彈性力學與有限元分析-第四章-平面問題有限元分析及程序設計-PPT課件

1、第四章 平面問題有限元分析及程序設計4.1 平面問題單元離散4.2 平面問題單元位移模式4.3 平面問題單元分析4.4 平面問題整體分析4.5 平面問題有限元程序設計有限單元法及程序設計有限元網(wǎng)格劃分的基本原則網(wǎng)格數(shù)目網(wǎng)格疏密單元階次網(wǎng)格質(zhì)量網(wǎng)格分界面和分界點位移協(xié)調(diào)性網(wǎng)格布局結點和單元編號網(wǎng)格自動剖分網(wǎng)格數(shù)量20萬最小網(wǎng)格尺度150m最大網(wǎng)格尺度3500m平面問題單元：平面應力：三角形板平面應變：三棱柱平面問題結點：平面問題約束：平面問題荷載：三角形單元絞結點絞支座、鏈桿結點荷載和非結點荷載幾個重要概念：4.1 平面問題單元離散基本量和方程的矩陣表示體積力面力應力應變基本量和方程的矩陣表示位

2、移物理方程簡寫為只要知道了單元的位移函數(shù)，就可由幾何方程求出應變，再由物理方程就可求出應力。幾何方程：4.2 單元位移模式有限單元法：未知量是結點的位移分量那么單元內(nèi)任意一點的位移跟結點位移有什么關系呢？因此說，只要知道了位移場的分布，即可解決上述問題。i (xi, yi)位移模式：單元位移場分布形式4.2 單元位移模式xyj (xj, yj)m (xm, ym)建立一個坐標系，如下圖所示：假定位移模式如下所示：三個結點的位移也必定滿足位移場函數(shù)，因此有：位移函數(shù)的選取是任意的，所選取的位移函數(shù)越接近于真實情況，所求得的形變和內(nèi)力結果就越準確。最簡單的位移場函數(shù)是線性函數(shù)，即：位移模式的選取邊

3、界條件：在三個結點也應滿足位移場函數(shù)；i 結點j 結點m 結點其中， 、 、 、 、 、 是系數(shù)，由邊界條件求得。4.2 單元位移模式4.2 單元位移模式寫成矩陣形式位移模式的選取因此， 、 、 是 、 、 的線性函數(shù)；同樣， 、 、 是 、 、 的線性函數(shù)；代入位移場函數(shù)，則 是 、 、 的線性函數(shù)，即：其中， 、 、 是系數(shù)，是 、 的線性函數(shù)；可以求得：其中：注意：i, j, m 必須是逆時針排列，否則面積為負。(i, j, m )同理，可求得 、 ，且下標可輪換 ；同理可得：4.2 單元位移模式上式也可以寫成：形函數(shù)的性質(zhì)：(i, j, m) 、 、 表明了單元的位移形態(tài)（位移在單元的

4、變化規(guī)律）稱為形態(tài)函數(shù)，簡稱形函數(shù) 、 、 是坐標 (x 、y ) 的線性函數(shù)；11/21/3(i, j, m)4.2 單元位移模式位移函數(shù)：由于 、 、 是坐標 (x 、y ) 的線性函數(shù)，因此， u、v 也是 、 的線性函數(shù)。4.2 單元位移模式因此， u、v 在坐標空間應該為一平面。位移寫成向量形式：稱為形函數(shù)矩陣。4.2 單元位移模式有限元分析中，應力轉(zhuǎn)換矩陣、剛度矩陣都是依賴于位移模式建立起來的，因此，位移模式必須能夠反映彈性體的真實位移形態(tài)，才能得到正確的解答。位移模式需要滿足的條件：（1）位移模式必須能夠反映單元的剛體位移；（2）位移模式必須能夠反映單元的常應變；（3）位移模式盡

5、可能反映位移的連續(xù)性；必要條件充分條件剛體平動剛體轉(zhuǎn)動作業(yè)：P141 6-14.2 單元位移模式單元應變4.3 平面問題的單元分析4.3.1 單元的應變向量由幾何方程求。4.3 平面問題的單元分析4.3.1 單元的應變向量可以簡寫為:其中:是單元的應變矩陣，且:所以:(i, j, m)常量因此，單元應變是常數(shù)。所以，三角形單元又稱為常應變單元。4.3 平面問題的單元分析4.3.2 單元的應力向量單元應力由物理方程求。其中:其中:是單元的應力矩陣，且:平面應力:平面應變:(i, j, m)常量因此，應力也與坐標無關，所以單元應力是常數(shù)。4.3 平面問題的單元分析單元性質(zhì)分析位移是x、y的線性函數(shù)

