現(xiàn)代控制理論：第3章_線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性3.1 能控性的定義3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀性3.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性3.5 時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性(自學(xué))3.6 能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系3.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.9 傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)問題3.10 傳遞函數(shù)中零極點(diǎn)對(duì)消與能控性和能觀性之間的關(guān)系本章主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、能控性與能觀測(cè)性的定義及判別準(zhǔn)則(連續(xù)定常系統(tǒng)、離散系統(tǒng)) ;2、系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系及對(duì)偶原理；3、系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型；4、線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解；5、系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。 現(xiàn)代控制理論

2、：狀態(tài)空間分析法；狀態(tài)空間表達(dá)式由狀態(tài)方程和輸出方程組成(體現(xiàn)為分段內(nèi)部描述)： 能控性：用于分析u(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的控制能力； 能觀測(cè)性：用于分析輸出y(t)對(duì)狀態(tài)x(t)的反映能力。 經(jīng)典控制理論：討論控制作用(輸入)對(duì)輸出的控制能力、輸出的可觀測(cè)性(是否可量測(cè))。若系統(tǒng)穩(wěn)定則輸出必可控；輸出通?？捎^測(cè)(通常為被控量)。 狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)的變化過程； 輸出方程描述由狀態(tài)變化引起的輸出y(t)的變化。對(duì)于系統(tǒng)是否能控、能觀測(cè)的研究：狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶有狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)能控性與能觀測(cè)性概念在理論和工程實(shí)踐中極為重要： 最優(yōu)控制確定控制輸入u使?fàn)顟B(tài)達(dá)到預(yù)期軌線；

3、狀態(tài)反饋系統(tǒng)改善系統(tǒng)品質(zhì)，如極點(diǎn)配置、系統(tǒng)鎮(zhèn)定等 能控性與能觀測(cè)性是用于描述系統(tǒng)內(nèi)在特性的兩個(gè)概念，屬于對(duì)系統(tǒng)的定性分析。能控性說明“輸入是否能夠控制(影響)狀態(tài)的變化”；能觀測(cè)性說明“輸出是否能夠反映狀態(tài)的變化”。例：輸入為u，輸出為y，狀態(tài)變量x1和x2分別為電容器C1和C2上的電壓u1和u2。很多時(shí)候，不能從狀態(tài)空間表達(dá)式的形式直觀判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性！從狀態(tài)方程看：輸入u只能控制x2，不能控制x1，因而x1是不能控的；從輸出方程看：輸出y僅能反映x1，不能反映x2，因此x2不能觀測(cè)。從狀態(tài)方程看：x1和x2均受控于輸入u，因而系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)均能控；從輸出方程看：輸出y既能反映x1，

4、也能反映x2，因此系統(tǒng)兩個(gè)狀態(tài)均能觀測(cè)。x1和x2是否均能控和能觀測(cè)？實(shí)際上，該系統(tǒng)既不是完全能控、也不是完全能觀測(cè)的。上述關(guān)于狀態(tài)能控性、能觀測(cè)性的說明及判斷方法是粗淺、不嚴(yán)密的；對(duì)這兩個(gè)概念，我們有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x以及相關(guān)的判定準(zhǔn)則！3.1 能控性的定義主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)、理解和掌握能控性的概念：區(qū)別單個(gè)狀態(tài)能控和系統(tǒng)完全能控(或系統(tǒng)能控)。1. 線性連續(xù)定常系統(tǒng)的能控性定義注意區(qū)別單個(gè)狀態(tài)能控與系統(tǒng)完全能控！2. 線性連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)能控性定義3. 離散系統(tǒng)能控性定義(僅針對(duì)單輸入系統(tǒng))主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)和掌握線性定常系統(tǒng)能控性判別的兩種方法：(1) 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型法：變換為約當(dāng)標(biāo)

5、準(zhǔn)型 后根據(jù) 陣情形判別；(2) 能控判別陣法：直接利用A陣和B陣構(gòu)成能控性判別陣M進(jìn)行判斷。3.2 線性定常系統(tǒng)的能控性判別單輸入或多輸入系統(tǒng)均適用一、方法1：通過將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后進(jìn)行判斷能控性判據(jù)1-1(子判據(jù))：對(duì)于線性定常系統(tǒng)(A,B)，若A具有互異特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是經(jīng)非奇異變換后得到的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 的輸入矩陣 不包含全零行。例(尤教材p118)1改為0時(shí)，狀態(tài)x1不能控，則系統(tǒng)不能控2改為0時(shí)，狀態(tài)x1不能控，則系統(tǒng)不能控系統(tǒng)能控性與輸入施加情況有關(guān)！尤教材例用后面的秩判據(jù)易判斷系統(tǒng)不完全能控能控性判據(jù)1-2(子判據(jù))：對(duì)于線性定常系統(tǒng)(A, B)，A具有重

