MATLAB第4章-高等數(shù)學(xué)運(yùn)算(2)課件

1、4.1空間解析幾何與向量代數(shù)4.1.1向量代數(shù)的運(yùn)算4.1.2空間曲面和曲線的繪制4.2多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用4.2.1空間曲線的切線與法平面4.2.2方向?qū)?shù)和梯度4.2.3多元函數(shù)的極值及其求法4.2.4最小二乘法(曲線擬合)4.2.5數(shù)據(jù)插值運(yùn)算4.3無(wú)窮級(jí)數(shù)4.3.1函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)4.3.2傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)4.4微分方程的求解4.4.1微分方程的解析解4.4.2微分方程的數(shù)值解第4章 高等數(shù)學(xué)運(yùn)算（2）4.1空間解析幾何與向量代數(shù) 空間解析幾何與向量代數(shù)是多元函數(shù)的微分或求導(dǎo)、重積分和曲面積分的基礎(chǔ)。結(jié)合MATLAB語(yǔ)言的編程特點(diǎn)，本節(jié)介紹MATLAB在向量代數(shù)運(yùn)算中的基本命令格式和使用

2、方法，包括向量的加減運(yùn)算、數(shù)量積(點(diǎn)積或內(nèi)積)、向量積(叉積或外積)和混合積的運(yùn)算方法；介紹空間曲線、空間直線、空間曲面和二次曲面的方程表達(dá), 以及它們之間的關(guān)系運(yùn)算和空間繪圖。 4.1.1向量代數(shù)的運(yùn)算 向量代數(shù)的運(yùn)算可分為向量、空間距離、空間直線間的夾角、空間直線與平面、及平面間的夾角等計(jì)算。 1. 向量的計(jì)算2. 空間距離的計(jì)算 空間距離可以根據(jù)距離公式進(jìn)行計(jì)算。如空間一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)到平面S:Ax+By+Cz+D=0的距離的計(jì)算公式為例4-3 求點(diǎn)(2,1,3)到平面S:x+3y-2z-1=0的距離。程序：clear; P=2,1,3; S=1,3,-2; D=-1;d=a

3、bs(sum(P.*S)+D)/sqrt(sum(S.2) %計(jì)算P到S的距離d = 0.53454.1.1向量代數(shù)的運(yùn)算3. 夾角的計(jì)算 設(shè)一個(gè)平面方程為S: Ax+By+Cz=0，則n=(A,B,C)表示S平面的一個(gè)法線向量。設(shè)一個(gè)直線方程L的方向向量為s=(u,v,w)，則由兩個(gè)平面S1: A1x+B1y+C1z=0，S2: A2x+B2y+C2z=0, 相交所構(gòu)成的直線L的方向向量為s=n1n2=(u,v,w)其中，n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)4.1.1向量代數(shù)的運(yùn)算4.1.2空間曲面和曲線的繪制 在第1章中對(duì)三維圖形的繪制方法作了一般性介紹。下面結(jié)合空間曲面

4、和曲線的概念與特點(diǎn)作進(jìn)一步介紹。 1. 空間曲面的繪制 在繪制空間曲面之前，首先應(yīng)將空間曲面方程寫(xiě)成z=f(x,y)的形式，分別指定x軸和y軸上的取值范圍和取值點(diǎn)并生成坐標(biāo)向量x和y；再利用命令語(yǔ)句X,Y=meshgrid(x,y)生成x-y平面上的網(wǎng)格點(diǎn)矩陣X,Y以及求解出對(duì)應(yīng)的空間值Z=f(X,Y)；最后利用繪圖語(yǔ)句，如mesh(z)或mesh(X,Y,z)，繪制出三維圖形。其它繪圖命令格式可參考章節(jié)1.7.3中的內(nèi)容。2. 空間旋轉(zhuǎn)面的繪制 繪制旋轉(zhuǎn)面的基本命令格式為 cylinder(z)或cylinder(z,n)命令函數(shù)cylinder(z,n)的功能是生成旋轉(zhuǎn)面的網(wǎng)格矩陣。MAT

