 線性系統(tǒng) 與 互為對(duì)偶系統(tǒng)。若系統(tǒng) 能控，則 能觀測(cè)；若系統(tǒng) 能觀測(cè)，則 能控。4） 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 從能控性和能觀測(cè)性出發(fā)，狀態(tài)變量可分解為能控能觀測(cè)，能控不能觀測(cè)，不能控能觀測(cè)和不能控不能觀測(cè)四類。以此對(duì)應(yīng)，將狀態(tài)空間劃分為四個(gè)子空間，系統(tǒng)也對(duì)應(yīng)分解為四個(gè)子系統(tǒng)。研究結(jié)構(gòu)分解能更明顯地揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性。非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性與能觀性，只有狀態(tài)完全能控（能觀）的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)形（能觀標(biāo)準(zhǔn)形）。5） 最小實(shí)現(xiàn) 已知傳遞函數(shù)陣個(gè)G(s)，找一個(gè)系

10、統(tǒng)滿足關(guān)系 則稱系統(tǒng) 為G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)等于傳遞函數(shù)陣的階數(shù)時(shí)，稱該系統(tǒng)為G(s)的一個(gè)最小實(shí)現(xiàn)。 傳遞函數(shù)陣G(s)的實(shí)現(xiàn)并不唯一，最小實(shí)現(xiàn)也不唯一，僅最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)唯一。 最小實(shí)現(xiàn)的常用標(biāo)準(zhǔn)形式有能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)等。二、基本要求1）正確理解能控性、能觀測(cè)性的基本概念；2）熟練掌握判定系統(tǒng)能控、能觀測(cè)的充要條件及有關(guān)方法；3）理解能控性、能觀測(cè)性與系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的關(guān)系；4）掌握狀態(tài)空間表達(dá)式向能控、能觀測(cè)等標(biāo)準(zhǔn)型變換的基本方法；5）理解線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的作用和意義，了解結(jié)構(gòu)分解的一般方法；6）掌握傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)及最小實(shí)現(xiàn)的基本方法；為各項(xiàng)系數(shù) 線性系統(tǒng)如果系統(tǒng)

11、是完全能控的，那么存在線性非奇異變換使原狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間描述為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式nnnn與a0無關(guān)nn能控標(biāo)準(zhǔn)型為可直接寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為分子系數(shù)例1.判斷能控性能控2.計(jì)算A的特征多項(xiàng)式3.求變換矩陣4.求能控標(biāo)準(zhǔn)形5.求傳遞函數(shù)例 求系統(tǒng)的能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。 解： 第四章一、基本概念 1）穩(wěn)定性的四個(gè)定義 (1) 李氏穩(wěn)定； (2) 漸近穩(wěn)定； (3) 大范圍漸近穩(wěn)定； (4) 不穩(wěn)定。 這四種定義全面地概括了古典理論和現(xiàn)代理論中對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的描述，使穩(wěn)定性分析有了一種嚴(yán)格的理論依據(jù)。2）李氏第二法的基本判據(jù) 李雅普諾夫第二法的顯著優(yōu)點(diǎn)就在于：不僅對(duì)于線性系統(tǒng)，而且對(duì)于非線

12、性系統(tǒng)，它都能給出關(guān)于在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息。 幾個(gè)基本判據(jù)的區(qū)別主要集中在對(duì)于定號(hào)性判別上，可以簡述為以下過程：可知系統(tǒng)構(gòu)造V函數(shù)充分條件 判據(jù)1 漸近穩(wěn)定 判據(jù)2 漸近穩(wěn)定 判據(jù)3 李氏穩(wěn)定 判據(jù)4 不穩(wěn)定 判據(jù)5 不穩(wěn)定在定理的應(yīng)用中，要注意以下幾點(diǎn)： (1)構(gòu)造一個(gè)合理的李雅普諾夫函數(shù)，是李氏第二法的關(guān)鍵，李氏函數(shù)具有幾個(gè)突出性質(zhì)： 李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。 李雅普諾夫函數(shù)是一個(gè)正定函數(shù)，至少在原點(diǎn)的鄰域是如此。 對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是惟一的。 (2)如果在包含狀態(tài)空間原點(diǎn)在內(nèi)的鄰域內(nèi)，可以找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么，就可以用它來判斷原點(diǎn)的穩(wěn)定性或漸近穩(wěn)定性。然

