工程力學(xué)課件平面力系的平衡問(wèn)題

1、工程力學(xué)課件平面力系的平衡問(wèn)題12思路：研究對(duì)象受力分析求解一、 平面力系平衡問(wèn)題的分析方法ABC靜力平衡問(wèn)題，一般有二類(lèi)： 對(duì)于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。 對(duì)于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿(mǎn)足的條件及約束力。60ABCDF3 求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫(huà)整體受力圖。 注意BC為二力桿。驗(yàn)算，再寫(xiě)一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿(mǎn)足。如 MB(FF+Fq-2FAy=1+1-2=0 結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。 Fx=FAx-FCcos30=0 ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m L=2m1.5mFq=2q=1 KNFCFAy

2、FAxxyFy=FAy+FCsin30-F-Fq=0 MA(F)=FCF-FqL/2=0 3）解方程得到; FC=4KN; FAy=1KN; FAx=2KN 矩心取在二未知力交點(diǎn)A處，力矩方程中只有一個(gè)未知量FC，可直接求解。4例 夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸， 求P力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F 解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFA MA(F)=FB.ABcos-FC.ABsin=0 FC=Fctga。 越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點(diǎn)O，

3、 則由力矩方程直接可得: MO(F)=F ABcos-FC ABsin=0 FC=Fctg 5例 梁ACB如圖。梁上起重小車(chē)重W=50kN，吊 重 P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個(gè)方程中含三個(gè)未知約束反力，不足以求解。 列平衡方程：Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-P-W=0 -(2)MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA6 2)小車(chē)為研究對(duì)象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=F

4、D+FE-W-P=0 FD=10kN3)取BC梁為研究對(duì)象，有： MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 將FBy代入(2)、(3)式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m有時(shí)需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF EFCyFByFCx=07補(bǔ)充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B 及 D處的約束力。解：研究整體有： Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB=0 FAx=-FB=-F/2 研究CD桿，有

5、：MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FACFx=FDx-FACcos45=0 FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請(qǐng)驗(yàn)算：AB桿 (帶銷(xiāo)A) 受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy8求解平面力系平衡問(wèn)題的一般方法和步驟為：弄清題意，標(biāo)出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問(wèn)題否？選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心，注意正負(fù)號(hào)。檢查結(jié)果，驗(yàn)算補(bǔ)充選取適當(dāng)研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零； 力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩即為M。9問(wèn)題1： 不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu) 在圖示平衡位置時(shí)F1、 F2之關(guān)系。

6、問(wèn)題2: 三鉸拱受力偶M作用， 不計(jì)拱的重量，求A、 B處的約束力。bMABac4560ABCDF1F2問(wèn)題3：試求圖示雙跨梁A端 的約束力。ABCFq2aaa4510問(wèn)題1. 不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí) F1、 F2之關(guān)系。4560ABCDF1 F2FDFCME(F)=F2AE-F1sin60BE=0 注意： BE=AB；AE= AB 可解得： F2=.F12E 11問(wèn)題2: 三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量， 求A、B處的約束力。解: BC為二力桿; 外力只有力偶M, 以AC為軸寫(xiě)投影方程可知， A處反力為FAy=0 , 整體受力如圖所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy

7、=0FCFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-0有0(F)=AM又由可解得BF12問(wèn)題2再論: 不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力。FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過(guò)其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。13問(wèn)題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對(duì)象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體： 2）研究BC，受力如圖。 求出FC即可。 MB(F)=2aFCcos45-Fa-qa2/2=02一般力系，3個(gè)方程， 4個(gè)未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45FCFAyFAxMA14討論：判斷下述

8、分析的正誤。MA = M+Fa-2Pa 固定鉸的約束力作用于銷(xiāo)釘上。 多桿用同一銷(xiāo)釘連接，討論某桿時(shí)，須考慮各桿與銷(xiāo)釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx =F ; FAy =P ;MA = M ？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy15第一種情形ACBlllF問(wèn)題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F l MA ( F ) = 0 FB d - F 2l = 0FB=22F MB ( F ) = 0 FAy l +Fl =

9、0FAy=-FFx = 0FAx+FBcos = 0FAx=-2F16第二種情形lllACBM=F lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F l考察BC桿的平衡: FCx= FBx; FCy= FBy MB ( F ) = 0 : FCylBC+Fl = 02= - F 2 FCy= FBy再考察AB桿， 由 MA ( F ) = 0 可求得FBx17由ABD桿的平衡有： MA ( F ) = 0 2 FBx= F 2 MB ( F ) = 0 FAy= 0 MC ( F ) = 0 :FAx= FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種

