高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：2.2函數(shù)的定義域與值域5

1、第二節(jié) 函數(shù)的定義域與值域（最值）考綱解讀 會求些簡單函數(shù)的定義域和值域命題趨勢探究 考查重點是求解函數(shù)的定義域和值域知識點精講一、函數(shù)的定義域求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：定義域是指自變量的取值范圍； = 2 * GB3 在同一對應(yīng)法則下，括號內(nèi)式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.二、

2、函數(shù)的值域求解函數(shù)值域主要有以下十種方法：（1）觀察法；（2）配方法；（3）圖像法；（4）基本不等式法，（5）換元法；（6）分離常數(shù)法；（7）判別式法；（8）單調(diào)性法，（9）有界性法；（10）導數(shù)法.需要指出的是，定義域或值域的結(jié)果必須寫成區(qū)間或集合的形式. 題型歸納及思路提示題型13 函數(shù)定義域的求解思路提示 對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式. 一、給出函數(shù)解析式求解定義域例2.函數(shù)的定義域為（ ）A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1變式1 函數(shù) 的定義域為（）A.(0

3、，1) B0，1） C.(0，1 D0，1變式2求函數(shù) 的定義域. 二、抽象函數(shù)定義域已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域，或已知的定義域求的定義域.解題時注意：（1）定義域是指自變量的取值范圍；（2）在同一對應(yīng)法則的作用下括號內(nèi)式子的范圍相同.例2.11 （1）已知函數(shù)的定義域為（0，1）求的定義域（2）已知函數(shù)的定義域為（2，4）求的定義域（3）已知函數(shù)的定義域為（1，2）求的定義域.評注 定義域是對自變量而言的，如的定義域為（1，2）指的是x的范圍而非的范圍.變式1 已知函數(shù) 的定義域是0，1，求的定義域變式2設(shè)，則的定義域為（）A(-4,0)U(0，4) B C. D 三、

4、實際問題中函數(shù)定義域的求解例2.12 如圖2-3所示，用長為1的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓形的框架，若半圓半徑為x，求此框架圍成的面積y與x的函數(shù)式y(tǒng)，并寫出其定義域.分析 在求實際問題函數(shù)的定義域時，應(yīng)注意根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義城.ABCD圖 2-3評注 求實際問題函數(shù)的定義域時，除考慮函數(shù)的解析式有意義外、還要考慮使實際問題有意義，如本題中要根據(jù)各種度量的存在性來確定函數(shù)的定義域題型14函數(shù)定義域的應(yīng)用思路提示 對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論.例2.13若函數(shù) 的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為_.變式1 若

5、函數(shù)的定義域是R，求則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D. 變式2 函數(shù) 的定義域是R,求a的取值范圍.變式3若函數(shù) 的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍.題型15 函數(shù)值域的求解思路提示 函數(shù)值域的求法主要有以下幾種 (1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域（如0,及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域.（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.（5）換元法：分為三角換元法與代

6、數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù).（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如 ，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）.(8) 單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對于形如或的函數(shù)，當ac0時可利用單調(diào)性法.（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性，求出值域.因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有界性法. (10) 導數(shù)法：先利用導數(shù)求出函數(shù)的極大

7、值和極小值，再確定最大（?。┲?，從而求出函數(shù)的值域.一 觀察法例 2.14 求函數(shù)的值域.變式1 函數(shù)的值域是 .變式2 函數(shù)的值域是 .二 配方法例 2.15 求函數(shù)的值域.變式1 求函數(shù)的值域.變式2 求的值域.變式3 設(shè)函數(shù)的定義域為D，若所有點構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則a的值為（ ）.A -2 B -4 C -8 D 不能確定三 圖像法（數(shù)形結(jié)合） 例 2.16 求函數(shù)的值域.評注 本題中也可看著動點P（x,0）與兩定點A(-1,1),B(1,1)的距離之和，同理利用數(shù)形結(jié)合思想，|PA|+|PB|，則|PA|+|PB|的最小值為.變式1 求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.變式2 函

8、數(shù)的值域是（ ）.A B C D 變式3 函數(shù)的值域是（ ）.A B C D 四 基本不等式法例2.17 已知x2,求函數(shù)的值域.變式1 求函數(shù)的值域.五、換元法（代數(shù)換元與三角換元）【例2.18】求函數(shù)的值域.變式1：求函數(shù)的值域.變式2：求函數(shù)的值域.分離常數(shù)法【例2.19】求的值域.變式1：求函數(shù)的值域.變式2：求函數(shù)的值域.判別式法【例2.20】求函數(shù)的值域.變式1：已知函數(shù)的值域為，求的值.變式2：已知函數(shù)的定義域為R，值域為，求的值.單調(diào)性法【例2.21】求函數(shù)的值域.變式1：求函數(shù)的值域.變式2：函數(shù)的值域是_.變式3：求函數(shù)的值域.變式4：求函數(shù)的值域.有界性法【例2.22】求

9、函數(shù)的值域.變式1：已知函數(shù)，求函數(shù)的值域.變式2：已知函數(shù)，若有，則的取值范圍為（ ） 【例2.23】已知，求函數(shù)的值域.評注 本題也可以用數(shù)形結(jié)合思想求解，設(shè)，則的幾何意義為點與點所確定直線的斜率，其中為單位圓在軸左側(cè)部分.變式1：已知，求函數(shù)的值域.導數(shù)法【例2.24】求函數(shù)的值域.評注 對于三次函數(shù)以及復雜的函數(shù)求值域一般都用導數(shù)法求解，此類解法在第三章導數(shù)中有更為系統(tǒng)的介紹.變式1：若函數(shù)在區(qū)間及上都是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域.最有效訓練題5（限時45分鐘）已知，則下列函數(shù)中定義域和值域都可能是R的是（ ） 若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是（ ） 定義域為R是函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域是（ ） 函數(shù)的值域是（ ） 設(shè)函數(shù)，則的值域