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文檔簡介

15-5 一維諧振子問題 一、一維諧振子的定態(tài)薛定諤方程 經(jīng)典力學(xué)中，簡諧振動為系統(tǒng)的勢能為簡諧振子的能量為 將勢能形式代入定態(tài)薛定諤方程，得 令 1將變量x變換為 所以求解這個(gè)方程，并使解滿足束縛態(tài)條件，就可以得到一維諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值。 二、一維諧振子的本征函數(shù)和能量本征值 波函數(shù)的一般形式為或者 式中Hn( )稱為厄米多項(xiàng)式，具體形式為 2由此得出n = 0, 1, 2, 3, 4的厄米多項(xiàng)式分別為 由歸一化條件 ，得時(shí)間因子的一維諧振子的定態(tài)波函數(shù)為 3當(dāng)時(shí)，應(yīng)有0，所以上式的解為這表示一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級是等間距的，等于 。 基態(tài)能量為零點(diǎn)能 經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典禁區(qū)經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論，振子是不可能進(jìn)入x A的經(jīng)典禁區(qū)。量子力學(xué)中，由于隧道效應(yīng)，粒子可以到達(dá)經(jīng)典禁區(qū)，即不存在什么禁區(qū)。 4圖中畫出了對應(yīng)于量子數(shù)n = 0,1,2三種情況的波函數(shù)，以及相應(yīng)的概率密度。由圖可以看出，量子數(shù)n較小時(shí)，粒子位置的概率密度分布與經(jīng)典結(jié)論明顯不同。隨著量子數(shù)n的增大, 概率密度的平均分布將越來越接近于經(jīng)典結(jié)論。5 例1:一個(gè)電子被束縛在一維無限深勢阱內(nèi)，勢阱 寬度為1.0110-10 m。求當(dāng)電子處于基態(tài)時(shí)對阱壁的平均沖力。 解:設(shè)電子的質(zhì)量為me，速度為vx，動量為px ， 勢阱寬度為a。則沖力為 將算符 代

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