高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：12.4 二項式定理52

1、 二項式定理考綱解讀能用計數(shù)原理證明二項式定理.會用二項式定理解決與二項式展開式有關(guān)的簡單問題.命題趨勢探究高考對本節(jié)內(nèi)容的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且高于中等偏易試題.主要考查內(nèi)容是： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用通項求解展開式中的某指定項； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用二項式特別是的展開式求解系數(shù)或求某些類似于二項展開式的式子的值； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 二項式系數(shù)的有關(guān)問題.知識點精講一、二項式定理 .展開式具有以下特點：（1）項數(shù)：共項.（2）二項式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項的次數(shù)是一樣的，都為次

2、，展開式依的降冪、的升冪排列展開.特別地，.二、二項式展開式的通項（第項） 二項式展開的通項為.其中的二項式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注 通項公式主要用于求二項式展開式的指數(shù)、滿足條件的項數(shù)或系數(shù)、展開式的某一項或系數(shù).在應(yīng)用通項公式時要注意以下幾點： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 分清是第項，而不是第項； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在通項公式中，含這6個參數(shù)，只有是獨立的，在未知的情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.二項式展開式中的系數(shù) （1）二項式系數(shù)與項的系數(shù) 二項式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系

3、數(shù).例如：的展開式中，含有的項應(yīng)該是，其中叫做該項的二項式系數(shù)，而的系數(shù)應(yīng)該是（即含項的系數(shù)）.二項式系數(shù)的性質(zhì) = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大. 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項是第項，其二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第項，它們的二項式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項式系數(shù)和與系數(shù)和 = 1 * GB3 二項式系數(shù)和 .奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和， . = 2 * GB3 系數(shù)和

4、求所有項系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項，令。題型歸納及思路提示題型172 二項式定理展開式的應(yīng)用思路提示 對二項展開式的認識不僅要關(guān)注展開式中對各項的特點，更重要的是要理解等式兩邊的關(guān)系，右邊是左邊個因式積的結(jié)果，而左邊是右邊各項和的結(jié)果，這就為此類問題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例12.30 用計數(shù)原理證明： .解析: ，其展開式的通項為，是由個中的個中每一個取，個中每一個取相乘取得的，這樣的取法（只需從個中取，自然剩余個中?。┕灿蟹N，即 .故 變式1 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 變式2 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.變式3 的展開式中整理后

5、的常數(shù)項為_（用數(shù)字作答）.題型173 二項展開式通項的應(yīng)用思路提示二項展開式的通項從微觀角度反映了二項展開式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項展開式的任意指定項及其系數(shù)等。例12.31 （1）的展開式的常數(shù)項是（ ）A. B. C. D. (2)展開式中的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 變式1 展開式中的系數(shù)為_。變式2 展開式中的常數(shù)項為_。變式3 已知的展開式中沒有常數(shù)項，且，=_.例12.32 （1）求證： .（2）求證：.變式1 ，.求證：.變式2 求證： .變式3 對于，求證：. 例12.33 (1)展開式中的系數(shù)為，=_.(2) （2017新課標(biāo)理數(shù)）(+)(2-)5

6、的展開式中33的系數(shù)為A-80B-40C40D80變式1 的展開式中含的項的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)。變式 2 設(shè)二項式()的展開式中的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B=4A，則的值為_。變式 3 展開式中與的系數(shù)和為_(用數(shù)字作答)。例12.34 展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項。變式1 的第三項和第二項系數(shù)之比為11：2，求展開式中有理項有多少個？變式2 (為有理數(shù))，則=（ ） A. 45 B. 55 C. 70 D. 80變式3 展開式中存在常數(shù)項，正整數(shù)的最小值為_.題型174 二項展開式的系數(shù)和問題思路提示有關(guān)系數(shù)和的問題不僅要注意二項式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項式系數(shù)所用的方法即賦值

7、法，這里就需要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進行賦值。例12.35 已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.變式1 已知二項展開式，則=_.變式2 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40例12.36 若=（），則的值為（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2變式1 已知=.若，那么自然數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6變式2 若，則=_.題型175 二項展開式中系數(shù)或項的最大、最小問題思路提示 二項式系數(shù)最大（?。﹩栴}按前述“知識點精講”原理求解.系數(shù)或項的最大、最小問題需按該項大于（或小于）等于相鄰兩項，

8、列不等式組求解。例12.37 展開式中：（1）只有第7項的二項式系數(shù)最大，則=_;（2）第7項二項式系數(shù)取最大值，= _.變式1 求展開式的系數(shù)最大項和最小項。變式2 求展開式中二項式系數(shù)最大項數(shù)和系數(shù)最大項數(shù)。最有效訓(xùn)練題52（限時30分鐘）1.的二項展開式中，的系數(shù)為（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展開式中，與的系數(shù)相等，則=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展開式中，的系數(shù)為10，則實數(shù)等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. （2017新課標(biāo)理數(shù)）展開式中的系數(shù)為A15B20C30D355.若展開式中的所有二項式系數(shù)和為512，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 設(shè)=，則的值為（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中