專題：函數(shù)的奇偶性講義教師用

1、-. z.函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)奇偶性 設函數(shù)的定義域為，如果對于任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)設函數(shù)的定義域為，如果對于任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱圖形 偶函數(shù)的圖象關于軸成軸對稱圖形二、方法歸納1.函數(shù)的定義域是關于原點的對稱點集即對就有，是其具有奇偶性的必要條件2.在公共定義域：兩個偶函數(shù)的和、差、積、商均為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、 商是偶函數(shù)； 偶函數(shù)與奇函數(shù)的積、商是奇函數(shù)3.判斷函數(shù)的奇偶性應把握： 假設為具體函數(shù)，嚴格按照定義判斷，注意定義域的對稱性和變換中的等價性假設為抽象函數(shù)，在依托定義的根底上，用好賦值法，注

2、意賦值的科學性和合理性 4.定義在關于原點的對稱點集上的任意函數(shù)，總可以表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和即，其中為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)5.奇偶函數(shù)性質(zhì)的推廣：假設函數(shù)的圖象關于直線對稱，則；對任意實數(shù)*都成立假設函數(shù)的圖象關于點對稱，則；三、典型例題精講例11函數(shù) 的圖象( )A關于*軸對稱B關于y軸對稱 C關于原點對稱D關于直線*1對稱 解析：由， 是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱答案：C【技巧提示】用定義判定函數(shù)的奇偶性需要對函數(shù)解析式進展恒等變形，不要輕易斷定是非奇非偶函數(shù)分段函數(shù)的奇偶性判斷須注意各段中解析式的作用圍2分段函數(shù)奇偶性的判定又例：函數(shù)的奇偶性解析：當時，；當時，是奇函數(shù)例2是偶函

3、數(shù)而且在(0，)上是減函數(shù)，判斷在(，0)上的增減性并加以證明解析：函數(shù)在(，0上是增函數(shù)設*1*20，因為是偶函數(shù)，所以，由假設可知*1*20，又在(0，)上是減函數(shù)，于是有，即，由此可知，函數(shù)在(，0)上是增函數(shù)【技巧提示】具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關于原點的對稱性，使得函數(shù)在互為對稱的區(qū)間的單調(diào)性具有對應性偶函數(shù)半增半減，奇函數(shù)一增全增 例3定義在區(qū)間(，)上的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間0，)上的圖象與的圖象重合，設0，給出以下不等式： 1f()f()g()g()；2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()；4f()f()g()g() 其中成立的是 A (1)與(4)B

4、(2)與(3)C (1)與(3)D (2)與(4) 解析：根據(jù)函數(shù)、的奇偶性將四個不等式化簡，得：1f()f()g()g()；2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()；4f()f()g()g() 再由題義，有 顯然1、3正確，應選C【技巧提示】具有奇偶性的函數(shù)可以根據(jù)*個區(qū)間的單調(diào)性判定其對稱的區(qū)間的單調(diào)性，因而往往與不等式聯(lián)系嚴密抽象函數(shù)常常集函數(shù)性質(zhì)、圖象、定義域與值域等問題于一身，既能考察函數(shù)的概念與性質(zhì)，又能考察學生的思維能力，并且概念抽象、構(gòu)思新穎、隱蔽性強、靈活性大、綜合程度高，它在高中數(shù)學教材中雖很少涉及到，但在各類高考模擬試題中常常見到，也是近年來高考試題中的新

5、寵又例：偶函數(shù)在定義域為R，且在，0上單調(diào)遞減，求滿足 的的集合解析：偶函數(shù)在，0上單調(diào)遞減，在0，上單調(diào)遞增根據(jù)圖象的對稱性，等價于解之，滿足條件的的集合為1，例4設是(，)上的奇函數(shù)，當0*1時，則等于( )A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5解析： 0.5答案：B【技巧提示】 這里反復利用了和，后面的學習我們會知道這樣的函數(shù)具有周期性又例：如果函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且在(1，0)上是增函數(shù)，試比較，的大小關系_解析：為R上的奇函數(shù)，又在(1，0)上是增函數(shù)且1，答案：例5函數(shù)的定義域為，且滿足對于任意，有 1求的值； 2判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；解：1令，得； 2令，得，令，得，即

6、為偶函數(shù) 【技巧提示】賦值法是解決抽象函數(shù)問題的切入點常賦值有0，1，1，2，2，等等例6函數(shù)在(1，1)上有定義，1，當且僅當0*1時0，且對任意*、y(1，1)都有，試證明：(1)為奇函數(shù)；(2)在(1，1)上單調(diào)遞減證明：(1) 由，令*y0，得0，令y*，得0， 為奇函數(shù)(2)先證在(0，1)上單調(diào)遞減令0*1*21，則f(*2)f(*1)f(*2)f(*1)f()0*1*21，*2*10，1*1*20，0，又(*2*1)(1*2*1)(*21)(*1+1)0 *2*11*2*1，01，由題意知f()0，即f(*2)f(*1)在(0，1)上為減函數(shù)，又為奇函數(shù)且f(0)0在(1，1)上

7、為減函數(shù)【技巧提示】這種抽象函數(shù)問題，往往需要賦值后求特殊的函數(shù)值，如等等，一般的求解最為常見賦值技巧常為令或等。本例中第一問求解特殊函數(shù)值的過程中就采用了這兩個技巧；對于(2)，判定的圍是解題的焦點練習選擇題1函數(shù)f(*)(*1) eq r(f(1*,1*)，*(1,1)()A是奇函數(shù) B是偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D是非奇非偶函數(shù)答案：B解析：*(1,1)，*10.f(*)(*1)eq r(f(1*,1*) eq r(1*2).f(*)f(*)f(*)為偶函數(shù)應選B.2函數(shù)f(*)eq f(1,*)*的圖象關于()Ay軸對稱 B直線y*對稱C坐標原點對稱 D直線y*對稱答案：C解析：f

