2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(全國Ⅱ卷)理-試卷真題、答案及詳細解析

1、絕密 啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(全國卷,理)(本試卷共4頁,23小題,滿分150分,考試用時120分鐘)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,則U(AB)=()A.-2,3B.-2,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,32.若為第四象限角,則()A.cos 20B.cos 20D.sin 20,b0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點.若ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為()A.4B.8C.16D.329.設函數(shù)f(x

2、)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,則f(x)()A.是偶函數(shù),且在12,+單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在-12,12單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在-,-12單調(diào)遞增D.是奇函數(shù),且在-,-12單調(diào)遞減10.已知ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16,則O到平面ABC的距離為()A.3B.32C.1D.3211.若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|b0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合,C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點,交C2于C,D兩點,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的離心率;(2)設M是C

3、1與C2的公共點.若|MF|=5,求C1與C2的標準方程.20.(12分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點,過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)設O為A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin 2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,)的單調(diào)性;(2)證明:|f(x)|338;(3)設nN*,證明:sin2xsin22xsin

4、24xsin22nx3n4n.(二)選考題:共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答,并用2B鉛筆將所選題號涂黑,多涂、錯涂、漏涂均不給分,如果多做,則按所做第一題計分。22.選修44:坐標系與參數(shù)方程(10分)已知曲線C1,C2的參數(shù)方程分別為C1:x=4cos2,y=4sin2(為參數(shù)),C2:x=t+1t,y=t-1t(t為參數(shù)).(1)將C1,C2的參數(shù)方程化為普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設C1,C2的交點為P,求圓心在極軸上,且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.23.選修45:不等式選講(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.

5、(1)當a=2時,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范圍.2020年數(shù)學(全國卷,理)查缺補漏表題組及考查主題題型考查要點和核心素養(yǎng)查缺補漏1(集合)選擇題集合的基本運算(并集、補集);數(shù)學運算9,11,21(函數(shù)與導數(shù))選擇題函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性;數(shù)學運算選擇題函數(shù)的單調(diào)性;邏輯推理解答題應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應用導數(shù)研究函數(shù)的最值;數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算2,17(三角函數(shù)與解三角形)選擇題三角函數(shù)在各象限的符號,二倍角公式;數(shù)學運算解答題正弦定理、余弦定理,兩角和與差的正弦公式,正弦函數(shù)的性質;數(shù)學運算13(平面向量)填空題平面向量的數(shù)量積;數(shù)學運算4,6,

6、12(數(shù)列)選擇題等差數(shù)列的性質,等差數(shù)列的前n項和;數(shù)學運算選擇題 等比數(shù)列的判定,等比數(shù)列的前n項和;數(shù)學運算選擇題數(shù)列的應用;邏輯推理、數(shù)學運算7,10,16,20(空間向量與立體幾何)選擇題求空間幾何體的基本元素;直觀想象選擇題球的切接問題,線線、線面的位置關系;直觀想象、數(shù)學運算填空題空間點、線、面的位置關系;直觀想象,邏輯推理解答題空間線線平行、面面垂直的證明、線面角;直觀想象、數(shù)學運算5,8,19(平面解析幾何)選擇題直線與圓的位置關系,點到直線的距離,直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算選擇題雙曲線的幾何性質,基本不等式;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算解答題求橢圓的離心率,橢圓、拋物線的

7、定義、幾何性質、標準方程;邏輯推理、數(shù)學運算續(xù)表題組及考查主題題型考查要點和核心素養(yǎng)查缺補漏3,14,18(計數(shù)原理與概率統(tǒng)計)選擇題概率應用,數(shù)學運算填空題排列組合;數(shù)學運算解答題樣本估計總體,相關系數(shù),分層抽樣;數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析15(復數(shù))填空題復數(shù)的運算,復數(shù)的模;數(shù)學運算22(坐標系與參數(shù)方程)解答題極坐標與參數(shù)方程;直觀想象、數(shù)學運算23(不等式選講)解答題絕對值不等式,分段函數(shù);直觀想象、邏輯推理【試題分析】2020年全國卷理科數(shù)學,突出對基礎知識(約占40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導數(shù)(22分),立體幾何(27分),解析幾何(22分),計數(shù)原理與概率統(tǒng)計(22分),三角函

8、數(shù)與解三角形(17分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對學生基本數(shù)學素養(yǎng)、思想方法與能力的考查,關注學生的應用意識與創(chuàng)新意識,試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學本質,突出理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探究、數(shù)學文化的引領作用,突出對關鍵能力的考查.第12題不僅考查學生運用所學知識分析、解決問題的能力,而且也考查了學生的觀察能力、運算能力、推斷能力與靈活運用知識的綜合能力.第21題考查學生利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法、導數(shù)公式和導數(shù)運算法則,綜合考查學生的邏輯推理能力、運算求解能力、推理論證能力和數(shù)學語言表達能力.第3題以新冠疫情期間,訂單配貨的概率設計問題,考查學生的邏輯思維能力.第4題以北