6、特征值且每個(gè)重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量。系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 中 的每個(gè)約當(dāng)塊最后一行在輸入陣 中對(duì)應(yīng)的各行元素不全為零.單輸入或多輸入系統(tǒng)均適用例(尤教材p119)系統(tǒng)能控性與輸入的施加位置有關(guān)！系統(tǒng)能控系統(tǒng)不能控 特征值4和3均只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量(因它們?cè)贏中均只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊)系統(tǒng)的能控性取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)(系統(tǒng)矩陣A決定)及控制作用的施加位置(輸入矩陣B決定)。能控性判據(jù)1 (綜合判據(jù),適用于任意線性定常系統(tǒng))： 若線性定常系統(tǒng)(A, B) ，經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為 ，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件包括：若某特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量

7、(該特征值可能是互異根也可能是重根) ，則該特征值在 中對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行在 中的對(duì)應(yīng)行的元素應(yīng)不全為0；若某特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)獨(dú)立特征向量(必為重根)，則該特征值在 中對(duì)應(yīng)的各個(gè)約當(dāng)塊的最后一行在 中的對(duì)應(yīng)行無全零行且線性無關(guān)(即這些行構(gòu)成的矩陣行滿秩)。系統(tǒng)不能控系統(tǒng)不能控基于約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的能控性判據(jù)說明綜合判據(jù)還可歸納為：對(duì)每個(gè)特征值，分別用其所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊的最后一行在B陣中的對(duì)應(yīng)行構(gòu)成矩陣(每個(gè)特征值都分別有一個(gè)對(duì)應(yīng)的矩陣)，若這些矩陣均行滿秩，則系統(tǒng)完全能控。應(yīng)用判據(jù)時(shí)，需要對(duì)各個(gè)特征值分別進(jìn)行判斷，只有每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊及其對(duì)應(yīng)行都分別滿足判據(jù)要求，系統(tǒng)才是完全能控的。系統(tǒng)能控系

8、統(tǒng)不能控若該行改為(0 2),則系統(tǒng)不能控若該行改為(1 0),則系統(tǒng)能控3為4重根特征值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)獨(dú)立特征向量(在A中對(duì)應(yīng)兩個(gè)約當(dāng)塊)特征值2和3分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)獨(dú)立特征向量(在A中分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)約當(dāng)塊)二、方法2：直接從A與B構(gòu)造能控性判別陣M判別能控性判據(jù)2(秩判據(jù))：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是由A與B構(gòu)造的能控性判別陣M行滿秩。n為系統(tǒng)階數(shù)r為輸入維數(shù)；單輸入系統(tǒng)(r=1)：M陣為nn方陣；多輸入系統(tǒng)(r1)：M陣列數(shù)多于行數(shù)。能控性判據(jù)2必要性證明（續(xù)上頁證明）能控性判據(jù)2必要性證明(續(xù))例3-4例3-81、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型法：需先將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)變換后得到的B

9、陣進(jìn)行判斷。關(guān)鍵：準(zhǔn)確劃分各特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊及確定各約當(dāng)塊最末行在B陣中的對(duì)應(yīng)行(特殊情況：重特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)約當(dāng)塊，需判斷各行是否線性無關(guān))。(2) 能控判別陣法：利用A陣和B陣構(gòu)成能控性判別陣M進(jìn)行判斷。關(guān)鍵：正確構(gòu)造判別陣和計(jì)算該陣的秩是否行滿秩。系統(tǒng)能控性判別方法小結(jié)主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)、理解和掌握系統(tǒng)能觀性的概念；2、學(xué)習(xí)和掌握線性定常系統(tǒng)能觀性判別的兩種方法：(1) 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 后根據(jù) 判別；(2) 直接利用A陣和C陣組成能觀性判別陣N進(jìn)行判斷。3.3 連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)的能觀性控制系統(tǒng)多采用反饋控制形式 ，狀態(tài)反饋控制是一種常用且有效的反饋控制方式。并非所有

