第二章分子動理學理論的平衡態(tài)理論.doc

1、第二章 分子動理學理論的平衡態(tài)理論教學目的與要求：掌握速率分布概率密度（速率分布函數(shù)） 的意義， 掌握麥克斯韋速率分布； 理解速度空 間、麥克斯韋速度分布， 了解從麥克斯韋速度分布導出麥克斯韋速率分布； 了解氣體分子碰 壁數(shù)的應用；了解等溫大氣壓強公式與玻耳茲曼分布；掌握能量均分定理。教學方法：課堂講授與討論相結(jié)合。 適當進行課堂習題練習與思考題的討論， 培養(yǎng)學生的思維能力。 教學重點：速率分布概率密度（速率分布函數(shù)） 、麥克斯韋速率分布與能量均分定理。教學時數(shù)： 16 學時主要教學內(nèi)容：第一節(jié) 概率論的基本知識一、伽爾頓板實驗 A、在一定的宏觀條件下，大量偶然事件，在整體上表現(xiàn)出確定的規(guī)律-

2、 統(tǒng)計規(guī)律B、統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨著漲落現(xiàn)象二、等概率性與概率的基本知識1、隨機事件：在一定條件下，某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生。2、概率的定義： 在相同的條件下重復同一實驗，在總次數(shù)N 足夠多的情況下（即 N），計算所出現(xiàn)某一事件的次數(shù) NL，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是 該事件出現(xiàn)的概率。3、等概率性在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些 （或更小些） 情況下， 每一事件出現(xiàn)的概率 都應相等。統(tǒng)計物理的基本假定： （等概率原理）如果對于系統(tǒng)的各個可能的狀態(tài)沒有更多的知識， 就可暫時假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相 等。4、概率的基本性質(zhì)：n（1） 歸一化：Pr 1r1（2） 概率相加法則： n 個互相排

3、斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和。（3） 概率相乘法則： 同時或依次發(fā)生的，互不相關（或相互統(tǒng)計獨立）的事件發(fā)生的概率。三、平均值及其運算法則1、平均值N1u1 N2u2NiiNiuiiN當N時： uP1u1 P2u2Piui 說明：應用方便，但只適用于N 非常大的所有事i 件。2、漲落（散度、散差） （相對方均根偏差）物理意義：2 1/2( u)21/2 ( u)21/2 ( u)rms ( ) u u u表示隨機變量在平均值附近散開分布的程度第二節(jié) 麥克斯韋速率分布、速率分布概率密度（速率分布函數(shù)）1、按位置分布的概率密度射擊點在靶上的分布 （圖 2.2 ）黑點沿 x 方向分布的概

4、率密度：表示黑點沿 x 方向的相對密集程度。x2f (x)dxx1dNxf（x） xNdx 位置處于 x1到x2范圍內(nèi)的概率f (x)dx1 （歸一化條件）xf （x）dx （注意：對所有的黑點求平均）黑點沿y 方向分布的概率密度：表示黑點沿 y 方向的相對密集程度。dNyf（y） yNdy黑點沿平面位置分布的概率密度： 表示黑點在某一區(qū)域內(nèi)的相對密集程度。dNx,yf（x,y） x,y f x f yNdxdy2、速率分布函數(shù) （概率分布函數(shù)的一種）dNvf（v） vNdv只與速率 v 有關 ,或說, 只是 v 的函數(shù)含義：速率在附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比?；蛞粋€分子的速率

5、在速率附近單位速率區(qū)間的概率 - 概率密度。速率分布函數(shù)的歸一化條件f (x)dx 1 (歸一化條件)f( )dN曲線下面積恒為 13、概率分布函數(shù)的普遍意義分子按能量的概率分布函數(shù)物理意義 ： 能量在附近f ( ) dNNd - +d )單位能量間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 分子按速度的概率分布函數(shù)：f ( )物理意義：dNNddNNd xd yd z速度在 附近單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。分子按空間位置和速度的概率分布函數(shù)f(r, )物理意義：dNr,Ndrd位置在 r 附近( x-x+dx,y-y+dy,z-z+dz 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。dNr,Ndxdydz

