2.3無窮小與無窮大教案

1、2.3無窮小與無窮大教案2.3無窮小與無窮大教案2.3無窮小與無窮大教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級(jí)授課時(shí)間第周第周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題2.3無窮小與無窮大教學(xué)目的1.理解無窮小與無窮大的定義，掌握無窮小和無窮大之間的關(guān)系。2.掌握無窮小的運(yùn)算性質(zhì)。3.能夠比較無窮小。教學(xué)重點(diǎn)1.理解無窮小與無窮大的定義，掌握無窮小和無窮大之間的關(guān)系。2.掌握無窮小的運(yùn)算性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)無窮小的比較教學(xué)用具備 注復(fù)習(xí)檢查引入新課新授課考勤一、講授新

2、課在自變量的一定變化趨勢(shì)下（，），我們發(fā)現(xiàn)有兩種特殊的函數(shù)：一種是函數(shù)的絕對(duì)值“無限變小”；一種是函數(shù)的絕對(duì)值“無限變大”，下面就這兩種情況加以研究.無窮小如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)的極限為零，那么稱函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)為無窮小. 記作或當(dāng)（或）時(shí)，.例如，當(dāng)時(shí)，所以是當(dāng)時(shí)的無窮小.又如，所以是當(dāng)時(shí)的無窮小.注意：（1）說函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢(shì).例如只有當(dāng)時(shí)是無窮小，在時(shí)就不是無窮小；（2）無窮小和絕對(duì)值很小的數(shù)是截然不同的，無窮小是一種極限為零的變量.例如，雖然都是很小的數(shù)，但當(dāng)（或）時(shí)極限并不是零.在常數(shù)中，只有零可以看成是無窮小.對(duì)于無窮小，有下列運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)

3、和為無窮小.性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小性質(zhì)3 有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小.例1 求解 因?yàn)?，由無窮小的性質(zhì)2可知，.例2 求解 因?yàn)?，由無窮小的性質(zhì)1可知，.無窮大如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無限增大，那么稱函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)為無窮大.記作或當(dāng)（或）時(shí)，.例如，當(dāng)時(shí)，無限增大，故是當(dāng)時(shí)的無窮大.如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)取正值而絕對(duì)值無限增大（取負(fù)值而絕對(duì)值無限增大），則稱函數(shù)為正（負(fù)）無窮大，記作（或）.注意：（1）說函數(shù)是無窮大，必須指明自變量的變化趨勢(shì).例如，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，是無窮大；，所以當(dāng)時(shí)是無窮小.（2）無窮大是指絕對(duì)值可以無限增大的變量，絕不能與絕對(duì)值很大的常數(shù)混為一談.（3）

4、當(dāng)（或）時(shí)，按通常意義說，極限是不存在的.但為了便于敘述，也說“函數(shù)的極限為無窮大”.無窮小與無窮大在自變量的同一變化過程中：（1）若為無窮大，則為無窮??；（2）若為無窮小，且，則為無窮大.例如，當(dāng)時(shí)，是無窮小，則是無窮大.又如，當(dāng)時(shí)，是正無窮大，則是無窮小.無窮小的比較通過前面的知識(shí)，我們知道，兩個(gè)無窮小的和、差、積還是無窮小，那么兩個(gè)無窮小的商是否仍是無窮小呢？例如，當(dāng)時(shí)，都是無窮小，而，.兩個(gè)無窮小之比的極限的各種不同情況，反映了不同的無窮小趨向于零的快慢速度.設(shè)與是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，即，如果，那么稱是比高階的無窮小；如果，那么稱是比低階的無窮??；如果，那么稱與是同階無窮小；特別的，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，則稱與是等價(jià)無窮小，記作.由定義可知，當(dāng)時(shí)，是比高階的無窮小，而是比低階的無窮小，與是同階無窮小.注意：并不是任意兩個(gè)無窮小都能比較.例3 當(dāng)時(shí)，比較與的階數(shù)的高低.解 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，與是同階無窮小.練習(xí)1.下列哪些函數(shù)是無窮??？哪些是無窮大？（1），； （2），；（3），； （4），.2.下列函數(shù)在自變量怎么變化時(shí)是無窮??？或是無窮大？（1）； （2）；（3）； （4）.三、小結(jié)能夠理解無窮小與無窮大