13、而這并不一定意味著，從鄰域外的一個(gè)狀態(tài)出發(fā)的軌跡都趨于無窮大，這是因?yàn)槔钛牌罩Z夫第二法確定的僅僅是穩(wěn)定性的充分條件。3）線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，李氏第二法具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： (1) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍，均屬于大范圍的。 (2) 線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，可用簡單的二次型函數(shù)來構(gòu)成，即 (3) 線性定常系統(tǒng)的二次型李雅普諾夫函數(shù)，可通過統(tǒng)一的公式來確定：線性定常連續(xù)系統(tǒng) 滿足線性定常離散系統(tǒng) 滿足4）非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法 非線性系統(tǒng)的問題比較復(fù)雜，只能針對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析。 目前，許多人基于李雅普諾夫第二法理論，研究出一些切實(shí)可行的方法。本章所介紹的幾種

14、方法，在工程實(shí)用上較為廣泛，具有以下幾個(gè)顯著特點(diǎn)： (1) 非線性關(guān)系是可用解析式表達(dá)的單值函數(shù)。 (2) 系統(tǒng)的階次不是太高。 克拉索夫斯基法實(shí)際上屬于線性化的方法，或稱一次近似法，由此構(gòu)造出的李氏函數(shù)還具有二次型的形式，計(jì)算較方便。 變量梯度法構(gòu)造的李氏函數(shù)，不屬于二次型的，但所取的梯度向量模式，可較好地滿足各種約束條件，也是一種應(yīng)用性很強(qiáng)的方法。 值得注意的是，以上幾種方法都是李氏第二法的具體應(yīng)用，若采用這些方法找不到一個(gè)合適的李雅普諾夫函數(shù)，這并不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，此時(shí)不能作出任何結(jié)論。 二、基本要求 （1）理解和掌握有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念和定理，包括： 系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性和外

15、部穩(wěn)定性的定義、相關(guān)定理及兩者的關(guān)系； 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、大范圍漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的定義。 （2）理解和掌握李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，重點(diǎn)掌握李雅普諾夫第二法有關(guān)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法和一般步驟，了解非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫分析方法。例 已知系統(tǒng)解: 系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn) ,取 則因?yàn)槌c(diǎn)處外， 不會(huì)恒等于零。當(dāng) 時(shí)， ，所以系統(tǒng)在其原點(diǎn) 處大范圍漸近穩(wěn)定。第五章一、基本概念1）狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置（1）利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控對(duì)象能控。（2）狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。（3）在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)能控性不變，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能觀

16、測(cè)性。單輸入無零點(diǎn)系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋不會(huì)出現(xiàn)零極相消，故其能觀測(cè)性與原系統(tǒng)保持一致。（4）多輸入系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋陣 不惟一。2）輸出反饋和極點(diǎn)配置（1）利用輸出到 的反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控對(duì)象能觀測(cè)。（2）在引入輸出到 的反饋后，系統(tǒng)能觀測(cè)性不變，但卻不一定能保持系統(tǒng)的能控性。單輸入無零點(diǎn)系統(tǒng)在引入輸出反饋不會(huì)出現(xiàn)零極相消，故其能控性與原系統(tǒng)保持一致。（3）利用輸出到輸入端的線性反饋一般不能實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置。（4）在引入輸出到輸入端的線性反饋后，系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性不變。（5）兩種輸出反饋都不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。3）解耦控制（1）輸入和輸出維數(shù)相

17、同的線性定常系統(tǒng)，串聯(lián)解耦的條件是被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的逆存在 。（2）輸入和輸出維數(shù)相同的線性定常系統(tǒng)，反饋解耦的條件是能解耦性的判別陣的逆存在。 4）系統(tǒng)的鎮(zhèn)定 （1）假如不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則一定存在線性狀態(tài)反饋陣 ，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。（2）假如線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能控的，則存在線性狀態(tài)反饋陣 ，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能控部分為漸近穩(wěn)定的。（3）假如不穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，則一定存在從輸出到狀態(tài)向量 線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。（4）假如線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀測(cè)的，則從輸出到狀態(tài)向量 線性反饋，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的不能觀測(cè)部分為漸近穩(wěn)定的。5）狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì) 若被控系統(tǒng) 能觀測(cè)，則其狀態(tài)可用6）分離定理若被控系統(tǒng)能控能觀測(cè)，當(dāng)用狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)值構(gòu)成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行，即矩陣 和 的設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。二、基本要求1）正確理解利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點(diǎn)的有關(guān)概念，熟練掌握按系統(tǒng)指標(biāo)要求確定狀態(tài)反饋陣 的方法。2）理解用輸出到反饋任意配置觀測(cè)器極點(diǎn)的有關(guān)概念，熟練掌握按系統(tǒng)指標(biāo)要求確定反饋陣 的方法。 3）