高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：6.2數(shù)列的通項公式與求和24(修)

1、第二節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和考綱解讀掌握非等差數(shù)列、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差和等比關(guān)系，抽象出模型，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.命題趨勢探究從內(nèi)容上主要考查：等差和等比數(shù)列與其他知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，用數(shù)列知識解決實際問題；從遞推公式中構(gòu)造等差或等比數(shù)列，并求出其通項公式.從考查形式和能力上看，有選擇題、填空題、解答題.其中以解答題為主，且難度較大.在解題過程中往往要用到函數(shù)與方程思想、化歸思想與分類討論思想.從命題趨勢上看，主要有數(shù)列與方程、不等式、函數(shù)、解析幾何的綜合題，以概率為背景結(jié)合計數(shù)原理考查數(shù)列知識及數(shù)列建模的應(yīng)用題.知識點(diǎn)精講基本概念若已知數(shù)

2、列的第1項（或前項），且從第2項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么該公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.數(shù)列的第項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，可以用一個公式來表示，那么就是數(shù)列的通項公式.注： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 并非所有的數(shù)列都有通項公式； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 有的數(shù)列可能有不同形式的通項公式； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 數(shù)列的通項就是一種特殊的函數(shù)關(guān)系式； = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 注意區(qū)別數(shù)列的通項公式和遞推公式.題型歸納

3、及思路提示題型85 數(shù)列通項公式的求解思路提示常見的求解數(shù)列通項公式的方法有觀察法、利用遞推公式和利用與的關(guān)系求解.觀察法根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察法歸納出其數(shù)列通項.利用遞推公式求通項公式 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 疊加法：形如的解析式，可利用遞推多式相加法求得 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 疊乘法：形如 的解析式， 可用遞推多式相乘求得 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 構(gòu)造輔助數(shù)列：通過變換遞推公式，將非等差（等比）數(shù)列構(gòu)造成為等差或等比數(shù)列來求其通項公式.常用的技巧有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法、對稱變換法和同除以指數(shù)法.利用與

4、的關(guān)系求解形如的關(guān)系，求其通項公式，可依據(jù)，求出觀察法觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律，求其通項.使用觀察法時要注意： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 觀察數(shù)列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者 部分. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 考慮各項的變化規(guī)律與序號的關(guān)系. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列.例6.20寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）（2）2,22,222，；數(shù)列中各項為：12,1122,

5、111222，分析：通過觀察，找出所給數(shù)列的特征，求出其通項.解析：（1） = 1 * GB3 原數(shù)列中的數(shù)的符號一正一負(fù)，故擺動數(shù)列乘以； = 2 * GB3 絕對值后分子分母無明顯的規(guī)律，但通過對偶數(shù)各項分子分母同乘以2，可使分子出現(xiàn)規(guī)律為3,4,5,6，則.解法一：解法二：原數(shù)列即（3）變式1 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如下所示，則第行 （）從左到右的第3個數(shù)為(_n2-n+6_)2_ 12 3 4 5 6 7 8 9 10 變式2 觀察下列等式： ， ，可以推測，當(dāng)時，分析 通過觀察的變化規(guī)律能求出的通項公式；同時通過前6個式子，不難發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.解析 的變化規(guī)律為，即分子成等差數(shù)

6、列，故能求出的通項公式， 由前6個式子，當(dāng)時，沒有常數(shù)項，當(dāng)時，沒有一次項， 當(dāng)時，沒有平方項，當(dāng)為k時，沒有項，故=0.利用遞推公式求通項公式疊加法數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和例6.21 已知數(shù)列滿足 ，且，求數(shù)列的通項公式.分析：式子 是形如的形式，故利用疊加法求和.解析： 可得，（）， 相加可得：（），且也滿足上式，故變式1 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式解析 由已知故=且，所以時，也滿足上式.故變式2 已知數(shù)列中， ，則_ A、 B、 C、 D、分析 遞推公式滿足的形式，其中，用疊加法求解.解析 ，即，故，疊加得，故，且當(dāng)時，也滿足上式.故選A.變式3 已知

