9.4二元函數(shù)的極值教案

1、9.4二元函數(shù)的極值教案9.4二元函數(shù)的極值教案9.4二元函數(shù)的極值教案山東理工職業(yè)學院教案首頁 學年 第 學期課程名稱 高等數(shù)學任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.4二元函數(shù)的極值教學目的了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念，掌握二元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值；會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學重點二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法教學難點拉格朗日乘數(shù)法教學用具備 注回顧舊知引入新課新授課新授課課堂練習小結布置

2、作業(yè)前面我們學習過一元函數(shù)的極值問題，進而求得實際問題中的最大值和最小值.類似的，二元函數(shù)的最大值、最小值與極值也有密切聯(lián)系，下面我們就探討二元函數(shù)的極值求法.一二元函數(shù)極值定義定義1 設函數(shù)在點某一鄰域內有定義，如果對于該鄰域內異于的點都有，則稱函數(shù)在點處有極大值，點稱為函數(shù)的極大值點；同理，如果都有，則稱函數(shù)在點處有極小值，點稱為函數(shù)的極小值點。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.例如，函數(shù)在點處有極小值.因為點處的任一鄰域內異于的點，都有.從圖形上看，點是開口向上的旋轉拋物面的頂點.又如，函數(shù)在點處有極大值.因為點處的任一鄰域內異于的點，都有.從圖形上看，點是單位球面

3、的上半球面頂點.二極值存在的條件設函數(shù)在點處取得極值，如果將函數(shù)中的變量固定，令，則函數(shù)是一元函數(shù)，它在處取得極值，由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得.由此得到如下定理：定理1(極值的必要條件) 設函數(shù)在點處取得極值，且函數(shù)在該點的偏導數(shù)存在，則，.使，同時成立的點稱為函數(shù)的駐點.由定理1可知，具有偏導數(shù)的函數(shù)，其極值點必定為駐點.反之，函數(shù)的駐點不一定是極值點.例如，函數(shù)在駐點的任何鄰域內函數(shù)值可取正值，也可取負值，而.可見定理1只給出了二元函數(shù)具有極小值的必要條件.為判斷二元函數(shù)的駐點是否為極值點，有如下定理：定理2(極值的充分條件) 設函數(shù)在點的某領域內有連續(xù)二階偏導數(shù)，且點是函數(shù)的駐點，

4、記，則(1)當時，點是極值點，且當時，點為極大值點，且當時，點為極小值點.(2)當時，點不是極值點.(3)當時，點可能是極值點，也可能不是極值點. 例1 求函數(shù)的極值. 解： 解方程組得駐點. 故在點處有： 所以為函數(shù)的極大值點. 同理在點處有： 所以不是函數(shù)極值點. 例2 用鐵皮做一個體積為的無蓋長方體箱子，問箱子的尺寸為多少時才能使鐵皮最?。拷猓涸O箱子的長寬分別為故箱子的高為所以箱子的表面積為 求偏導數(shù) 解方程組 得唯一解 所以當長寬高均為時用料最省.三條件極值與拉格朗日數(shù)乘法 在前面研究的極值問題中，所考慮的二元函數(shù)的自變量都是相互獨立的，這些自變量除了受到函數(shù)定義域的限制外，別無其他附

5、加條件，這類極值問題成為無條件極值.然而，在許多實際問題中函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外，常常還要受到其他附加條件的限制，比如例2中，若設箱子的長、寬、高分別為、，則箱子的表面積，此時還有一個約束條件，這類極值問題稱為條件極值.例2中的解法是將它轉化為無條件極值問題來求解，但很多實際問題中這種轉化無法順利進行，因此還需要其他方法.下面介紹一種求條件極值的方法拉格朗日數(shù)乘法.求函數(shù)在附加條件的情況下的極值問題，可采用以下步驟：以常數(shù)(稱為拉格朗日乘數(shù))乘以后與相加，得拉格朗日函數(shù)(2)求出對、的一階偏導數(shù)，(3)解方程組 所得點即為函數(shù)在條件下的可能極值點.至于所求點是否為極值點，一般可由問題的實際意義判斷.例3 求在時的條件極值.解：記， 作拉格朗日函數(shù)： 求偏導數(shù)：, 解方程組 得，對應的函數(shù)值，由幾何直觀知，函數(shù)在，時有極