10、狀態(tài)都能直接量測(cè)能否利用輸出的測(cè)量獲得全部狀態(tài)信息?系統(tǒng)能觀性問題(輸出對(duì)狀態(tài)的反映能力)。注意：與狀態(tài)能控性一樣，許多系統(tǒng)同樣不能通過輸出方程或者模擬結(jié)構(gòu)圖直觀判斷其狀態(tài)能觀測(cè)性。一、能觀測(cè)性定義能觀測(cè)性表示輸出y(t)反映狀態(tài)向量x的能力，與控制作用u(t)無直接關(guān)系，因此分析能觀測(cè)性問題只需從系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)。二、線性定常系統(tǒng)的能觀性判別：兩種方法1. 將系統(tǒng)變換成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，判斷標(biāo)準(zhǔn)型下的C陣能觀性判據(jù)1-1(子判據(jù))：若線性定常系統(tǒng)(A,C)，A具有互異特征值，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型 的輸出矩陣 不包含全零列。系統(tǒng)能觀系統(tǒng)不能觀能觀性

11、判據(jù)1-2(子判據(jù))：若線性定常系統(tǒng)(A,C)，A有重特征值且每一重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 中 陣中每個(gè)約當(dāng)塊首列在輸出矩陣 中的對(duì)應(yīng)列不全為零。各個(gè)特征值均只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量(在A中各只對(duì)應(yīng)一個(gè)約當(dāng)塊)，且各約當(dāng)塊首列在C中對(duì)應(yīng)列均不全為0，故系統(tǒng)完全能觀。能觀性判據(jù)1(綜合判據(jù))：線性定常系統(tǒng) (A, C) ，經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為 ，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是：若某特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量(該特征值可能是互異根也可能是重根) ，則該特征值在 中對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊的首列在 中的對(duì)應(yīng)列的元素不全為0；若某特征值對(duì)應(yīng)多

12、個(gè)獨(dú)立特征向量(特征值必為重根)，則該特征值在 中對(duì)應(yīng)的各約當(dāng)塊的首列在 中的對(duì)應(yīng)列無全零列且線性無關(guān)(即這些列組成的矩陣滿秩)?；诩s當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的能觀性判據(jù)說明綜合判據(jù)還可歸納為：對(duì)每個(gè)特征值，分別用其所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊的首列在C陣中的對(duì)應(yīng)列構(gòu)成矩陣(每個(gè)特征值都分別有一個(gè)對(duì)應(yīng)的矩陣)，若這些矩陣均列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀。應(yīng)用判據(jù)時(shí)，需要對(duì)各個(gè)特征值分別進(jìn)行判斷，只有每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊及其對(duì)應(yīng)行都分別滿足判據(jù)要求，系統(tǒng)才是完全能觀的。系統(tǒng)能觀系統(tǒng)不能觀若該列改為(2 0)T,則系統(tǒng)不能觀若該列改為(0 1)T,則系統(tǒng)能觀3，為4重根特征值，對(duì)應(yīng)兩個(gè)獨(dú)立特征向量(在A中對(duì)應(yīng)兩個(gè)約當(dāng)塊)特征值2

13、和3分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)獨(dú)立特征向量(在A中分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)約當(dāng)塊)2. 直接從A與C構(gòu)造能觀性判別陣N判別系統(tǒng)能觀性能觀性判據(jù)2(秩判據(jù))：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是由A與C構(gòu)造的能觀性判別陣N列滿秩.n為系統(tǒng)階數(shù)m為輸出維數(shù)；單輸出系統(tǒng)(m=1)：N陣為nn方陣；多輸出系統(tǒng)(m1)：N陣行數(shù)多于列數(shù)能觀性判據(jù)2必要性證明能觀性判據(jù)2必要性證明(續(xù))能觀性判據(jù)2必要性證明(續(xù))證畢。補(bǔ)充例：能觀測(cè)性判別矩陣判斷系統(tǒng)能觀性：P148例3-20因N陣秩6，故該系統(tǒng)不能觀。為何無需計(jì)算完整N陣？1、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型法：需先將狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)變換后得到的C陣進(jìn)行判斷。關(guān)鍵：準(zhǔn)確劃分各特