7、數(shù)列中，且，（，）（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項公式解析 （1）證明：由題設(shè)得，即.又所以是首項為1，公比為q的等比數(shù)列.（2）由（1）知.將以上各式相加，得所以當(dāng)n=1時，滿足時的形式；當(dāng)q=1時，是差為1的等差數(shù)列，所以.故.變式4 數(shù)列中，（為常數(shù)），且 成公比不為1的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式解析 （1）因為成等比數(shù)列，所以解得c=0或c=2.當(dāng)c=0時，公比為1，不符合題意，故c=2.（2）當(dāng)時，有所以又，故，當(dāng)n=1時，上式也成立，所以.2、疊乘法數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式例6.22 已知數(shù)列中，

8、則數(shù)列的通項公式為（ ）A、 B、 C、 D、分析：數(shù)列的遞推公式是形如的形式，故可以利用疊乘法求解.解析：由變形得 ，從而 ，故（） 即（），所以（，），且滿足上式，故（），選B變式1 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式解析 由變形得，從而，故且，故且n=1時， 也滿足上式.故通項公式為3、構(gòu)造輔助數(shù)列法（1）待定系數(shù)法形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項.例6.23 已知數(shù)列中，求的通項公式.分析：式子形如（為常數(shù)，且），故利用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化.解析：解法一、設(shè)等價于，得到，對應(yīng)，得到故原遞推式等價于，因此數(shù)列為首項為，公

9、比為的等比數(shù)列，所以，故解法二、由得 （，），因此（，），所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 疊加得到：故 （）變式1 已知，（，），求的通項公式.解析 由即比較得，故例6.24 在數(shù)列中， （），求數(shù)列 的通項公式.分析：將原遞推公式轉(zhuǎn)化為，即，比較，得，所以數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，故，即 （）2、同除以指數(shù)形如 ，）的遞推式，當(dāng)時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為，同類型（1）.例6.25 已知數(shù)列中，（，），求數(shù)列的通項公式.解析：解法一、將兩邊同除以得， 則，則解法二、將兩邊同除以得，令，得，構(gòu)造，得，因此數(shù)列為等比數(shù)列，且，則 （），故，

10、進(jìn)而得到評注：一般地，對于形如 ，）的數(shù)列求通項公式，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求解；兩邊同除以轉(zhuǎn)化為疊加法求解.變式1 在數(shù)列中，（1）設(shè)，試證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項的和解析 （1）證：由已知得，又因此是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知兩邊同乘以2，得得： 取倒數(shù)法對于，取倒數(shù)得.當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時，令，則，可用待定系數(shù)法求解.例6.26 在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.分析：式中含有形如和的分式形式，故考慮利用倒數(shù)變換求其通項公式.解析：因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，故（）變式1 已知數(shù)列中首項，（），求數(shù)列的通項公式.解析 由題意設(shè)得.即故是以為首項，以

11、為公比的等比數(shù)列.所以所以.變式2 已知數(shù)列中首項，前項的和為，且滿足（，），求數(shù)列的通項公式.分析 式中含有形如的分式形式，考慮利用倒數(shù)變換求其通項公式.解析 所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.所以所以且當(dāng)n=1 時，a1=1不滿足上式，所以取對數(shù)法形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.例6.27 已知數(shù)列中首項，且 （），則數(shù)列的通項_分析：取對數(shù)時，常用以為底的對數(shù)，便于計算.解析：因為，所以對兩邊取以3為底的對數(shù)，得到，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以（）變式1 已知數(shù)列中首項，且 （），求數(shù)列的通項解析 依題意，得，故數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)

12、列，所以.已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題對于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時要合理選擇.一個方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨(dú)立的情形；另一個方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨(dú)立的情況.簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，如已知（，）；其二稱為轉(zhuǎn)化法，實質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形

13、式不夠獨(dú)立的情形，如已知（，）；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時加注的范圍.例6.28 已知正項數(shù)列中，前項的和，且滿足，求數(shù)列的通項公式.解析：由已知，可得 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 類比得到（，） = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 式 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 式 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 得 即 所以，又因為，故（，），因此數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為1，公比為2 故 （）評注：本題是關(guān)于與的關(guān)系式問題中第一個方向的典型題目，本題的閃光點(diǎn)是未給出的直接形式，需

