三角函數(shù)和三角恒等變換

1、關(guān)于三角函數(shù)與三角恒等變換第一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五章 三角函數(shù)與三角恒等變換5.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)框架考試要求5.1 三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式5.2 三角恒等變換5.4 三角函數(shù)應(yīng)用第二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)框架任意的概念角的度量方法(角度制與弧度制)同角三角函數(shù)關(guān)系式任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)誘導(dǎo)公式兩角和與差的三角函數(shù)二倍角的三角函數(shù)三角函數(shù)式的恒等變形(求值、化簡(jiǎn)、證明)函數(shù)y=Asin(x+)的圖象返回章菜單第三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義. 能利

2、用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（ 的正弦、余弦、正切），能畫出 y=sinx , y=cosx ,y=tanx 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性. 借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 0,2，正切函數(shù)在 上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最在和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）. 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：考試要求第四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 了解y=Asin (x+ )的實(shí)際意義；能畫出y=Asin(x+ )的圖象，觀察參數(shù)A，, 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響. 會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式. 能從兩角差的余弦

3、公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.考試要求返回章菜單第五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.1 三角函數(shù)的概念、同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函數(shù)（1）設(shè)角是一任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sin=y，cos=xtanx= ；（2）三角函數(shù)的符號(hào)：由于sin0 y0，故的終邊在第一、二象限及y軸非負(fù)半軸時(shí)，sin為正；由于

4、cos0 x0，故的終邊在第一、四象限及x軸的非負(fù)半軸時(shí)，cos為正；由于tan0 xy0，即x與y同號(hào)，故當(dāng)終邊在第一、三象限時(shí)，tan為正.第七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)4.同角三角函數(shù)關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系是由三角函數(shù)的定義推導(dǎo)得到的，所以各“恒等”的含義是使各三角函數(shù)及各式有意義.5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 平方關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系：6.誘導(dǎo)公式： 的三角函數(shù)值等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把“看成”銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，即“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”； 的三角函數(shù)值等于的余函數(shù)值，前面加第八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上一個(gè)把“看成”銳角時(shí)原函數(shù)值的

5、符號(hào)，即“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”； 誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為090角的三角函數(shù)值.知識(shí)要點(diǎn)返回節(jié)菜單第九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例1 若角是第三象限的角，則點(diǎn)P（sin, tan)位于第 象限.答案 二解析 為第三象限角 sin0, tan0 p(sin, tan)位于第二象限第十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2 化簡(jiǎn) sin420cos330+sin (-690) cos (-660)例題剖析解析 原式 = sin ( 360+ 60) cos ( 360- 30) + sin ( - 720+ 30) cos ( -720+ 60) =

6、 sin 60 cos 30+ sin 30cos 60=原式 =第十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 應(yīng)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)是應(yīng)掌握的基本技能，在有弦有切的題中，切化弦是常用的方法.第十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例3解析第十三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 知sin+cos，sin-cos, sincos三個(gè)式子中的一個(gè)，可以求出其余兩個(gè)式子的值.第十五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展1解析第十六張，PPT共八十四頁(yè)，

7、創(chuàng)作于2022年6月例題剖析 例4 解析代入原式得第十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第十八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展2解析第十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 將關(guān)于sin、cos的齊次式變換為關(guān)于tan的表達(dá)式在三角變換中有廣泛的應(yīng)用，其中“1”用“sin2+cos2”等反代是常用的技巧.第二十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例5已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑是R，如圖所示. (1)若=60，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值c（c0），當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有

8、最大面積？解析 （1）設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓.第二十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第二十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng)弧長(zhǎng)和扇形的核心公式是圓周長(zhǎng)公式c=2R和圓面積公式S=R2;當(dāng)用圓心角(弧度)代換2時(shí)，即可得到一般弧長(zhǎng)和扇形面積公式.返回節(jié)菜單返回章菜單第二十三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.2 三角恒等變換知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第二十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)1.兩角和與差的三角函數(shù)公式2.二倍角公式3.平方降冪擴(kuò)角公式第二十五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)4. 5.公式應(yīng)用講究一

9、個(gè)“活”字，即正用、逆用、變形用，還要?jiǎng)?chuàng)造條件應(yīng)用公式，如拆角、拼角等技巧，如返回節(jié)菜單第二十六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 sin15+cos15的值: .例題剖析答案 解析 法(一)sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30第二十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第二十八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例2 不查表求值解析 原式=cos40(1+ )第二十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 不查表求含非特殊角的三角函數(shù)式的值，應(yīng)注意題中各角的特征與相互之間的關(guān)系，特別注意這些角的和