5、LAB指定的是以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，即沿任何軸旋轉(zhuǎn)的結(jié)果均轉(zhuǎn)為z軸旋轉(zhuǎn)。n是指定旋轉(zhuǎn)圓周上母線的分格線的條數(shù)，缺省時(shí)是20(與cylinder(z)相同)。4.1.2空間曲面和曲線的繪制3.空間曲線的繪制4.2 元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用 多元函數(shù)的極限、求導(dǎo)方法已在章節(jié)3.1和3.3中作了介紹，本節(jié)進(jìn)一步介紹多元函數(shù)微分計(jì)算在梯度、方向?qū)?shù)等方面的應(yīng)用。4.2.1 空間曲線的切線與法平面4.2.2方向?qū)?shù)和梯度 由方向?qū)?shù)和梯度的概念可知, 方向?qū)?shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)上沿某一方向的變化率，而其模值最大的方向?qū)?shù)就是該點(diǎn)的梯度。一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是它的方向?qū)?shù)和梯度。曲面的法線與曲面的梯度垂直。如果二元函數(shù)z=

6、f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微，則函數(shù)在該點(diǎn)上沿任一方向l的方向?qū)?shù)為4.2.3 多元函數(shù)的極值及其求法1. 多元函數(shù)的極值分析 若z=f(x,y)在(x0,y0)的某個(gè)域內(nèi)連續(xù)且存在一、二階連續(xù)偏導(dǎo)，且fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0。令A(yù)= fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C= fyy(x0,y0)，則有：當(dāng)AC-B20時(shí),有極值，且A0時(shí)有極小值；當(dāng)AC-B20時(shí)沒(méi)有極值；當(dāng)AC-B2=0時(shí)極值不確定，需進(jìn)一步分析。2. 多元函數(shù)的條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(1) 二元函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法函數(shù)z=f(x,y)在約束方程(x,y)=0下取極值的拉格朗日函

7、數(shù)為L(zhǎng)(x,y)= f(x,y)+(x,y)其中為參數(shù)。對(duì)L求x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零。再考慮條件函數(shù)(x,y)=0，則可得到極值求解方程組(2) 三元函數(shù)拉格朗日乘數(shù)法 同理可得三元函數(shù)u=f(x,y,z)在(x,y,z)=0, (x,y,z)=0下取極值的拉格朗日函數(shù) L(x,y,z)= f(x,y,z)+ (x,y,z)+(x,y,z)的極值求解方程組 4.2.3 多元函數(shù)的極值及其求法4.2.4 最小二乘法(曲線擬合) 曲線擬合是指: 根據(jù)一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)xi，yi，i=1,2,3,.,n，通過(guò)逼近或估計(jì)方法得到一個(gè)近似函數(shù)y=f(x)，使得f(xi)與yi之間的偏差在整體上最小,稱(chēng)

8、為最佳曲線擬合。最小二乘法是數(shù)據(jù)的曲線擬合的常用方法之一，是指在各數(shù)據(jù)點(diǎn)上，f(x)與f(xi)的偏差的平方和取最小值條件下的線性擬合, 即最小方差曲線擬合。MATLAB給出的常用的最小二乘（也稱(chēng)多項(xiàng)式）擬合命令的調(diào)用格式為：P=polyfit(X,Y,n)其中，X=xi，Y=yi；n為指定的擬合曲線的多項(xiàng)式階次。4.2.5 數(shù)據(jù)插值運(yùn)算數(shù)據(jù)插值運(yùn)算是指在原有實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的自變量之間插入一些值，利用插值方法得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。MATLAB插值函數(shù)命令可直接得到這些插值點(diǎn)上的函數(shù)值。常用的一元插值函數(shù)命令格式為： yi = interp1(x,Y,xi) yi = interp1(Y,xi) yi =