14、要考生稍加變形，轉(zhuǎn)化為后，才可使求解方向變得更為明朗.變式1 已知數(shù)列的前項的和，（）（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，求解析 （1）由已知可得得即所以可知數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為公比為2.所以（2）為等比數(shù)列，得（3）由（1） 即所以所以數(shù)列為等差數(shù)列，且首項所以評注 本題中的第（3）問難度較大.若應(yīng)用“目標(biāo)意識”引領(lǐng)我們的解題思路，則題目的求解變得很簡單，也就是由題目中有這種形式，想到在基礎(chǔ)上，兩邊同除以，即達(dá)到轉(zhuǎn)化目的。例6.29 已知數(shù)列中，且對于任意正整數(shù)有，求數(shù)列的通項公式分析：已知與的關(guān)系，求數(shù)列的通項公式利用=（，）求解，將試題右邊的含的式子換成來處理.解析：當(dāng)

15、時，及，解得 當(dāng)時，由得，變形整理得 ，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為1 故，所以適合上式，故 （）故當(dāng)時，=， 適合上式，故（）變式1 已知數(shù)列中，前項和滿足（，）（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式析 （1）因為，所以，得，又，方程兩邊同除以得.故數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為2，公差為2.（2）由（1）可知，所以，當(dāng)；當(dāng)又不符合上式，所以.評注 本題是關(guān)于的關(guān)系式問題中第二個方向的典型題目，在此情形下，第（2）問中求的方法最好用代入法，即將代入已知的關(guān)系式中，可得通項公式（當(dāng)然是時的結(jié)論），然后驗證n=1時是否適合即可，這種求解方法較題中步驟更為簡捷，值得大家借鑒. 變式2 設(shè)

16、數(shù)列是正數(shù)組成的數(shù)列，且有，求數(shù)列的通項公式.析 顯然已知條件中含有的關(guān)系，那么利用，將式中含有的項用替換.解析 由，即變形得對于，令n=1得，得，又?jǐn)?shù)列是正項數(shù)列，因此所以，即由此可得數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列，故所以，滿足例6.30 設(shè)數(shù)列的前項的和為，已知.（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的通項公式.解析 （1）在中，令，得，即，故，由知，兩式相減得，即，故，且，即是以2為公比的等比數(shù)列.（2）由且知，故，所以，即有，所以，于是，因此數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.所以，故.變式1 已知數(shù)列的前項之和為，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，請指出為何值時

17、，取得最小值，并說明理由.解析 （1）當(dāng)n=1時，解得則當(dāng)所以所以是首項為15，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）有故當(dāng)時，設(shè)即有故當(dāng)n=15時，取得最小值.變式2 已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）寫出數(shù)列的前3項；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求.解析 （1）已知當(dāng)n=1時，可得由此得（2）又所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（3）由（2）可得所以又可得變式3 設(shè)數(shù)列的前項和為.已知.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式.分析 （1）把n=1代入遞推式可以得到的關(guān)系式，知（2）遞推式含有將公式進(jìn)行化異為同，得到或的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，求出新數(shù)列的通項，進(jìn)而求.解析 （1）依題意，

18、又所以（2）解法一：由題意所以當(dāng)兩式相減得：，整理得即.又當(dāng)，所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的通項公式，.解法二：因為所以整理得所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以所以，所以，所以.題型86 數(shù)列的求和思路提示求數(shù)列前項和的常見方法如下：（1）通項分析法.（2）公式法：對于等差、等比數(shù)列，直接利用前項和公式.（3）錯位相減法：數(shù)列的通項公式為或的形式，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.（4）分組求和法：數(shù)列的通項公式為的形式，其中和滿足不同的求和公式.常見于為等差數(shù)列，為等比數(shù)列或者與分別是數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項，并滿足不同的規(guī)律.（5）裂項相消法：將數(shù)列恒等變形