14、征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊以及確定各約當(dāng)塊首列在C陣中的對(duì)應(yīng)列(特殊情況：重特征值對(duì)應(yīng)多個(gè)約當(dāng)塊，需判斷各列是否線性無關(guān))。(2) 能控判別陣法：利用A陣和C陣構(gòu)成能觀性判別陣N進(jìn)行判斷。關(guān)鍵：正確構(gòu)造判別陣和計(jì)算該陣的秩是否列滿秩。系統(tǒng)能觀性判別方法小結(jié)1、非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性：即非奇異變換后的系統(tǒng)的能控性與原系統(tǒng)的能控性等價(jià)。2、非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀性：即非奇異變換后的系統(tǒng)的能觀性與原系統(tǒng)的能觀性等價(jià)。非奇異變換對(duì)系統(tǒng)能控性與能觀性的影響主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)和掌握利用離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性矩陣M和能觀性矩陣N判斷其能控性與能觀性的方法；3.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性與能觀性1、離散

15、時(shí)間系統(tǒng)的能控性定義及能控性判據(jù)如何判斷是否能在有限個(gè)采樣周期內(nèi)，找到一組控制序列，使得任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)？離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)推導(dǎo)有唯一解的充要條件是矩陣滿秩=n線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分條件是由G與H構(gòu)造的能控性判別陣M行滿秩(等于n)。 離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)說明：對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)來說，其能控性判別陣行滿秩僅為系統(tǒng)能控的充分條件，而非必要條件。即：能控性判別陣不滿秩，系統(tǒng)也有可能是能控的。 自學(xué)內(nèi)容：離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)(充要條件)span M表示由矩陣M的列向量張成的子空間；此時(shí)N為將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)所需要經(jīng)過的步數(shù)。充要條件: 存在某個(gè)正整數(shù)N，使得s

16、pan UN span GN ,其中：線性定常離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件是由G與C構(gòu)造的能觀性判別陣N列滿秩.2、離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性定義及能觀性判據(jù)離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性判據(jù)證明：在何種條件下，可根據(jù)有限采樣周期內(nèi)的輸出y(k)，唯一確定任意初態(tài)x(0)？證明(續(xù)前頁)：主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)和理解時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性概念；2、學(xué)習(xí)和理解時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性判別方法；3.5 時(shí)變系統(tǒng)的能控性與能觀性(自學(xué))(7)能控狀態(tài)構(gòu)成能控子空間 ;不能控狀態(tài)構(gòu)成不能控子空間時(shí)變系統(tǒng)的能控性判別.工程實(shí)用準(zhǔn)則 例3-9(5).若 , 是不能觀狀態(tài),則 也是不能觀狀態(tài)(6)能觀狀態(tài)構(gòu)成

17、能觀子空間 ;不能觀狀態(tài)構(gòu)成不能觀子空間(4)若 是不能觀狀態(tài),則 也是不能觀狀態(tài)( );時(shí)變系統(tǒng)的能觀性判據(jù)證明時(shí)變系統(tǒng)的能觀性工程實(shí)用判據(jù)時(shí)變系統(tǒng)的能觀性工程實(shí)用判據(jù) 例3-11主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)、理解和掌握對(duì)偶系統(tǒng)的概念；2、學(xué)習(xí)、理解和掌握對(duì)偶原理（對(duì)偶系統(tǒng)能控性與能觀性之間的關(guān)系）。3.6 能控性與能觀性的對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上：輸入與輸出端互換；信號(hào)引出點(diǎn)與綜合點(diǎn)互換；信息傳遞方向相反；對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置；兩系統(tǒng)若為對(duì)偶系統(tǒng)，則有以下結(jié)論： 兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(陣)互為轉(zhuǎn)置； 兩系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置；（據(jù)定義可證） 兩系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式、特征方程與特征值相同。二.對(duì)偶原理(

18、卡爾曼)：若系統(tǒng)1和系統(tǒng)2互為對(duì)偶系統(tǒng)，則系統(tǒng)1的能控性等價(jià)于系統(tǒng)2的能觀性；系統(tǒng)1的能觀性等價(jià)于系統(tǒng)2的能控性。注意與定常系統(tǒng)對(duì)偶系統(tǒng)定義的區(qū)別！對(duì)比定常對(duì)偶系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系？主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)和理解能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型的概念；2、學(xué)習(xí)和掌握能控標(biāo)準(zhǔn)型(I型和II型)和能觀標(biāo)準(zhǔn)型(I型和II型)的建立方法(四個(gè)結(jié)論)；3、掌握根據(jù)單輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）寫出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)I型的方法；4、掌握根據(jù)單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）寫出系統(tǒng)能觀標(biāo)準(zhǔn)II型的方法。3.7 狀態(tài)空間表達(dá)式的能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型已學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)型：(1)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型；優(yōu)點(diǎn)：便于計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、判斷系統(tǒng)能控性和能觀性