10、情形lllACBM=F l更簡(jiǎn)單方法以整體為研究對(duì)象如何？FAxlllABDCM=F lFCxFAyFCy?BCM=F lFCxFBxllABDFBxFAx?18二、 靜不定問(wèn)題的概念1)靜定問(wèn)題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫(xiě)出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問(wèn)題 - 未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例1 系統(tǒng)二根桿六個(gè)平衡方程； 約束三處鉸鏈六個(gè)反力，靜定。 若將BC視為二力桿， 則平衡方程減少二個(gè)， 但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。19本題作用于小車(chē)的是 平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

11、三個(gè)物體8個(gè)平衡方程；約束 固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車(chē)輪接觸 處各1共8個(gè)反力， 是靜定問(wèn)題。如例3系統(tǒng)三個(gè)物體9個(gè)方程， 反力只有8個(gè)。小車(chē)可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng) 約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP202）靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題 完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)，問(wèn)題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱(chēng)靜不定問(wèn)題。3n=3; m=4一次靜不定3n=3; m=6三次靜不定3n=3; m=4一次靜不定約束反力數(shù) m系統(tǒng)中物體數(shù) n 3n 靜不定問(wèn)題靜不定的次數(shù)為： k=m-3n21MAB討論：試判斷下列問(wèn)題的靜定性。約束力數(shù) m=8 物

12、體數(shù) n=3 m3n 未完全約束 m=6 n=2 m=3n靜定結(jié)構(gòu) m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n靜定結(jié)構(gòu)60ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy22第一次作業(yè)： 思考題：3-1， 習(xí)題：3-1，3-3，3-5，3-6。233.2 含摩擦的平衡問(wèn)題摩擦給運(yùn)動(dòng)帶來(lái)阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可進(jìn)行傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)、自鎖。 摩擦是二物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦。一、靜滑動(dòng)摩擦AOmCP512DDdaABWPABFLFTAFLFTFNAFBFNAFFNBFF0FT靜止滑動(dòng)Fma

13、xFTC24只要滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。 摩擦力F也是被動(dòng)力，它阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但不能完全約束物體的運(yùn)動(dòng)。 F作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。APTNFVf是靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動(dòng)）摩擦力與法向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNF0FT靜止滑動(dòng)FmaxFTC FT=0 , 靜止，無(wú)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；F=00FTFTc , 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 一般有 FTF1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy27例 圖示懸臂可沿柱滑動(dòng), 摩擦系數(shù)為f。為保證 不卡住，試確定力F0的作用位置。解

14、：1) F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FND-FNA=0； Fy=FA+FD-F0=0 MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0 及 FA=fFNA , FD= fFND 解得： FNA=FND=F0/2f, xmax=h/2f.懸臂不卡住，應(yīng)有 xmaxh/2f而與F0無(wú)關(guān)。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA28例 圖示懸臂可沿柱滑動(dòng), 摩擦系數(shù)為f。為保證不 卡住，試確定力P的作用位置。解：2) F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài) x=xmax；有： Fx=FNB-FNC=0； Fy=F0-FB-FC=0 MB(F)=FCd-FNCh-F0(

15、xmax-d/2)=0 及 FB=fFNB , FC= fFNC 同樣解得： FNB=FNC=F0/2f xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應(yīng)有 xmaxh/2f，而與F0無(wú)關(guān)；與上下滑無(wú)關(guān)。29含摩擦的平衡問(wèn)題的分析方法：研究對(duì)象 受力分析 平衡方程求解先回憶靜力平衡問(wèn)題的一般方法：（此時(shí)F=Fmax） 可滑動(dòng)的臨界情況分析摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。加摩擦方程 Fmax=fFN解有一個(gè)區(qū)間范圍WaFTBA30討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動(dòng)力之合力FA的作用線(xiàn)與法向夾角為a，若ar若ar, 則無(wú)論FA多小，物體都不能保持平衡。31 2.夾