19、為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進(jìn)行消項.（6）倒序相加：應(yīng)用于等差數(shù)列或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列求和.一、通項分析法例6.31 求數(shù)列的前項的和.解析 數(shù)列的通項，即，所以數(shù)列的前項的和為即.評注 先分析數(shù)列通項的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強(qiáng)化的意識.變式1 求數(shù)列9，99，999，的前項和.解析 由題意知從而數(shù)列的前n項和為=評注 求數(shù)列的前n項和的一種方法就是首先觀察數(shù)列的通項公式的特征，然后合理地分析，合并，變形，使之成為常見的數(shù)列類型，再使用相應(yīng)公式或選擇合適的方法加以求解.二、公式法 利用等差、等比數(shù)列的前項和公式求和.例6.32 已知等差數(shù)列中，求數(shù)列的前項

20、和.分析 根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項， 從而知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求.解析 設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，依題意得，解得.數(shù)列的通項公式為，由得，因為，所以數(shù)列 是首項為，公比為的等比數(shù)列.于是得數(shù)列的前項和.評注 針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解.變式1 如圖6-4所示，從點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).再從作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，記點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）試求與的關(guān)系； （2）求.解析 （1）設(shè)由得，點(diǎn)處切線方程為，由得（2）得所以于是三、錯位相減法求數(shù)列和的前項

21、和，數(shù)列， 分別為等差與等比數(shù)列.求和時，在已知求和式的兩邊乘以等比數(shù)列公比后，與原數(shù)列的和作差，即，然后求即可.例6.33 （1）（2018全國新課標(biāo)2卷文）記為等差數(shù)列的前項和，已知 （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值【解析】（1）設(shè)an的公差為d，由題意得3a1+3d= 15由a1= 7得d=2所以an的通項公式為an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為16（2）已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列中，點(diǎn)在直線上.（1）求數(shù)列， 的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.解析 （1），上兩式相減得，得，故，令.點(diǎn)在直線上，則，則

22、是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，.（2），由（1）-(2)得，故.評注 由于結(jié)果的復(fù)雜性，自己可以通過代入等驗證，等以確保所求結(jié)果的準(zhǔn)確性.變式1（2017天津理18）已知為等差數(shù)列，前項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因為，解得.所以.由，可得 由，可得 聯(lián)立，解得，由此可得.所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為. (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，由，有，故，上述兩式相減，得，得.所以數(shù)列的前項和為.變式2 （2016山東理18）已知數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列，且（1

23、）求數(shù)列的通項公式；（2）令求數(shù)列的前項和.解析 （1）由題意知當(dāng)時，當(dāng)時，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得：，所以.四、分組求和法對于既非等差又非等比數(shù)列的一類數(shù)列，若將數(shù)列的項進(jìn)行適當(dāng)?shù)夭鸱?，可分成等差、等比或常?shù)列，然后求和.例6.34 在數(shù)列中.（1）設(shè)，證明為等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的前項和.解析 （1）由已知得，即，故，且，因此是公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知當(dāng)時，疊加得，所以，得，時也成立，又，所以，得.令，故，故，又，所以.變式1 已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根，且.（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.分析 根據(jù)題目的條

24、件，求出通項公式，然后分組求和.解析 （1）方程的兩個根為（2）因為當(dāng)所以故變式2 等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表6-1的同一列. 表6-1第1列第2列第3列第1行3210第2行6414第3行9818(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.解析 （1）由表6-1可得（2）因為所以五、裂項相消法將數(shù)列恒等變形為連續(xù)兩項或相隔若干項之差的形式，進(jìn)行消項.常用的裂項相消變換有：1.分式裂項；.2.根式裂項.3.對數(shù)式裂項.4.指數(shù)式裂項；.使用裂項法，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項；應(yīng)注意到，由于數(shù)列中每一項均裂成一正一負(fù)