19、等；即將學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)型：(2)能控標(biāo)準(zhǔn)型；(3)能觀標(biāo)準(zhǔn)型；優(yōu)點(diǎn)：便于設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器及系統(tǒng)辨識(shí)等； 理論依據(jù)：非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性或能觀性 將能控(或能觀)的系統(tǒng)變換為能控(或能觀)標(biāo)準(zhǔn)型說明：本節(jié)介紹兩種能控標(biāo)準(zhǔn)型(能控標(biāo)準(zhǔn)I型和能控標(biāo)準(zhǔn)II型)兩種能觀標(biāo)準(zhǔn)型(能觀標(biāo)準(zhǔn)I型和能觀標(biāo)準(zhǔn)II型)注意：只有完全能控的系統(tǒng)才能化為能控標(biāo)準(zhǔn)型;只有完全能觀的系統(tǒng)才能化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型;非奇異變換陣Tc1為：非奇異變換陣為：能控標(biāo)準(zhǔn)I型各系數(shù)矩陣特點(diǎn)：為何各系數(shù)矩陣有此形式？后面證明凱萊哈密頓定理上面的e1向量上面的en向量證畢。單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型特點(diǎn)(必為能控系統(tǒng))：其中，非奇異變換陣Tc

20、1由原系統(tǒng)的A陣和b陣以及特征多項(xiàng)式的相關(guān)系數(shù)a1, an-1按如下方式構(gòu)成：例3-12:與能控標(biāo)準(zhǔn)I型有關(guān)的兩個(gè)有用方法0,1,n-1為 陣中的各列給定任意單輸入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(陣)或微分方程，必能建立其能控標(biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)！系統(tǒng)特征多項(xiàng)式思考：若給出單輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣(列陣形式)或非嚴(yán)格真有理分式矩陣形式，如何寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)？用C(sI-A)-1B也可以驗(yàn)證為何能控標(biāo)準(zhǔn)II型的系數(shù)矩陣有此形式？后面證明變換陣即為能控性判別矩陣證畢。凱萊-哈密頓定理例3-13系數(shù)矩陣具有如下形式：對(duì)偶系統(tǒng)*的能控II型變換陣Tc2及其系數(shù)矩陣：證畢。0,1,n-1為 陣中的各行與能觀標(biāo)準(zhǔn)II型

21、有關(guān)的兩個(gè)有用結(jié)論給定任意單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(陣)或微分方程，必能建立其能觀標(biāo)準(zhǔn)II型實(shí)現(xiàn)！系統(tǒng)特征多項(xiàng)式例3-14注：此處得到的能觀標(biāo)準(zhǔn)I型和II型分別與前面二例3-12、3-13得到的能控標(biāo)準(zhǔn)II型和I型互為對(duì)偶。單入單出系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型的推論（1）單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型：非奇異變換陣為：本節(jié)內(nèi)容小結(jié)（2）單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)II型：非奇異變換陣為：（3）單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)I型：非奇異變換陣為：（4）單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型：非奇異變換陣為：主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、理解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的概念；卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)型的概念；2、學(xué)習(xí)和掌握系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的意義及方法：(1

22、) 通過非奇異變換進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解；(2) 通過約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型重寫狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。3.8 線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一個(gè)不完全能控的系統(tǒng)，狀態(tài)空間中的能控狀態(tài)構(gòu)成能控子空間，不能控狀態(tài)構(gòu)成不能控子空間；一個(gè)不完全能觀的系統(tǒng)，狀態(tài)空間中的能觀狀態(tài)構(gòu)成能觀子空間，不能觀狀態(tài)構(gòu)成不能觀子空間；結(jié)構(gòu)分解揭示狀態(tài)空間本質(zhì)特性，為最小實(shí)現(xiàn)、狀態(tài)反饋、系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題的解決提供理論基礎(chǔ)。在一般的狀態(tài)空間表達(dá)式中，這些子空間并未顯分，從表達(dá)式中很難直觀判斷哪些狀態(tài)變量能控或不能控、能觀或不能觀 通過非奇異變換對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，可將能控/不能控、能觀/不能觀的狀態(tài)變量在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行顯分;1.按能控性分解：系統(tǒng)劃分為能控