9、 interp1(x,Y,xi,method)其中，x,Y 為原始測(cè)量數(shù)據(jù)向量；xi 為插值點(diǎn)向量；yi為xi對(duì)應(yīng)的插值運(yùn)算值；method為插值運(yùn)算時(shí)采用的數(shù)值處理方法。 4.3無(wú)窮級(jí)數(shù) 在章節(jié)2.2和31.3中已介紹了關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù)的求和、極限與收斂等問(wèn)題。本節(jié)主要討論無(wú)窮級(jí)數(shù)，如冪級(jí)數(shù)或傅立葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)表示及相關(guān)運(yùn)算。 無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般可表示為：4.3.1 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 函數(shù)f(x)能在x=x0處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件是f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域(收斂半徑)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)。在該鄰域內(nèi)f(x)的n階泰勒級(jí)數(shù)公式為MATLAB的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)命令格式為: y=taylor(

10、f,x,k) 在x=0處將符號(hào)函數(shù)f展開(kāi)為k-1階泰勒級(jí)數(shù)(麥克勞林級(jí)數(shù))，k缺省時(shí)前6項(xiàng)和。 y=taylor(f,x,k,x0) 在x=x0處將符號(hào)函數(shù)f展開(kāi)為k-1階泰勒級(jí)數(shù)?；?y=taylor(f ,x,k) y=taylor(f ,x,k,x0)2022/7/20184.3.2 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)1 周期為2的傅立葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)設(shè)f(x)是周期為2的連續(xù)周期函數(shù)，且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)： 2. 周期為2l的傅立葉級(jí)數(shù)的展開(kāi) 對(duì)于以2為周期的函數(shù)，其三角級(jí)數(shù)的角頻率為=2f，周期為T(mén)=1/f= 2/，即周期為T(mén)所對(duì)應(yīng)的角頻率為=2/T。對(duì)于周期為2l時(shí)，則角頻率為=/l。作變量代換z=x/l，

11、則-lxl時(shí)，有-z。所以對(duì)于周期為2l、變量為z的函數(shù)f(z)，其傅立葉級(jí)數(shù)同樣是4.3.2 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)3. 周期為2l的傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式4.3.2 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)4.4 微分方程的求解 通常，微分方程可分為常微分方程（由一元函數(shù)構(gòu)成的一階或高階微分方程）和偏微分方程（由多元函數(shù)構(gòu)成的一階或高階微分方程組）；求解條件可分為通解（一般解）和初值條件解（特解）；求解方法可分為解析解和數(shù)值解。MATLAB提供了兩類(lèi)常用的解析解和數(shù)值解的函數(shù)命令格式，可滿(mǎn)足上述微分方程的求解問(wèn)題。微分方程的求解是一較復(fù)雜和繁瑣的過(guò)程，需要利用微分方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)采用合適的變換方法和求解技巧。使用MATLAB求

12、解時(shí)一般不需考慮太多的因素,但需要注意求解過(guò)程的方式方法,否則可能會(huì)出現(xiàn)不正確的結(jié)果。 4.4.1 微分方程的解析解常用求解微分方程解析解的命令格式與說(shuō)明表4-3。2. 特殊問(wèn)題的求解1. 一般問(wèn)題的求解4.4.1 微分方程的解析解4.4.2 微分方程的數(shù)值解在許多情況下，盡管對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程，其解析解也不存在，因而用dsolve()將無(wú)法得到期望的結(jié)果。如單擺運(yùn)動(dòng)方程就是如此。在工程實(shí)踐中，微分方程的數(shù)值解是一種有效的處理方法。對(duì)用dsolve()無(wú)法求解的微分方程，利用數(shù)值解的方法，通常都能得到很好的求解結(jié)果。1. 數(shù)值解的命令格式4.4.2 微分方程的數(shù)值解1. 數(shù)值解的命令格式 MATLAB提供了一類(lèi)求解微分方程y=f(t,y)的數(shù)值解方法，稱(chēng)為微分方程數(shù)值解求解器（solver）。其通用格式為：T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options) 其中，返回向量T是數(shù)值解函數(shù)值y所對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)向量(這里以時(shí)間為變量)； 返回量Y是對(duì)應(yīng)于T和由各數(shù)值解函數(shù)值列向量所組成的解矩陣；4.4.2 微分方程的數(shù)值解2. Solver數(shù)值解實(shí)現(xiàn)的步驟1) 將