16、緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑 3. 破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)） 1. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為 ，試問(wèn)a為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問(wèn)題：321. 木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為 ，試問(wèn)a為多大時(shí) 木楔打入后才不致退出？aa 不計(jì)重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線(xiàn)且沿鉛垂方向(對(duì)稱(chēng)性)。臨界狀態(tài)有： a=r; 自鎖條件為： a rFR1F1maxF2maxrFR2FN133問(wèn)題： 2. 夾緊裝置如圖。夾緊

17、后OA水平，欲在P力除去 后工件不松，求偏心距e.自鎖條件： a tga=e/(d/2) tg=f得: ef d/2aFROAFA 3. 破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3, 求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)） 二力平衡必共線(xiàn)。臨界狀態(tài): tga=f(D+d)cosa/2=256 解得：d34mmfa1Cosa=(1+f ) 2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa34討論二：皮帶傳動(dòng)的摩擦力 皮帶在輪O上，包角。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。研究皮帶微段。 法向壓力dFN，摩擦力dF，二端拉力為FT+dFT和FT。在臨界狀態(tài)下，dF=fdFN。FT1oM

18、bFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮帶受力。 接觸面法向分布?jí)毫N、摩擦力F都是的函數(shù)。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程： Fx=FTcos(d/2)+fdFN -(FT+dFT)cos(d/2)=0 Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=035注意d是小量，有sin(d/2)=d/2, cos(d/2)=1；略去二階小量 dFTd；得到： fdFN=dFT 和 dFN=FTd; 再消去dFN， 即得： dFT/FT=fd 積分,注意=0時(shí)，F(xiàn)T=FT1；=時(shí)，F(xiàn)T=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方

19、程已得到： Fx=FTcos(d/2)+fdFN-(FT+dFT)cos(d/2)=0 Fy=dFN-FTsin(d/2) -(FT+dFT)sin(d/2)=0可見(jiàn)：1)若f=0，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪O不能傳遞扭矩。2)摩擦存在時(shí)，有扭矩M作用在輪上，且 M=FT2-FT1r=FT2r1-exp(-f ).3)摩擦系數(shù)f 越大，皮帶包角越大，輪徑r越大， 可傳遞的扭矩M越大。363.3 平面桁架橋梁結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)： 桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桁架： 桿組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架: 桿軸線(xiàn)和外力在同一平面內(nèi)。37平面桁架的 基本假設(shè): 2) 載荷都在桁架平面內(nèi)，且作用于桁架的節(jié)點(diǎn)處， 或可

20、作為集中載荷分配到節(jié)點(diǎn)處。故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點(diǎn)處受力 的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。1) 桿均為無(wú)重直桿， 節(jié)點(diǎn)均為鉸接點(diǎn)。3) 桁架只在節(jié)點(diǎn)處受到約束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB38無(wú)余桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個(gè)節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有2n個(gè)平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個(gè)約束，m+3=2n，是靜定問(wèn)題。 基本三角形有三根桿和三個(gè)節(jié)點(diǎn)，其余(n-3)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)二根桿，故無(wú)余桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點(diǎn)數(shù)n應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足：m=3+2(n-3), 即 m=2n-3顯然，無(wú)余桿桁架是靜定桁架。有余桿桁架（m2n-3）則是靜不定的。A

21、B123C45D67保證桁架形狀的必要條件： 以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。39F討論下列桁架及問(wèn)題的靜定性桿數(shù)m=7 節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5m=2n-3 靜定桁架約束力3 靜定問(wèn)題 靜定桁架，反力4一次靜不定問(wèn)題 桿數(shù)m=6 節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4m-(2n-3)=1 靜不定桁架約束力3 一次靜不定 m-(2n-3)=2 靜不定桁架，約束力4 三次靜不定問(wèn)題 F403.3.1 節(jié)點(diǎn)法用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：1)研究整體，求約束反力。求反力FAx、FAy 由A節(jié)點(diǎn)平衡求F1、F2 由D節(jié)點(diǎn)求F3、F4 由 C節(jié)點(diǎn)求F5、F6 3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始， 逐一列

22、平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。2)選取節(jié)點(diǎn)，畫(huà)受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF2F3F4CFCF1F3F6F541例 桁架如圖。已知，a=4m，b=3m。求各桿內(nèi)力。XAYAYB1)研究整體，受力如圖，有AB1CD23645789PQaaab42XAYAS2S1A2）研究節(jié)點(diǎn)A，受力如圖。有：S1S4S3C3）研究節(jié)點(diǎn)C，受力如圖。有：AB1CD23645789PQaaab43S2S3S5S6D4）研究節(jié)點(diǎn)D，有KPS4S5S7S85）研究節(jié)點(diǎn)K，有AB1CD23645789PQaaab44或研究節(jié)點(diǎn)