6、d xd yd z單位長度間隔內(nèi) , 速度在 附近單位速度間隔、麥克斯韋速率分布1、麥克斯韋速率分布無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子按速率分布：3 m f( )d 4 ( m )2 2 kT f(v) ： 麥克斯韋速率分布概率密度。m2e 2kT2d物理意義：速率在附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。注意：1)僅是分子質(zhì)量及氣體溫度的函數(shù)2)麥克斯韋速率分布規(guī)律是統(tǒng)計規(guī)律，只適用于大量分子組成的集體。也有漲落，非常小。2、麥克斯韋速率分布曲線：f ( )3、三種速率Op 所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占分子總數(shù)的百物理意義： 分子以速率 p 出現(xiàn)的幾率最大?；颍喝舭颜麄€速率范圍分成許多相等的小

7、區(qū)間，則分比最大。2)平均速率0 f ( )d8kT 8RT mMRT1.60 RMT3)方均根速率3kT0)drms2f(3RTRT1.73M三種速率的比較適用條件： 理想氣體分子大小 : Prms它們都MT應用:p -用于討論速率分布用于討論分子碰撞-r-ms用于計算分子的平均平動動能例題：三、麥克斯韋速率分布律的實驗證明1、朗繆爾實驗裝置Hg金屬 蒸狹2、實驗原理改變，從分子束中選擇出不同速率的分子，測定其強度。凹槽有一定寬度，實際上選出的是某一速率范圍內(nèi)的分子數(shù)。金屬蒸氣的分子速率分布與分子束中的分子速率分布并非一回事F( )df ( )d、速度空間1、直角坐標表示的速度空間第三節(jié) 麥

8、克斯韋速度分布坐標軸： 速度分量 vx 、vy 、vz從原點向代表點所引矢量： 表示分子速度方向和大小。2、代表點在速度空間中的分布速度分布概率密度物理意義：f(vx,vy,vz ) dN(vx,vy,vz)Ndvxdvy dvzA、表示速度空間中體積為dvx dv y dv z的小體積元中代表點的相對密集程度。B、在速度 附近(xxy, z z d z )單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。f(vx)dvx物理意義：dN(vx)Nf (vx )dvxA、任一分子處在速度空間垂直于 vx 軸的無窮大平板中的概率。B、分子速度的 x 分量在 vxvx+dvx 的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。二

9、、麥克斯韋速度分布無外場作用，平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布：f(x, y, z)d xd3m( x2m 2 x () 2 e2 kTyd2y2kTzz2)d xd yd z物理意義： A、任一分子處在速度空間中任一體積為dvx dv y dv z 的小立方體中的概率。B、 速度在附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。m 1m x2f ( x)d x ( m )2 e 2kT d2 kT三、從麥克斯韋速度分布導出速率分布vzdv x第四節(jié) 氣體分子碰壁數(shù)及其應用、由麥克斯韋速度分布導出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式由麥克斯韋速度分布導出氣體分子碰壁數(shù) 速度在 ，斜柱體內(nèi)的分子數(shù)目N( )dv ng(

10、)vxd 只有 vx0 的才打到墻壁 NN( )dv n 0 g( x)vxd x2、由麥克斯韋速度分布導出氣體壓強公式P 2mvxN(v)dv n22mg(vx )vx dvxn mg(vx )vx2dvx2 1 2 nmvxnmvx3以上推導用到g(vy)vy2dvyg(vz )vz2dvz 1、瀉流及其應用的簡單介紹 瀉流的速率分布率3 mv2 2kTN( )3e mv 2kT第五節(jié) 外力場中自由粒子的分布與玻耳茲曼分布一、等溫大氣壓強公式1、等溫大氣壓強公式大氣是等溫的，并處于平衡態(tài)。則大氣壓強隨高度變化：mgzP(z) P(0) e kTM mgzP(0) e RT各量含義：P(z)

11、 ： 高度為 z 處的大氣壓強P(0) ： 海平面處的大氣壓強Mm： 大氣分子的摩爾質(zhì)量說明： 高度不超過 2Km時，結(jié)果比較符合實際。應用：高度計高度每升高 10 米，大氣壓強約降133Pa ( 1mmHg)2、重力場中粒子按位置的分布mgzM mgzn(z) n(0)e kT n(0)e RTm2kTKkT分子數(shù)密度隨高度按指數(shù)規(guī)律減小)3 m f( ) f ( x, y, z) (2 kT)2emghn(z) n(0)e kTkT玻爾茲曼對粒子按能量的分布進行了推廣。、玻耳茲曼分布即在某一狀態(tài)區(qū)間的 粒子數(shù) 與在溫度為 T 的平衡態(tài) 下，任何系統(tǒng)的微觀粒子按狀態(tài)的分布，該狀態(tài)區(qū)間的一個粒