23、和不能控兩個(gè)子系統(tǒng)如何構(gòu)造變換陣Rc?例3-152、按能觀性分解：將系統(tǒng)劃分為能觀和不能觀子系統(tǒng)如何構(gòu)造變換陣Ro？例3-163、對(duì)既不能控又不能觀系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀性分解卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)型需滿足一定條件才能得到此結(jié)果聯(lián)立這兩個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式，可以得到：說明：逐步分解法需滿足一定條件才可得到真正的卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)型,并非適用任何情形，此處僅給出方法步驟，不考慮應(yīng)滿足條件。例3-17例3-17(續(xù))例3-17(續(xù))例 (2)方法2: 先將系統(tǒng)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，通過判別各狀態(tài)分量的能控性和能觀性，按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀進(jìn)行重排，劃分各子系統(tǒng)。重新排列狀態(tài)變量時(shí)，重新列寫狀態(tài)方程(輸

24、出方程的處理也類似)原狀態(tài)方程(向量矩陣形式)原狀態(tài)方程(微分方程組形式)重排狀態(tài)變量后的狀態(tài)方程(微分方程組)重排后的狀態(tài)方程(向量矩陣形式)重新排列各狀態(tài)變量的順序，重寫系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解小結(jié)1、按能控性分解只針對(duì)不能控系統(tǒng)(能控系統(tǒng)只含能控狀態(tài)，無需分解:相當(dāng)于已分解)；按能觀性分解只針對(duì)不能觀系統(tǒng)(能觀系統(tǒng)只含能觀狀態(tài)，無需分解)。2、系統(tǒng)同時(shí)按能控性或能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解：對(duì)于給定的狀態(tài)空間表達(dá)式，有如下兩種結(jié)構(gòu)分解方法(1)按逐步分解法進(jìn)行(該方法需滿足一定條件)；(2)將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)各狀態(tài)分量按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀和不能控不能觀進(jìn)行劃分

25、，通過重排各狀態(tài)分量重寫狀態(tài)空間表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)分解(該方法要求每個(gè)狀態(tài)分量都能夠確定地判斷其能控性、能觀性)。3.9 傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn)主要學(xué)習(xí)和掌握內(nèi)容：1、學(xué)習(xí)和理解系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的概念以及系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的條件；2、學(xué)習(xí)和掌握建立多輸入多輸出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的方法(能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn))；3、學(xué)習(xí)和理解系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)的概念，并掌握系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)的求取方法。1、實(shí)現(xiàn)問題的基本概念及簡單系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的實(shí)現(xiàn) 傳遞函數(shù)(陣)反映系統(tǒng)輸入輸出間的信息傳遞關(guān)系，它只能反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。 對(duì)一給定的傳遞函數(shù)(陣)，可有無窮多的狀態(tài)空間表達(dá)式是其實(shí)現(xiàn)，即同一個(gè)傳遞函數(shù)(陣)可描述多個(gè)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同的

26、系統(tǒng)。 在某傳遞函數(shù)(陣) 的諸多實(shí)現(xiàn)中，維數(shù)最小的一類系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)是工程實(shí)踐中最常用的實(shí)現(xiàn)。矩陣元素對(duì)于單輸入系統(tǒng)，可由W(s)D直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)I型實(shí)現(xiàn)對(duì)于單輸出系統(tǒng)，可由W(s)D直接寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)II型實(shí)現(xiàn)2、多輸入多輸出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)(1)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)？(1)多輸入多輸出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型(形式類似能控I型)(2)若r =1?nr維！單輸入系統(tǒng)！(2)多輸入多輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型(形式類似能觀II型)(1)實(shí)現(xiàn)的維數(shù)？(2)若m =1?nm維！單輸出系統(tǒng)！例3-18易知，特征多項(xiàng)式中s最高冪次n=3(1) 能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)(2) 能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)3、最小實(shí)現(xiàn) 傳遞函數(shù)(陣) W(s)只反映系統(tǒng)中能控且能觀子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，給系統(tǒng)增加或減少一些不能控或不能觀的子系統(tǒng)不會(huì)影響W(s)；即：同一W(s)，其實(shí)現(xiàn)的維數(shù)有可能不同。若系統(tǒng)的某實(shí)現(xiàn)存在不能控或不能觀的子系統(tǒng)，則該實(shí)現(xiàn)非最小實(shí)現(xiàn)(維數(shù)非最小)。(2)對(duì)于給定多入多出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)，確定其最小實(shí)現(xiàn)的一般方法及步驟如下： rm，選擇能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)(nm維)思考：算法的原理？例3-20(原例3-18)能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)例3-20(續(xù))按能觀性分解結(jié)果關(guān)于最小實(shí)現(xiàn)的說明(1) 對(duì)于給定傳遞函數(shù)(陣)，