23、B，有6）研究節(jié)點(diǎn)E，有ES6S7QS9S8YBS9BAB1CD23645789PQaaab45應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法，可以判斷下列幾種情況下那些是零桿000零桿零桿零桿463.3.2 截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對(duì)象，畫(huà)受 力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。截面法求解桁架問(wèn)題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析， 其分析方法可歸納為：3)列平衡方程求解。因?yàn)樽饔迷谘芯繉?duì)象上的是平 面一般力系，可以求解三個(gè)未知量。1)研究整體，求約束反力。47例 求圖示桁架中各桿內(nèi)力。解：1)由整體求得： FAx=0; FAy=FE/3; FB=2FE/32)截取上部研究，受力如圖。 有 Fx=0 F2=0 MD(F)=-FE(2a

24、/3)-F3a=0 F3=-2FE/3 Fy=-FE-F3-F1=0 F1=-FE/3綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究節(jié)點(diǎn)D，可求得 F4、F6；4)研究節(jié)點(diǎn)C，可求得 F5、F6； 5)研究節(jié)點(diǎn)B，可求得 F8、F9； 6)研究節(jié)點(diǎn)A，可求得 F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA48討論1：求桁架指定截面內(nèi)力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F349AKEBDCJF討論2：廣告牌由

25、桿系支撐，風(fēng)載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？思考：零桿是否可以不要？KEDCJF FCB=0D FCD=0EKCJF50第二次作業(yè)： 思考題：3-4 習(xí)題：3-13, 3-14, 3-16(b)，3-17(b)。 513.4 空間力系的平衡問(wèn)題 力F 為Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy；顯然有： F=Fx+Fy+Fz；且各分力為：由定義知后者正是力在各軸上的投影。故正交坐標(biāo)系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到坐標(biāo)面，再投影到軸上。1. 力在空間坐標(biāo)軸上的投影AAabxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空間中力的投影及力對(duì)軸之矩52物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。以門(mén)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為

26、例來(lái)討論。 顯然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=02.力對(duì)軸之矩 將力F分解成Fz和Fxy，可見(jiàn) Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy) 力F對(duì)軸z之矩Mz(F)等于力在垂直于z軸之平面內(nèi)的分量Fxy對(duì)軸z與該平面交點(diǎn)O之矩。 正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行，對(duì)軸之矩為零故力F對(duì)軸z之矩可寫(xiě)為：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh zF1FF2 yhOxFxyFz53例: 試寫(xiě)出圖中力F在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30 NMx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 N.m My(F)=-FZx

27、=-6 N.m Mz(F)=Fyx利用合力矩定理，進(jìn)一步有： Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fxy+ FyxOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAF=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ54二、力偶矩的矢量表示故：力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移動(dòng)。 空間力偶系的合成可按力偶矩矢量求和進(jìn)行。力偶矩矢 M：矢的長(zhǎng)度-力偶矩的大小； 矢的指向-力偶作用平面的法向； 轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則確定。1）力偶矩矢：空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于 力偶矩的大??； 力偶作用平面； 力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。F xyzF M552）空間中力對(duì)點(diǎn)之矩與力

28、對(duì)軸之矩間的關(guān)系如圖，力F對(duì)O點(diǎn)之矩矢MO垂直于OAB平面且大小為： MO=MO(F)=Fh=2OABAzBOMOFh另一方面：力F 對(duì)軸z之矩等于其在垂直于軸 z之的平面內(nèi)的分量F 對(duì)交點(diǎn)O之矩，即：故可知：力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過(guò)該點(diǎn)任一軸上 的投影等于力對(duì)該軸之矩。Mz(F)=M0(F )=2Oab=2OABcos= MOcosF abMzg56三、空間一般力系的簡(jiǎn)化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點(diǎn)，得到力F 和作用于A(yíng)bc面以力偶矩矢表示的力偶M?？臻g匯交力系空間力偶系主矩MO力偶矩矢 表示主矢FR匯交于O空間一般力系向某點(diǎn) O平移2.空間力系的簡(jiǎn)化力F向A點(diǎn)平移F 和M, FM x