9、京天壇為背景,設計了數(shù)列的計算問題,將數(shù)列的基本知識與文化遺產(chǎn)有機結合,考查學生的分析能力和提升學生的數(shù)學文化素養(yǎng).1.AAB=-1,0,1,2,U(AB)=-2,3.故選A.2.D為第四象限角,sin 0,sin 2=2sin cos 0),則(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.當a=1時,圓心為(1,1),此時圓心到直線2x-y-3=0的距離為d1=|2-1-3|5=255.當a=5時,圓心為(5,5),此時圓心到直線2x-y-3=0的距離為d2=|25-5-3|5=255.綜上,圓心到直線2x-y-3=0的距離為255.故選B.6.Cam+n=aman,令m=1,又a1

10、=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.k+11=15,k+1=5,解得k=4.7.A8.B由題意可知,雙曲線的漸近線方程為y=bax.因為直線x=a與雙曲線的漸近線分別交于D,E兩點,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,當且僅當a=b=22時取等號.所以c4,所以2c8.所以雙曲線C的焦距的最小值為8.故選B.9.

11、D由題意可知,f(x)的定義域為xx12,關于原點對稱.f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)為奇函數(shù).當x-12,12時,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),f(x)=22x+1-21-2x=4(2x+1)(1-2x)0,f(x)在區(qū)間-12,12內(nèi)單調(diào)遞增.同理,f(x)在區(qū)間-,-12,12,+內(nèi)單調(diào)遞減.故選D.10.C設等邊三角形ABC的邊長為a,球O的半徑為R,ABC的外接圓的半徑為r,則SABC=34a2=934,S球O=4R2=16,解得a=3,R=2.

12、故r=2332a=3.設O到平面ABC的距離為d,則d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.故選C.【方法速記】在等邊三角形中,設其邊長為a,則高h=32a,面積S=34a2,外接圓的半徑R=33a,內(nèi)切圓的半徑r=36a.11.A2x-2y3-x-3-y,2x-3-x2y-3-y.f(t)=2t-3-t在R上為增函數(shù),且f(x)f(y),x0,y-x+11,ln(y-x+1)ln 1=0.故選A.12.C周期為5,m=5.C(k)=1mi=1maiai+k=15i=15aiai+k(k=1,2,3,4).C(k)15(k=1,2,3,4),i=15aiai+k1(k=1,2,3,4)

13、.將選項代入驗證可知,只有選項C符合題意.故選C.13.22由題意可知,ab=|a|b|cos 45=22.ka-b與a垂直,(ka-b)a=k|a|2-ab=k-22=0,k=22.14.36由題意可知,必有兩名同學去同一個小區(qū),故不同的安排方法共有C42A33=36(種).15.23設z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR.|z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=3+i,a+c=3,b+d=1.(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.2ac+2bd=-4.(a-c)2+(b

14、-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.|z1-z2|=(a-c)2+(b-d)2=23.16.p1,p4為真命題,p2,p3為假命題,p2,p3為真命題,p1p4為真命題,p1p2為假命題,p2p3為真命題,p3p4為真命題.故填.17.解 (1)由正弦定理和已知條件得BC 2-AC 2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC 2=AC 2+AB2-2ACABcos A.由得cos A=-12.因為0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,從而AC=23sin B,AB=23sin(-A-B)=3cos B-3si

15、n B.故BC+AC+AB=3+3sin B+3cos B=3+23sinB+3.又0B3,所以當B=6時,ABC周長取得最大值3+23.18.解 (1)由已知得樣本平均數(shù)y=120i=120yi=60,從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60200=12 000.(2)樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關系數(shù)r=i=120(xi-x)(yi-y)i=120(xi-x)2i=120(yi-y)2=800809 000=2230.94.(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關.

16、由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.19.解 (1)由已知可設C2的方程為y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨設A,C在第一象限,由題設得A,B的縱坐標分別為b2a,-b2a;C,D的縱坐標分別為2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的離心率為12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y

17、23c2=1.設M(x0,y0),則x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的準線為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的標準方程為x236+y227=1,C2的標準方程為y 2=12x.20.(1)證明 因為M,N分別為BC,B1C1的中點,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因為A1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面E

18、B1C1F.(2)解 由已知得AMBC.以M為坐標原點,MA的方向為x軸正方向,|MB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系M -xyz,則AB=2,AM=3.連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形,故PM=233,E233,13,0.由(1)知平面A1AMN平面ABC.作NQAM,垂足為Q,則NQ平面ABC.設Q(a,0,0),則NQ=4-233-a2,B1a,1,4-233-a2,故B1E=233-a,-23,-4-233-a2,|B1E|=2103.又n=(0,-1,0)是平面A1AMN的法向量,故sin2-=cos=nB1E|n|B1E|=1010.所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為1010.21.(1)解 f(x)=cos x(sin xsin 2x)+sin x(sin xsin 2x)=2sin xcos xsin 2x+2sin2xcos 2x=2sin xsin 3x.當x0,323,時,f(x)0;當x3,23時,f(x)0.所以f(x)在區(qū)間0,3,23,單調(diào)遞增,在區(qū)間3,23單調(diào)遞減.(2)證明 因為f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在區(qū)間0,