10、、差、倍、半是否為特殊角.第三十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例3 已知解析第三十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第三十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 給出角的三角函數(shù)值,求另一角的三角函數(shù)值時(shí),要注意活用二角和、差的三角函數(shù)公式，將待求角配湊出用已知角表示的式子，再應(yīng)用三角公式進(jìn)行求解，如本例的2用（+）+（-)表示，2用（+）-(-)表示.第三十三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展1解析 法(一)由條件可得法(二)由條件得第三十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展1第三十五張，PPT共八十四頁(yè)

11、，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例4 已知 且解析第三十六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第三十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 已知的某種三角函數(shù)值,可求的其它三角函數(shù)值,利用二倍角及兩角和差關(guān)系式,可求2或+ ( 為特殊角)的三角函數(shù)值.第三十八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展2解析 法(一)由條件得第三十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展2第四十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例5 是否存在銳角、，使+2= 與tan tan= 同時(shí)成立？若存在，求出、的大??；若不存在，說(shuō)明理由.解析 假設(shè)存在滿

12、足條件的銳角，則第四十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第四十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 問(wèn)是否存在的問(wèn)題，一般選假設(shè)存在，再?gòu)臈l件入手；求角時(shí)，一般是先求得三角函數(shù)值，再由角的范圍求得角的大小.返回節(jié)菜單返回章菜單第四十三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第四十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)圖象定義域值域奇偶性單調(diào)性周期性2.y=Asin (wx+ ）的圖象作圖方法：（1）五點(diǎn)作圖法（2）圖象變換法a.相位變換y=s

13、inx圖象向左（ 0)或向右（ 0）平移| |個(gè)單位得到y(tǒng)=sin (x+ )的圖象.第四十五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)b.周期變換y=sinx橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0w1)到原來(lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=sinwx的圖象.c.振幅變換y=sinx縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A1)或縮短（0A1)到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=Asinx圖象.3. y=Asin (wx+ ），y=Acos (wx+ )（A0，w0）的最小正周期為 , y=Atan (wx+ )(A0,w0) 的最小正周期為 .4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象可得y=sinx圖象關(guān)于直線x=k+ 對(duì)稱，關(guān)

14、于點(diǎn)（k,0）對(duì)稱;第四十六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月y=cosx圖象關(guān)于直線x=k對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)（k+ ,0）對(duì)稱;y=tanx圖象關(guān)于點(diǎn)（ ,0）對(duì)稱(以上kZ). 5.三角函數(shù)中的最值問(wèn)題一般有如下三種方法：（1）三角法：先通過(guò)三角恒等變形，化為形如y=Asin (wx+ ）+B,y=Acos (wx+ )+B,y=Atan (wx+ )+B，利用|sin (wx+ )|1, |cos (wx+ )|1或圖象來(lái)確定最值.（2）代數(shù)法：先通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，再利用配方法、不等式法、判別式法、單調(diào)性法等求解.（3）解析法：將三角函數(shù)與坐標(biāo)定義聯(lián)系起來(lái)運(yùn)用解析幾何的知識(shí)來(lái)

15、求最值.知識(shí)要點(diǎn)返回節(jié)菜單第四十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例1 函數(shù)y=cos4x-sin4x圖象的一條對(duì)稱軸方程是 .答案解析第四十八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例2 已知函數(shù) （1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五點(diǎn)法作出它的圖象；（3）說(shuō)明該函數(shù)的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得到.x0020-20解析（1）振幅A=2，周期T= ，初相 （2）列表：第四十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析描點(diǎn)作圖（如右圖）（3）把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位得到y(tǒng)=sin (x+ )的圖象;再把y=sin(x+

16、 )圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 (縱坐標(biāo)不變)倍,得到y(tǒng)=sin (2x+ )的圖象;再把y=sin(2x+ )圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)即可得到y(tǒng)=2sin (2x+ )的圖象. 動(dòng)態(tài)演示第五十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 作y=Asin (wx+ )+B的圖象以五點(diǎn)法最為方便,但必須清楚它的圖象與y=sinx圖象的關(guān)系.第五十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例3 已知函數(shù) （1）求其最小正周期、單調(diào)增區(qū)間；（2）求其最大值及取得最大值時(shí)x的集合.解析第五十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第五十三張，

17、PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 求函數(shù)的最小正周期,若能化為形如y=Asin (wx+ )+B成y=Acos (wx+ )+B或y=Atan (wx+ )+B,則只須分別代入 即可求y=Asin (wx+ )+B的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題,實(shí)位是利用y=sinx的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題來(lái)解決,特別應(yīng)注意w0或A0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐為(1)求w的值;(2)若f(x)在區(qū)間 上的最小值為 ,求a的值.解析第五十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第五十八張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng)關(guān)于給出條件求y=Asin(w

