小學奧數(shù)燕尾定理.學生版

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形A8C中，AD, BE , b相交于同一點O,那么又血斗。=8。：。.上述定理給出了 一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為A48O和AACO的形 狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目 中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中, 為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，O是8c上任意一點，請你說明：S；S$=S?:S3 = BD:DC【解析】三角形跳Z）與三角形CE。同高，分別以8。、DC為底，所以有S/SBAQC ；三角形ABE與三角形瓦迨同高，S:S2=ED

2、:EA ；三角形ACE與三角形CEO同高，Sj.S廣ED.EA ,所以S1:S_, =S/S,；綜上可得S : S& = S?: $3 = BD: DC .【例1】 如右圖，三角形A8C中，BD:DC = 4:9 , CE:E4 = 4:3,求ARM.EAE:CE = 5:6 ,求 AF:尸人【鞏固】如右圖，三角形ABC中，BD:DC = 3:4,【鞏固】如圖，BD:DC = 2:39 A:CE = 5:3,則:AD【鞏固】如右圖，三角形A8C中，8。:0c = 2:3, E4:CE = 5:4,求A【例2】如圖，三角形ABC被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問 三角形A8C的面積是

3、多少？【例3】如圖，三角形ABC的面積是1,七是47的中點，點O在8c上，且 BD:DC = :29 AD與BE交于點、F .則四邊形OFEC的面積等于【鞏固】如圖，已知3Q = DC, EC = 2AE,三角形ABC的面積是30 ,求陰影部分 面積.【鞏固】如圖，三角形A8C的面積是200cm二E在AC上，點O在8C上，且 AE:EC = 3:5, BD:DC = 2:3f AD與BE交于點尸.則四邊形）莊C的面積等 于.【鞏固】如圖，已知= 3DC, EC = 2AE,以:與CO相交于點O,則A/1BC被分成的 4部分面積各占AABC面積的幾分之幾？【鞏固】如圖所示，在八針。中，CP =

4、；CB , CQ = -CA, 80與”相交于點X,若3ABC的面積為6 ,則AABX的面積等于【鞏固】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別是3, 7, 7,則陰影四邊形的面積是多少？【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是I，BD = 2DC f尸，請寫出這4部分的面積各是多少？CE = 2AE , AD與8K相交于點AA【鞏固】 如圖，E在AC上，O在8c上，且AE:EC = 2:3, 5:DC = 1:2, AD與BE 文 于點兒四邊形。莊C的面積等于22cm 2 ,則三角形ABC的面積【鞏固】三角形ABC中，C是直角，已知AC = 2, 8 = 2, C

5、8 = 3, AM = BM ,那么 三角形AMN （陰影部分）的面積為多少？【例4】如圖所示，在AABC中，BE:EC = 3:,。是AE的中點，那么 AFFC=.AA【鞏固】在SABC中,BD:DC = 3:2,求 OB:OE=?AE: EC = 3:1 ,【鞏固】在A4BC中，BD:DC = 2:1 ,AE:EC = :3,錄 OB:OE=?【例5】如圖9,三角形BAC的面積是1, E是AC的中點，點D在BC上，且BD：DC=1:2, AD與BE交于點F,則四邊形DEFC的面積等于cABI)C【例6】如圖1,中，點E在4?上，點b在AC上，斯與CE相交于點P,如果【例7】 如圖4,三角形

6、田地中有兩條小路AE和CF,交叉處為D,張大伯常走 這兩條小路，他知道DF = DC,且AD = 2DE。則兩塊田地ACF和CFB的 面積,匕是 O【例8】 如圖，長方形A8CD的面積是2平方厘米，EC = 2DE ,尸是OG的中點.陰 影部分的面積是多少平方厘米？【例9】如圖所示，在四邊形A8CQ中，AB = 3BE , AD = 3AF ,四邊形AEOP的面積 是12,那么平行四邊形3QQC的面積為.【例10DCDA5CO是邊長為12厘米的正方形，E、b分別是AB、8c邊的中點，AF與CE1交于G ,則四邊形AGCD的面積是 平方厘米.【例11】如圖，正方形ABC。的面積是120平方厘米，

7、石是的中點，F(xiàn)是8C的中 點，四邊形BGHF的面積是 平方厘米.【例12】如圖，四邊形A8CQ是矩形，E、F分別是他、8。上的點，且4七=京8, CF，BC ,與CE相交于G,若矩形A8CQ的面積為120,貝”A4EG與MX/ 4的面積之和為.【例13】正六邊形A , A, A, 4,人，A的面積是2009平方厘米，4，區(qū)，冬,a, 及，線分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米.【例14】已知四邊形ABC。，CHFG為正方形,S甲:S”l:8, n與是兩個正方形的邊 長，求“： = ?R【例15】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中4個的面積已經(jīng)標在圖中,那么,陰影三

8、角形的面積是【例16】如右圖，三角形ABC中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形ABC的面 積是1,則三角形ABE的面積為,三角形AGE的面積為, 三角形GHI的面積為.【鞏固】 如右圖，三角形A3C中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形GH/的 面積是1,求三角形ABC的面積.【鞏固】如圖，中比）=2以，CE = 2EB三角形面積的 倍.AF = 2FC ,那么SABC的面積是陰影【鞏固】如圖在ZABC中,DC _ EA _ FB _ 1 J GH/的面積占彳占 DB = EC = E4 = 2 J 卜48劭而積AEBD cEHBD

9、 c【鞏固】如圖在ZABC中,DC _EA _FB 代GH/的而積 AA/i 而一說一標一鏟卜ABCfi勺面積【鞏固】如右圖，三角形ABC中,AF: FB = BD: DC = CE:AE = 4:3, 且三角形 ABC 的面積是74,求角形G4/的面積.【例17】三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F(xiàn)為 BC中點，求陰影部分的面積.AA【例18】如右圖，AABC中，G是AC的中點，。、E、產(chǎn)是3C邊上的四等分點， 4?與8G交于M, 4；與8G交于N,已知八鉆河的面積比四邊形尸CGN的 面積大7.2平方厘米，則人鉆。的面積是多少平方厘米？【鞏固】如圖，AA8C中，點

10、Q是邊AC的中點，點石、F是邊8c的三等分點,若AABC的面積為1 ,那么四邊形CDMF的面積是.【例19】如圖，等腰直角三角形DEF的斜邊在等腰直角三角形ABC的斜邊上， 連接AE、AD、AF,于是整個圖形被分成五塊小三角形.圖中已標出其 中三塊的面積，那么aABC的面積是.(36)【例20】如圖，三角形的面積是1, BD = DE = EC , CF = FG = GA,三角形ABC被 分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？【鞏固】如圖，A43C的面積為1 ,點O、七是8C邊的三等分點，點F、G是AC 邊的三等分點，那么四邊形JK/的面積是多少？【例21 如右圖，面積為 1 的 A4BC 中，BD:DE:EC = :2: ,