8、(*)eq f(1,*)*是奇函數(shù)，f(*)的圖象關于原點對稱，應選C.3以下說法錯誤的個數(shù)為()圖象關于坐標原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)； 圖象關于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)；奇函數(shù)的圖象一定過坐標原點； 偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交A4 B3 C2 D1答案：C解析：由奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，知說確；對于，如f(*)eq f(1,*)，*(，0)(0，)，它是奇函數(shù)，但它的圖象不過原點，所以說法錯誤；對于，如f(*)eq f(1,*2)，*(，0)(0，)，它是偶函數(shù)，但它的圖象不與y軸相交，所以說法錯誤應選C.4f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，f(3)2，則以下各點在函數(shù)f(*)圖象上的是()A(3，2)

9、B(3,2) C(2，3) D(3，2)答案：D解析：f(*)在R上為奇函數(shù)，f(3)f(3)2，f(3)2，應選D.5設函數(shù)yf(*)在區(qū)間D上是奇函數(shù)，函數(shù)yg(*)在區(qū)間D上是偶函數(shù)，則函數(shù)H(*)f(*)g(*)在區(qū)間D上是()A偶函數(shù) B奇函數(shù)C即奇又偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)答案：B解析：由f(*)是奇函數(shù)得f(*)f(*)，g(*)是偶函數(shù)得g(*)g(*)，H(*)f(*)g(*)f(*)g(*)H(*)，所以H(*)f(*)g(*)在區(qū)間D上為奇函數(shù)6函數(shù)f(*)a*2b*2ab是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，則ab()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3) C0 D1答案：

10、B解析：由偶函數(shù)的定義，知a1,2a關于原點對稱，所以2a1a，解得aeq f(1,3).又f(*)為偶函數(shù)，則b0. 所以abeq f(1,3).二、填空題共4小題，每題5分，共20分7設奇函數(shù)f(*)的定義域為5,5，假設當*0,5時，f(*)的圖象如下列圖，則不等式f(*)0的解集為_答案：(2,0)(2,5解析：由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，作出函數(shù)f(*)在5,0)的圖象，由圖象可以看出，不等式f(*)0 的解集是(2，0)(2,5，如下列圖8.yf(*)是定義在R上的奇函數(shù)，當*0時，f(*)*22*，則f(*)在R上的解析式為_答案：f(*)eq blcrc (avs4alco1(

11、*22*，,*0，,*22*，,*0.)解析：令*0，則*0，f(*)(*)22*22*.又f(*)為奇函數(shù)，f(*)f(*)*22*，f(*)eq blcrc (avs4alco1(*22*，,*0，,*22*，,*0.)9f(*)在a，b上是奇函數(shù)，且f(*)在a，b上的最大值為m，則函數(shù)F(*)f(*)3在a，b上的最大值與最小值之和為_答案：6解析：因為奇函數(shù)f(*)在a，b上的最大值為m，所以它在a，b上的最小值為m，所以函數(shù)F(*)f(*)3在a，b上的最大值與最小值之和為m3(m3)6，應選D.10f(*)為奇函數(shù)，且當*0時，f(*)*23*2.假設當*1,3時，f(*)的最大

12、值為m，最小值為n，則mn的值為_答案：eq f(9,4)解析：*0時，f(*)*23*2，且f(*)是奇函數(shù)，當*0時，*0，則f(*)*23*2.故當*0時，f(*)f(*)*23*2.當*eq blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)時，f(*)是增函數(shù)；當*eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，3)時，f(*)是減函數(shù)因此當*1,3時，f(*)ma*feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(1,4)，f(*)minf(3)2.meq f(1,4)，n2，從而mneq f(9,4).三、解答題共3小題，每題10分，共30分11判斷以下函數(shù)的奇

13、偶性：(1)f(*)|*1|*1|；(2)f(*)eq blcrc (avs4alco1(*2，*1,0，|*|1,*2，*1).解：(1)函數(shù)f(*)的定義域為R，定義域關于原點對稱因為f(*)|*1|*1|*1|*1|f(*)，所以f(*)為奇函數(shù)(2)函數(shù)f(*)的定義域為R，定義域關于原點對稱當*1時，*1，f(*)(*)2*2f(*)；當|*|1時，|*|1，f(*)0f(*)；當*1時，*1，f(*)(*)2*2f(*)所以對一切*R，都有f(*)f(*)，即函數(shù)f(*)是偶函數(shù)12.f(*)是R上的奇函數(shù)，且當*0時，f(*)*22*2.(1)求f(*)的表達式；(2)畫出f(*

14、)的圖象，并指出f(*)的單調(diào)區(qū)間解析：(1)設*0，則*0，于是f(*)(*)22*2*22*2.又f(*)為奇函數(shù)，f(*)f(*)因此，f(*)*22*2.又f(0)0，f(*)eq blcrc (avs4alco1(*22*2，*0，,0，*0，,*22*2，*0.)(2)先畫出yf(*)(*0)的圖象，利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應yf(*)(*0)的圖象，其圖象如圖所示由圖可知，其增區(qū)間為1,0)和(0,1，減區(qū)間為(，1和1，)13函數(shù)f(*)eq f(a*b,*21)是定義在(，)上的奇函數(shù)，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5).(1)求函數(shù)f(*)的解析式；(2)判斷f(*)在(1,1)上的單調(diào)性，并且證明你的結(jié)論解析：(1)根據(jù)題意得eq blcrc (avs4alco1(f00，,fblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(2,5)，)即eq blcrc (avs4alco1(f(a0b,102)0，,f(f(a,2)b,1f(1,4)f(2,5)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b0，)