18、x+ )+B的表達(dá)式,求解時(shí)應(yīng)注意y=sinx圖象及性質(zhì),原因是y=Asin(wx+ )+B圖象必可由y=sinx圖象平移成伸縮得到,在求y=Asin(wx+ )+B且x給定范圍的最值時(shí),應(yīng)注意不能直接把給定區(qū)間的邊界值代入.第五十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展2已知函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)求當(dāng)|x| 時(shí),f(x)的值域.解析 (1)點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線x= 的對(duì)稱點(diǎn)P( -x,y)由條件,P在f(x)圖象上時(shí),P也在f(x)圖象上第六十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展2第六十一張，PP

19、T共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例5 如下圖,是函數(shù)y=2sin(wx+ )(| | w0)的一段圖象,則w、 的值是（）第六十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析解析 如上圖，給我們的信息是(1)點(diǎn)(0,1),( ,0)在圖象上(2)函數(shù)的最小正周期第六十三張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析第六十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 在給出圖象求表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意充分挖掘圖中的信息，如對(duì)稱性、單調(diào)性、特殊點(diǎn)等，對(duì)三角函數(shù)來(lái)說(shuō)還應(yīng)注意其最小正周期.返回節(jié)菜單返回章菜單第六十五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5.4 三角函數(shù)應(yīng)

20、用知識(shí)要點(diǎn)例題剖析第六十六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月知識(shí)要點(diǎn)1.利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決與三角函數(shù)有關(guān)的最 值問(wèn)題、不等式問(wèn)題、奇偶問(wèn)題等.2.通過(guò)引入三角函數(shù)，解決給出有一定實(shí)際背景的問(wèn)題.返回節(jié)菜單第六十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例1 關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+ )( )有以下命題：f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整數(shù)倍；y=f(x)可以改寫為y=4cos(2x- );y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(- ,0)對(duì)稱；y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=- 對(duì)稱；其中正確的命題的序號(hào)是 (把你認(rèn)為正確的都填上).答案 第六十八張，PP

21、T共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析解析 取x1=命題不成立.第六十九張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例2 如下圖所示，函數(shù)y=-xcosx的部分圖象是 （）解析 f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又當(dāng) 時(shí),f(x)0,排除B選D第七十張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 給出函數(shù)的解析式來(lái)認(rèn)圖象的，可以從給出的解析式的定義域、值域、奇偶性、對(duì)稱性、特殊點(diǎn)、單調(diào)性等方面進(jìn)行排除.第七十一張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例3 某港口的水深y(米)與時(shí)間t(0t24,單位：時(shí)）的函數(shù)關(guān)系記

22、為y=f(t)，下面是該港口某日的水深數(shù)據(jù)表：t(時(shí))03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0 由上述數(shù)據(jù)描出函數(shù)y=f(t)的圖象（如圖）,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察和擬合知該圖象可近似地看作函數(shù)y=Asinwt+B的圖象.(1)試根據(jù)所給數(shù)據(jù)和圖象，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)在一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不得小于4.5米才能保證航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距離）為7米，那么該船在何時(shí)段內(nèi)航行時(shí)才是安全的？第七十二張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析解析 (1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)并結(jié)合圖象可知第七十三張，PP

23、T共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析(2)依題意,要使船安全通過(guò),水深不得少于11.5米令y11.5得3.0sin1t 5或13 t 17第七十四張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析點(diǎn)評(píng) 由圖象或表數(shù)據(jù)求形如y=Asin(wx+ )+B的解析式時(shí)，通常由圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)(數(shù)據(jù)的最大值和最小值)來(lái)求A和B，由周期來(lái)求w，由特殊點(diǎn)來(lái)求 .第七十五張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(2007江西)如圖，函數(shù)y=2cos(x+)(xR,0,0 )的圖象與y軸交于點(diǎn)(0, )，且該函數(shù)的最小正周期為.(1)求和的值；(2)已知點(diǎn)A( ,0),點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)Q(x0,y0)是PA的中點(diǎn)，當(dāng)y0= ，x0 ,時(shí)，求x0的值.延伸拓展1解析 (1)將x=0,y= 代入函數(shù)y=2cos(wx+)中,得cos= ,因?yàn)? ,所以=第七十六張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月延伸拓展1第七十七張，PPT共八十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例題剖析例4 已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+2x=0,求y2-3x的最大值及最小值.解析 法(一)由條件得y2=-x2-