29、yzOFbAcF M=MO(F)57當(dāng)主矢和主矩都等于零時(shí)，空間力系為平衡力系?？臻g一般力系向某點(diǎn) O平移主矢FR主矩MO若FR 0，MO=0；為一合力，且 FR=FR空間力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果：若FR=0，MO0；為一合力偶且 M=MO2) MOFR，在MO、FR平面內(nèi)將矢量MO分解，得到力FR和與其平行的力偶矩矢MR，稱(chēng)為力螺旋。1)MOFR，反向應(yīng)用力的平移定理，得到一合力。若FR 0，MO0；x yzOFRMOFRMOMRMLMROFR583.空間力系的平衡方程Fx=0； Fy=0； Fz=0Mx(F)=0； My(F)=0； Mz(F)=0空間一般力系由FR=0；MO=0 可寫(xiě)出平衡方程

30、為 將原點(diǎn)取在匯交點(diǎn)， 有 Mx(F)0, My(F)0; Mz(F)0平衡方程是： Fx=0； Fy=0； Fz=0空間匯交力系xyzA 取y軸與各力平行， 有 Fx0; Fz0; My(F)0 。 平衡方程是： Fy=0； Mx(F)=0； Mz(F)=0空間平行力系xzy59四、空間平衡問(wèn)題的求解 FAx FAy FAz FBy FBz FCt FCr FDt FDr Fx Fy Fz Mx(F) My(F) Mz(F)例3.11 列傳動(dòng)軸的平衡方程。解：畫(huà)受力圖。1. 直接求解法0 0 0 FByAB 0 0 -FCrAC 0 FDrAD 0 0 0 0 -FBzAB FCtAC 0

31、FDtAD 00 0 0 0 0 -FCtr1 0 FDtr2 00 0 FAz 0 FBz -FCt 0 -FDt 00 FAy 0 FBy 0 0 -FCr 0 FDrFAx 0 0 0 0 0 0 0 0 xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz 列表給出各力 在軸上的投影及對(duì)軸之矩。60 Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+

32、FDrAD+FByAB=0 -(6) 利用上述六個(gè)方程，除可求五個(gè)約束反力外，還可確定平衡時(shí)軸所傳遞的載荷。由表中各行可列出六個(gè)平衡方程為：xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAz612. 投影法空間平衡力系在任一平面上的投影分量所形成的平面力系，必為平衡力系。如由Axy平面力系可寫(xiě)出平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) (Mz(F)=) MA(F)=-FCrAC+FDrAD+FByAB=0 -(6)xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABCD yxFCrFDrFByFAyFA

33、x62同理，由Axz平面力系可寫(xiě)方程(1) (3) (5)； 由Ayz平面力系可寫(xiě)出平衡方程(2) (3) (4)。 空間力系投影到三個(gè)坐標(biāo)平面上，即可轉(zhuǎn)化為平面力系的平衡問(wèn)題。 優(yōu)點(diǎn)是圖形簡(jiǎn)明，幾何關(guān)系清楚，工程常用。xzA yFCrBCDFCtFDrFDtFByFBzFAyFAxFAzABDxzFDtFCtCFBzFAxFAzyzAFAyFByFAzFBzFCrFDtFDrFCt63討論：試分析圖中鋼架各銷(xiāo)餃處的約束反力。Z方向無(wú)載荷作用，設(shè)各處Z方向反力為零。Fz=0 (自動(dòng)滿(mǎn)足)Mz2(F)=0 FAy=F1;Fy=0 FBy=-FCy; Mx(F)=-150F1+50FCy-50FBy=0 FCy=3F1/2 Fx=FAx+FBx+FCx+F2=0My(F)=-150F2-50FCx+50FBx=0剩余二個(gè)方程，不足以確定FAx、FBx、FCx三個(gè)未知量；需要考慮三鉸裝配時(shí)在 x方向的間隙情況。10050cm150cmABCcmz1x yz250cmCF1F2FCyFCxFByFBxFAyFAx64五、重心起重機(jī)翻傾；船舶穩(wěn)定；旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)重力 W=mg, 重心在質(zhì)量對(duì)稱(chēng)軸上。重心是物體各部分所受重力之合力的作用點(diǎn)。2. 實(shí)驗(yàn)法（利用力的平衡）垂吊法重心不