12、子的能量有關，且與 e kT 成正比。12n1 n2e kT 說明：A、玻爾茲曼分布僅是一種描述粒子處于不同能量的單個) 狀態(tài)上有不同概率的一種分布。平衡態(tài))B、玻爾茲曼分布律是統(tǒng)計物理中適用于任何系統(tǒng)的基本定律。( 在 越大的狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少 ) 如：重力場中，分子位置分布下密上疏，不再均勻。 在量子理論中，處于基態(tài)的原子最多，處于激發(fā)態(tài)的極少。第六節(jié) 能量均分定理、理想氣體熱容1、熱容：物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。dQCdT摩爾熱容：1mol 物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的熱量。 Cm 1 (dQ)m dT比熱(容)：1Kg 物體升高或降低單位溫度所吸收或放出的1

13、 dQc ( )m dTCCm , C mcC, Cm , c 不僅與物體性質(zhì)有關，也與具體過程有關 定體熱容 CV 、定壓熱容 CP、摩爾定體熱容 CV,m、摩爾定壓熱容 CP,m 、 定體比熱容 cV 、 定壓比熱容 cP 2、理想氣體內(nèi)能與熱容單原子理想氣體內(nèi)能：33U m N A kT RT22 單原子理想氣體摩爾定體熱容：CV,m 3 R二、自由度與自由度數(shù) 21、機械運動的基本運動形式質(zhì)點轉(zhuǎn)動一般運動 : 看成基本運動（平動 如 自行車輪子的運動 （ 剛體 ） （隨 C平動 ） 加上過 C軸的轉(zhuǎn)動 2、自由度與自由度數(shù)自由度：描述物體空間位置所需要的 獨立坐標 。自由度數(shù)：確定物體

14、空間位置所需要的 獨立坐標 的數(shù)目。（t ：平動自由度； r ：轉(zhuǎn)動自由度； s：振動自由度 ） 質(zhì)點t 3 r = 0 s = 0三維空間， t = 3若受到限制，自由度降低平面上t= 2直線上t= 1剛體 （如：手榴彈，陀螺 ）t + r6s = 0 定質(zhì)心位置 需 3 個平動自由度 每一點繞過 c 點的軸轉(zhuǎn)動共有 3 個轉(zhuǎn)動自由度 先定轉(zhuǎn)軸 2 個自由度， 再定每個質(zhì)量元在垂直軸的平面內(nèi)繞軸 旋的角度 1 個自由度。非剛體 （由 N 個獨立的粒子組成的質(zhì)點系：包括氣體、液體）t + r + s 3 N一般說來，這 3N個自由度中，有三個平動、三個轉(zhuǎn)動及 3N-6 個振動自由度3、氣體分子

15、的自由度單原子分子 可看作質(zhì)點，自由度數(shù)為 t = 3N個原子組成的多原子分子 可看作質(zhì)點系（非剛體） ，自由度數(shù)最多為 3N 個。 剛性雙原子分子以及其它剛性的線型分子， 一般都有 3 個平動自由度和 2 個轉(zhuǎn)動自由度， 其自由度數(shù)為 5。三、能量均分定理1、能量均分定理：在溫度為 T 的平衡態(tài)下，物質(zhì) （氣、液、固 ） 分子熱運動動能平均分配到每一個分子的每個自由度上，每一個分子的每一個自由度的平均動能都是12kT每一振動自由度均分 kT 的能量 。能量均分定理 僅限于均分平均動能振動能量的計算：簡諧振動，平均動能與平均勢能相等， 若某種分子有 t 個平動自由度， r 個轉(zhuǎn)動自由度， s 個振動自由度，則 每一分子的總的平均能量為 （t r 2s）?1kT因為自由度會2式中各種振動、 轉(zhuǎn)動自由度都應是確實對能量均分定理作全部貢獻的自由度， 發(fā)生凍結(jié)。2、能量按自由度均分的微觀解釋： A、對于氣體，由于分子間頻繁的無規(guī)則碰