25、兩項，所以互為相反數(shù)的項合并為零后，所剩正數(shù)項與負(fù)數(shù)項的項數(shù)必是一樣的多，切不可漏寫未被消去的項.未被消去的項有前后對稱的特點(diǎn)，即經(jīng)過裂項后有“對稱剩項”的特征.另外從實質(zhì)上看，正負(fù)項相消是裂項法的根源和目的.例6.35 求數(shù)列的前項和.解析 先分析通項公式，所以評注 如果數(shù)列的通項公式可以寫成的形式，常采用裂項求和的方法.特別地，當(dāng)數(shù)列形如，其中是等差數(shù)列時，可嘗試使用此法.變式1 已知數(shù)列，求它的前項和.解析 因為數(shù)列的通項為又因為所以例6.36 已知等差數(shù)列滿足，的前項和.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項和.解析 （1）設(shè)的首項為，公差為，由已知可得.所以，.（2）因為，所以，因此，故

26、.故數(shù)列的前項和.評注 采用裂項相消法求解數(shù)列的前項和，消項時要注意相消的規(guī)律，可將前幾項和表示出來，歸納規(guī)律.一般來說，先注意項數(shù)，如果是每兩項作為一組相消，則最終剩余項數(shù)為偶數(shù)項；再看大小，若前面保留的是分母最小的若干項，則最后必會保留分母最大的若干項.變式1 設(shè)正項數(shù)列前項和滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解析 （1）當(dāng)n=1時，故=.因為，故，整理得，又，所以，所以，即數(shù)列是以2為公差，以1為首項的等差數(shù)列，所以，故 變式2 在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項和.解析

27、 ，利用疊加法得六、倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）.例6.37 設(shè)，求的值.解析 因為.所以.變式1 函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求的值；（2）已知數(shù)列滿足，求；（3）若，求.解析令，則，即，所以 ，+得變式2 已知函數(shù)對任意都有.（1）求的值；（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？試證明之；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解析 因為對任意都有，令，則，即因為，所以有，兩式相加，可得，得又因為，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列由得，則，則，所以變式3 已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)

28、列，求.分析 注意到，且當(dāng)時，利用倒序相加法求解析 由已知得，又，兩式相加得，又因為數(shù)列是以公差為2，首項為1的等差數(shù)列，所以，因此，評注 倒序相加法求數(shù)列前n項和是利用首項與第n項的代數(shù)和、第2項與第n-1項的代數(shù)和相等，依次進(jìn)行下去，即利用等差數(shù)列的求和思想解題最有效訓(xùn)練題24（限時45分鐘）1.已知數(shù)列，則是數(shù)列的（ ） A第18項 B第19項 C第17項 D第20項2.已知各項均不為零的數(shù)列，定義向量，則下列命題為真命題的是（ ）A若對任意的，總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列B若對任意的，總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列C若對任意的，總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列D若對任意的，總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)

29、列3.設(shè)是單調(diào)遞減的等差數(shù)列，前3項的和是15，前3項的積是105，當(dāng)該數(shù)列的前項和最大時，（ ）A4 B5 C6 D74.（2016天津理5）設(shè)是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“對任意的正整數(shù)，”的（ ）.A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.（2017全國3理9）等差數(shù)列的首項為1，公差不為0若，成等比數(shù)列，則數(shù)列前6項的和為（ ）.ABC3D86.對于數(shù)列，如果及，使成立，其中，則稱為階遞推數(shù)列，給出下列三個結(jié)論：若為等比數(shù)列，則是1階遞推數(shù)列；若為等差數(shù)列，則是2階遞推數(shù)列；若數(shù)列的通項公式為，則是3階遞推數(shù)列.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D37.根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1）-1，7，-13，19，=_；（2）0.8，0.88，0.888，=_；（3），=_；（4）0，1，0，1，=_.8.（2016上海理11）無窮數(shù)列由個不同的數(shù)組成，為的前項和，若對任意，則的最大值為 .9.在數(shù)列中，且，則_.10.根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項公式.（1）已知數(shù)列的前項和； （2）已知數(shù)列的滿足，且；（3）；（4）在數(shù)列中，；（5）在數(shù)列中，；（6）在數(shù)列中，.11.（2015天津理18）已知數(shù)列滿足（為實數(shù)，且），且，成等差數(shù)列.（1