二、多邊形的內(nèi)角和與外角和

1、二、多邊形的內(nèi)角和與外角和知識點一多邊形的有關(guān)概念1、多邊形：稱為n邊形，又稱為多邊形。 稱為它的邊；叫做內(nèi)角；外角、頂點的概念與三角 形一樣。多邊形有幾條邊就稱為幾邊形。注意：多邊形分為凸多邊形（即把每條邊延長，其它邊都在這條邊所在直線的同側(cè)）和凹四邊形，現(xiàn)在只研 究凸多邊形。2、正多邊形：如果, ,那么就稱它為正多邊形。注意：正多邊形必須同時具備各邊都相等，各內(nèi)角也都相等這兩個條件，二者缺一不可。如長方形四個角相 等，但不是正方形；菱形四條邊相等，但也不是正方形。3、多邊形的對角線：叫做多邊形的對角線。問題探究：過n邊形一個頂點可引出幾條對角線？這些對角線把n邊形分成幾個三角形？ n邊形共

2、有幾條對角線？為什么？多邊形邊數(shù)三角形四邊形五邊形六邊形n邊形圖形3從一個頂點引 出的對角線把多邊形分成 的三角形由上表知從多邊形一個頂點引出的對角線是（n-3）條，n邊形共有n個頂點，但從第i個頂點向第i+2個頂 點引出的對角線與從第i+2個頂點向第i個頂點引出的對角線是同一條對角線，所以n邊形共有1/2n（n-3） 條對角線。知識點二多邊形的內(nèi)角和與外角和1、多邊形內(nèi)角和定理：多邊形的邊數(shù)3456n從一個頂點引出的對角線 分成的三角形個數(shù)多邊形的內(nèi)角和推導(dǎo)方法：（1）對角線法：結(jié)合右圖可完成下表:其它方法:如圖在多邊形內(nèi)任取一點，該點和多邊形各個頂點的連線把多A An邊形分成n個三角形，這

3、n個三角形的內(nèi)角和減去一個周角就得/L7、A6到多邊形的內(nèi)角和，即 nX180。-360 =（n-2）X180 .如圖在多邊形的一邊上取一點，連結(jié)該點和各個頂點，這樣把 / 多邊形分成（n-l）個三角形，這（n-l）個三角形的內(nèi)角和減去A?七/一個平角就是多邊形的內(nèi)角和，即（n-1）X180。-180=（n-2）X180.2、多邊形的外角和：從與每個內(nèi)角相鄰的 ，得到的和稱為多邊形的外角和。3、多邊形外角和定理：。推導(dǎo)方法：因為n邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n180。，故n 邊形的外角和等于n 180。-（n-2） - 180=360。.重點剖析 （1）

4、n邊形的內(nèi)角和與邊數(shù),每增加一條邊，內(nèi)角和增加 ;而任意n邊形的外角和 都等于 ,與邊數(shù); （2）正n邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于;正n邊形的每個外 角也都相等，都等于 o （3） n邊形有 個外角，但外角和只是在每個頂點處取 外角的和。例題分析題型一多邊形的有關(guān)概念例1、以下說法正確的選項是（）A.五條長度相等的線段首尾順次連結(jié)所構(gòu)成的圖形是五邊形；B.正六邊形各內(nèi)角都相等，所以各內(nèi)角都相等的六邊形是正六邊形；C.從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，所以n邊形共有n（n-3）條對角線;D.n邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)是通過把n邊形化歸為三角形內(nèi)角和加以解決的，這種化歸思想是解決多邊形問

5、題的重要思想方法。例2、假設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為1260 ,那么從一個頂點引出的對角線條數(shù)是 一個n邊形恰好有n條對角線，求邊數(shù)n.題型二 多邊形內(nèi)角和與外角和定理的應(yīng)用例3、一個正n邊形的每個內(nèi)角都等于144。，求它的邊數(shù)。例4、一個多邊形的每個外角都等于相鄰內(nèi)角的三分之一，求它的邊數(shù)。例5、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為2520。，求它的邊數(shù)。例6、兩個多邊形的內(nèi)角總和是900。，且邊數(shù)之比是1:2,求這兩個多邊形的邊數(shù)。練習(xí)：1、如果一個n邊形的內(nèi)角和是外角和的（n-3）倍，那么這個多邊形為 邊形。2、在四邊形ABCD中，NB, NC的外角分別為80。，92。，并且NA比ND大11。，

6、求四邊形各內(nèi)角的度數(shù).3、多邊形的每一個內(nèi)角都比與它相鄰的外角的3倍多20。，求此多邊形的邊數(shù).4、如圖，五邊形 ABCDE 中，ABCD, Zl, Z2, Z3 分別是 NBAE, ZAED, ZEDC 的外角，那么 N1+N2+N3 等 于.題型三 與多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的探究性問題例7、多邊形中，除其中一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角的和為1205 , 例8、多邊形的內(nèi)角和與某一個外角度數(shù)的總和為1350。， 求這個外角的度數(shù)和多邊形的邊數(shù)。例9、一個多邊形截去一個角后所形成的新多邊形的內(nèi)角和是2520。，求原多邊形的邊數(shù)。題型四求不規(guī)那么圖形的內(nèi)角和如圖，求NA+NB+NC+ND+NE+NF

7、的度數(shù)。如圖，求NA+NB+NC+ND+NE+NF 的度數(shù)。如圖，求NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI 的度數(shù)。練習(xí):5、如下圖，NE+NF=100。，求NA+NB+NC+ND的度數(shù).6、如圖,求ZA+ ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ ZG+ ZH 的度數(shù).例10、DDA（2）求圖中4個扇形面積和；（3）例11、以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交,得到3以1為半徑畫弧與兩鄰邊相交,得到3個扇形,4個扇形,5個扇形，,n個扇形,（1）求圖中3個扇形面積和;題型五 多邊形的內(nèi)角和與扇形面積問題 例13、如圖，,分別是邊長 大于2的三角形，四邊形，五邊形， n邊形，假設(shè)分別以它們的

8、各頂點為圓心，口求圖中5個扇形面積和；（4）求圖中n個扇形面積和.題型六圖形的折疊問題例14、如下圖,將紙片/ABC沿EF對折，那么NAFC, NBEC和NC之間存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系是什么？例15、如圖，將長方形ABCD的一個角沿EF對折, 求NBEC+NDFC的度數(shù).練習(xí)：7、如果將例14中的三角形紙片換做如練7圖所示的四邊形ABCD,沿EF對折，那么與例14類似的結(jié)論還成立嗎?為什么？8、如圖，將長方形ABCD的一個角沿經(jīng)過 點D的直線DE對折，求NBEC+NADC的度數(shù).A例14圖題型六 多邊形的內(nèi)角和或外角和在實際問題中的應(yīng)用DD例16圖例16、一個零件的形狀如圖，按規(guī)定NA應(yīng)等于90。，NB和 NC應(yīng)分別為32。和21。，質(zhì)量檢驗員量得NBDO148。后，就 斷定這個零件不合格.請你用所學(xué)知識說明零