6、；誤差是 x、 y的二階小量；應變應力常量；相鄰單元連續(xù)相鄰單元不連續(xù)誤差是 x、 y的一階小量；提高精度方法：1）減小單元尺寸；2）采用高次位移函數(shù)，提高位移、應變和應力的精度；收斂速度和精度估計 若單元的插值函數(shù)是完備而協(xié)調(diào)的，當單元尺寸不斷縮小而趨于零時，有限元解將趨于真正解。 在有些情況下，如果用于有限元場函數(shù)近似解的多項式能精確地擬合真正解，則在有限數(shù)目的單元劃分（甚至僅僅是一個單元）的條件下，也能得到精確的解答。例如真正解是二次函數(shù)，若有限元的插值函數(shù)也包含了二次的完全多項式，則有限元解就能得到精確的解答。由此我們可以得到精度與單元尺寸的關系。例如位移可以展開成Taylor級數(shù)：這

7、只是形式上的精度估計，并不能對有限元解的誤差做出具體的估計。而后者在實際分析工作中更有用。一般可以通過兩種途徑解決：單元結點力4.3 平面問題的單元分析4.3.3 單元的 剛度矩陣單元結點位移單元應力向量：給定一個虛位移：單元虛應變：i (xi, yi)xyj (xj, yj)m (xm, ym)虛功原理:內(nèi)力虛功等于外力虛功4.3 平面問題的單元分析4.3.3 單元的 剛度矩陣t 為單元厚度由于虛位移是任意給定的可能位移，故：其中， 是單元的剛度矩陣 (6 6)；4.3 平面問題的單元分析單元的剛度矩陣為：寫成分塊矩陣：其中：平面應力：平面應變：寫成元素矩陣：4.3 平面問題的單元分析單元剛

8、度矩陣的特點：1) 對稱性：2) 與單元尺寸無關，放大或縮小尺寸，單元剛度矩陣不變；3）奇異性：它不存在逆陣4）主元（對角線元素）恒正4.3 平面問題的單元分析單元的剛度矩陣為：單元的剛度矩陣為：作用在單元上的荷載，既有結點荷載，也有非結點荷載，因此需要將非結點荷載轉(zhuǎn)換成等效的結點荷載。4.3.4 等效結點荷載等效結點荷載和原荷載在任何虛位移產(chǎn)生的虛功相等；剛體：等效原則：4.3 平面問題的單元分析結點荷載：非結點荷載：直接集成到荷載列向量；等效成結點荷載；原荷載與等效結點荷載在任一軸上的投影之和相等，對任一軸的力矩之和也相等。等效結點荷載向量：靜力等效4.3 平面問題的單元分析1）體積力的等

9、效結點荷載單元結點為 i, j, m，密度為 ，任意一點的體積力向量為：假設單元各結點發(fā)生虛位移：則單元內(nèi)任意一點的虛位移為：根據(jù)虛功原理：4.3 平面問題的單元分析1）體積力的等效結點荷載因此，則有：一般情況下，重力與y軸方向相反：因此，則有：結論：三個結點各承擔總荷載的三分之一。4.3 平面問題的單元分析2）分布荷載的等效結點荷載ixyjm如圖所示均布荷載，集度為q，則：則等效結點荷載為：結論：沿該荷載作用的邊上的兩個結點各承擔總荷載的一半。如圖所示線性分布荷載：ij連線與x軸夾角為xyijmqxyijm4.4.1 整體剛度矩陣的集成步驟1、定位單元結點編號 2、累加整體結點編號 單元剛度

10、系數(shù) 整體剛度系數(shù)4.4 整體剛度矩陣的集成4.4.1 整體剛度矩陣的集成步驟例：P1214.4 整體剛度矩陣的集成4.4.2 邊界條件的處理方法4.4 整體剛度矩陣的集成1）劃行劃列法2）0、1置換法（填0置1法）3）乘大數(shù)法方法同前方法同前方法同前4.5 程序設計4.5.1 程序框圖輸入數(shù)據(jù)單元等效結點荷載集成整體剛度矩陣元素約束條件處理、解方程計算單元內(nèi)力、約束反力單元循環(huán)包括單元、結點、材料、荷載、約束數(shù)據(jù)單元剛度矩陣集成整體等效結點荷載向量元素形成整體平衡方程往年考題解析作業(yè)應用變分原理導出有限元基本方程最近的研究課題系泊浮體在波群作用下的運動響應錦州大筆架山天橋修復方案研究營口白沙灣岸灘沖刷防治措施研究狹長型海灣污染綜合治理措施研